磁場(chǎng)中雙量子位Heisenberg模型的糾纏與量子相變

黃海林，孫照宇

(武漢輕工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北武漢430023)

Kamta等以兩量子位Heisenberg XY鏈為例，分析了均勻外磁場(chǎng)對(duì)熱糾纏的影響［1-3］，指出任何有限溫度下無論怎樣調(diào)節(jié)所加外磁場(chǎng)的強(qiáng)度都存在著有限的糾纏，且臨界溫度Tc(溫度T大于Tc時(shí)無糾纏)與外磁場(chǎng)無關(guān)。N.Canosa等在Kamta等人的工作基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討了兩量子位Heisenberg XYZ鏈在均勻外磁場(chǎng)作用下的糾纏溫度閾值與分離條件［4］。非均勻磁場(chǎng)作用下，Zhang 等［5］分析了兩量子位Heisenberg XXZ自旋鏈的熱糾纏，結(jié)果表明:隨著外磁場(chǎng)的z-分量耦合相互作用的增強(qiáng)，有限溫度下的糾纏不斷增加，而非均勻磁場(chǎng)的臨界值與z-分量耦合相互作用無關(guān)，且對(duì)稱于磁場(chǎng)的非均勻性。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)隨著磁場(chǎng)的非均勻性加劇，可獲得的最大糾纏變小，磁場(chǎng)的臨界值增大?；鶓B(tài)糾纏與z-分量耦合相互作用無關(guān)。然而實(shí)驗(yàn)上磁場(chǎng)方向的調(diào)控具有很強(qiáng)的可操作性。本文以Heisenberg XX鏈為例，從理論上分析磁場(chǎng)方向?qū)m纏的影響。

1 哈密頓量及其本征解

兩量子位各向同性Heisenberg模型在任意一方向外磁場(chǎng)的作用下，其哈密頓量可寫為:

不難算得哈密頓量的本征態(tài)為:

此外，ξ(0≤ξ≤1)描述了磁場(chǎng)的方向，不妨稱之為方向參數(shù)，在下面的分析中不再使用參數(shù)α，而用方向參數(shù)ξ。當(dāng)磁場(chǎng)與Z軸平行時(shí)ξ=1，當(dāng)磁場(chǎng)與Z軸垂直時(shí)ξ=0。而ξ的值在0到1之間連續(xù)變化時(shí)，表示磁場(chǎng)的方向在包含Z軸的平面內(nèi)變化。

2 基態(tài)糾纏與量子相變

我們用共形糾纏來度量兩量子位的糾纏度，其表達(dá)式為:

式中 λi為非厄米自旋翻轉(zhuǎn)算符 R =ρ(σy?σy)ρ*(σy? σy)的本征值的算術(shù)平方根，其中‘*’表示復(fù)共軛。

當(dāng)系統(tǒng)處于無糾纏態(tài)時(shí)C(ρ)的值為0，處于最大糾纏態(tài)時(shí)其值為1，C(ρ)的值為0到1之間時(shí)，處于系統(tǒng)部分糾纏態(tài)。若系統(tǒng)處于某一純態(tài)，即ρ時(shí)，(4)式可簡單地寫為

零溫下，由本征解(3)式不難看出，基態(tài)能量與磁場(chǎng)有關(guān)，即由其大小和方向來決定。若 B ＞，基態(tài)為部分糾纏態(tài) ψ2＞，對(duì)應(yīng)的能級(jí)為，若B ＜，基態(tài)為完全糾纏態(tài) ψ4＞，對(duì)應(yīng)的能級(jí)為ε4=－J。

由基態(tài)相圖(如圖1所示)可看出，當(dāng)磁場(chǎng)取某個(gè)確定的值時(shí)，總存在一個(gè)與之相對(duì)應(yīng)的臨界方向參數(shù)ξc(0≤ξc≤1)，ξ＜ξc時(shí)，系統(tǒng)的基態(tài)為最大糾纏態(tài);同理，當(dāng)方向參數(shù)取某個(gè)確定的值時(shí)，總存在一個(gè)與之相對(duì)應(yīng)的臨界磁場(chǎng)B ＞Bc時(shí)，糾纏陡降，也就是說，ξ越過ξc或B越過Bc時(shí)，糾纏產(chǎn)生突變，即發(fā)生量子相變。

圖1 基態(tài)相圖

為了更清楚地說明參數(shù)臨界點(diǎn)處的量子相變，我們繪制了零溫下共形糾纏隨方向參數(shù)ξ及磁場(chǎng)大小而變化的關(guān)系圖，如圖2所示。給定ξ，當(dāng)磁場(chǎng)從零開始不斷增強(qiáng)時(shí)，糾纏開始保持最大(C=1)不變，當(dāng)磁場(chǎng)增強(qiáng)到其臨界點(diǎn) Bc(Bc=)時(shí)，糾纏突然陡降，發(fā)生量子突變。當(dāng)ξ=1時(shí)，Bc的值為最小J，這與文獻(xiàn)［6］有著相同的結(jié)論。當(dāng)J＜BJ時(shí)，方向參數(shù)ξ存在臨界點(diǎn)處，糾纏同樣發(fā)生突變，即產(chǎn)生量子突變。通過以上分析可得出:若保持磁場(chǎng)的方向不變，通過改變磁場(chǎng)的大小可獲得最大糾纏，反之亦然，在一定范圍內(nèi)調(diào)整磁場(chǎng)的方向或大小均可發(fā)生量子相變。

圖2 零溫下，糾纏隨磁場(chǎng)大小及方向的變化

3 熱糾纏與臨界溫度

下面分析有限溫度下的糾纏。眾所周知，當(dāng)溫度上升時(shí)，由于激發(fā)態(tài)與基態(tài)的疊加，糾纏會(huì)發(fā)生變化，換句話說，隨著溫度的變化，糾纏的激發(fā)態(tài)會(huì)與無糾纏的基態(tài)迭加，或者無糾纏的激發(fā)態(tài)會(huì)與糾纏的基態(tài)迭加。非零溫下，雖然理論上仍可求出熱糾纏的解析表達(dá)式，但其形式過于復(fù)雜，這里僅給出數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

圖3給出了在不同的方向參數(shù)ξ之下糾纏隨磁場(chǎng)B大小和溫度T的函數(shù)變化關(guān)系。仔細(xì)觀察圖中糾纏的變化特性，不難發(fā)現(xiàn)圖3中每一個(gè)圖域由3個(gè)變化特性不同的區(qū)域組成。首先，第一個(gè)區(qū)域?yàn)?B＜Bc與T＜Tc2，這里的Tc2以及下述的Tc1分別表示第二、第一臨界溫度。這一區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)處于具有最大糾纏的基態(tài)，其能量為 －J，因此，T=0時(shí)C=1，隨著溫度T的上升，最大糾纏的基態(tài)與部分糾纏的激發(fā)態(tài)迭加，結(jié)果使得系統(tǒng)的糾纏單調(diào)地降低，故可稱這一區(qū)域?yàn)椤皢握{(diào)區(qū)”。第二個(gè)區(qū)域?yàn)?B＞Bc和Tc1＜T＜Tc2，該區(qū)域內(nèi)，隨著溫度T的升高，且磁場(chǎng)B趨向臨界值Bc，這時(shí)糾纏經(jīng)歷一個(gè)復(fù)蘇階段，正如文獻(xiàn)［6］中所述的糾纏復(fù)蘇現(xiàn)象，故稱這一區(qū)域?yàn)椤皬?fù)蘇區(qū)”。在此區(qū)域內(nèi)，復(fù)蘇糾纏隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加而減小，即糾纏的大小依賴于磁場(chǎng)B的大小。當(dāng)磁場(chǎng)B增加超過其臨界值時(shí)，復(fù)蘇現(xiàn)象不復(fù)存在。第三個(gè)區(qū)域?yàn)?B＞Bc和T＜Tc1，該區(qū)域內(nèi)，T=0時(shí)，系統(tǒng)處于非完全糾纏態(tài)，即基態(tài)為，糾纏隨著方向參數(shù)ξ的增加而單調(diào)地減小。當(dāng)ξ=1時(shí)，糾纏等于零，此時(shí)臨界溫度Tc1也不復(fù)存在，這與文獻(xiàn)［7］相反，因此，可稱這一區(qū)域?yàn)椤胺较騾^(qū)”。

圖3 糾纏隨溫度和磁場(chǎng)的函數(shù)變化關(guān)系。

為了更清楚地闡述有限溫度下方向參數(shù)ξ對(duì)熱糾纏的影響，我們給出了磁場(chǎng)取不同值時(shí)糾纏隨方向參數(shù)ξ和溫度T的函數(shù)變化關(guān)系，如圖4所示。為討論簡單起見，不訪假設(shè)Bc1=J，Bc2=J 。由圖4不難發(fā)現(xiàn):(1)B=0.8J(B＜Bc1)時(shí)，方向參數(shù)ξ的臨界值ξc不存在，且隨著溫度的上升，不管ξ取何值，熱糾纏始終在“單調(diào)區(qū)”內(nèi)變化，一直到溫度上升至Tc2為止。(2)B=1.3J(Bc1＜B＜Bc2)時(shí)，方向參數(shù)存在著臨界值ξc≈0.428 29J，且隨著溫度的變化，熱糾纏要么在“單調(diào)區(qū)”(ξ＜ξc時(shí))內(nèi)變化，要么在“復(fù)蘇區(qū)”(ξ＞ξc時(shí))內(nèi)變化，一直到溫度上升至Tc2為止。(3)B=1.8J(B＞Bc2)時(shí)，方向參數(shù)不存在著臨界值ξc，且隨著溫度的變化，熱糾纏要么在“方向區(qū)”(T＜Tc1時(shí))內(nèi)變化，要么在“復(fù)蘇區(qū)”(Tc1＜T＜Tc2時(shí))內(nèi)變化。(4)B=4.8J(B＞Bc2)時(shí)，無論ξ取什么值，熱糾纏都處于“方向區(qū)”(T＜Tc1時(shí))內(nèi)。

同時(shí)還發(fā)現(xiàn)，臨界溫度Tc1、Tc2既依賴于磁場(chǎng)B的大小，又與磁場(chǎng)的方向變化有關(guān)，Tc1較為敏感，而Tc2則不然。ξ=1時(shí)，Tc2=1.14J(這與文獻(xiàn)［6］的結(jié)論是一致的)，Tc1=0。

為進(jìn)一步闡述上述所得的結(jié)論，我們繪出了當(dāng)磁場(chǎng)的大小和方向參數(shù)不同時(shí)熱糾纏隨溫度T的函數(shù)變化關(guān)系。由圖5(a)和圖5(c)中不難看出，B ＜Bc2時(shí)，Tc2不隨B和ξ變化。B＞Bc2時(shí)，隨著ξ的減小或B的增加，Tc2略有所降低。而由圖5(b)和圖5(d)中不難發(fā)現(xiàn)，Tc1隨著B的增強(qiáng)而增加，隨著ξ的增加而減小。

圖4 糾纏隨方向參數(shù)和溫度的變化關(guān)系。

圖5 糾纏隨溫度的變化關(guān)系。

4 結(jié)論

本文討論了外磁場(chǎng)方向和溫度對(duì)兩量子位Heisenberg XX鏈糾纏的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)僅調(diào)整外磁場(chǎng)的方向而保持其大小不變可改變系統(tǒng)的糾纏特性。給定溫度下，通過改變磁場(chǎng)的方向可獲得最大糾纏，即方向誘導(dǎo)糾纏，且閾值溫度與磁場(chǎng)的方向有關(guān)。令人興奮的是，改變磁場(chǎng)的方向可發(fā)生量子相變，可稱之為磁場(chǎng)方向誘導(dǎo)的量子相變。本文的研究結(jié)果為實(shí)驗(yàn)上提供了一種通過調(diào)整磁場(chǎng)方向來調(diào)控量子糾纏的有效方法，這在量子通訊和量子信息領(lǐng)域中有一定的意義。

［1］Kamta G L，Starace A F.Anisotropy and Magnetic Field Effects on the Entanglement of a Two Qubit Heisenberg XY Chain［J］.Phys Rev Lett，2002，88:107901-107904.

［2］Zhang G F，Liang JQ，Yan QW.Thermal Entanglement in Spin-Dimer V4+with a Strong Magnetic Field［J］.Chin Phys Lett，2003，20:452-455.

［3］Sun Y，Chen Y G，Chen H.Thermal entanglement in the two-qubit Heisenberg XY model under a nonuniform external magnetic field［J］.Phys Rev A，2003，68:044301(4).

［4］Canosa N，Rossignoli R.Separability conditions and limit temperatures for entanglement detection in two-qubit Heisenberg XYZ models［J］.Phys Rev A，2004，69:052306-052312.

［5］Zhang G F，Li SS.Thermal entanglement in a two-qubit Heisenberg XXZ spin chain under an inhomogeneousmagnetic field［J］.Phys Rev A，2005，72:034302-034305.

［6］Kheirandish F，Akhtarshenas S J，Mohammadi H.Effect of spin-orbit interaction on entanglement of two-qubit Heisenberg XYZ systems in an inhomogeneousmagnetic field［J］.Phys Rev A，2008，77:042309(8).

［7］Wang X.Entanglement in the Quantum Heisenberg XY model［J］.Phys Rev A，2001，64:012313.