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    擬陣交構(gòu)約束的下模函數(shù)最大值問題的近似算法及其分析*

    2014-04-22 09:23:54張立群
    關(guān)鍵詞:近似算法下模對偶

    張立群

    (蘭州交通大學 數(shù)理與軟件工程學院,甘肅 蘭州 730070)

    0 引言

    組合優(yōu)化問題是在給定的有限集所具備的某些條件的子集中,按某種目標找出一個最優(yōu)符合標準的一類數(shù)學規(guī)劃問題[1].所研究的問題涉及電路設(shè)計問題、運輸線路問題、裝箱問題[2]等很多領(lǐng)域.下模函數(shù)是一類定義在有限的冪集上或格上的相對比較特殊的實值函數(shù),下模函數(shù)的最值研究在組合優(yōu)化中起著重要的作用.

    下模函數(shù)定義如下:給定一個有限集E和定義在E上的冪集合2E上的一個函數(shù)f:2E→Z,這里2E是由E的所有2|E|個子集組成的集合,如果對于E中任意兩個集合A和B,都滿足不等式

    f(A)+f(B)≥f(A∩B)+f(A∪B),則稱f(·)是一個下模函數(shù).

    本文考慮求解m個擬陣交構(gòu)成的獨立系統(tǒng)約束下的下模函數(shù)的最大值問題,即

    OPT= max{f(S),S∈F},

    其中(E,F(xiàn))是由m個擬陣的交構(gòu)成的獨立系統(tǒng).

    1 若干定義、引理及其證明

    定義1 設(shè)E是一個有限集合,L是E的一個子集族,若滿足I∈L且I′?I,則I′∈L,稱L中子集為獨立子集,稱(E,L)是一個獨立系統(tǒng).

    定義2 設(shè)E是一個有限集合,L是一族E的子集合.如果(E,L)滿足兩個條件:

    (1)若I∈L且I′?I,則I′∈L;

    (2)對于E中的任意一個子集F,有u(F)=v(F);

    就稱其是一個擬陣.

    給定E的一個子集F,若F的任意一個獨立子集都不嚴格包含子集I?F,則稱I是F的一個極大獨立子集.對任意集合I?E,令|I|表示I中所包含元素的個數(shù).定義:

    u(F)≡min{|I|,I是F的一個極大獨立子集},v(F)≡max{|I|,I是F的一個獨立子集}.

    證明 考慮以下給出的線性規(guī)劃:

    容易得到其對偶規(guī)劃為

    由于ρi≥ρi+1,Zi=ρi-ρi+1,i=1,2,…,k-1,ρk=0是對偶可行解,其最優(yōu)值為,由線性規(guī)劃的對偶定理,易說明引理成立.

    2 給出近似算法及其性能保證

    OPT=max{f(S),S∈F},其中(E,F(xiàn))是由m個擬陣的交構(gòu)成的獨立系統(tǒng).

    給出近似算法及其近似度分析,求解fS|F的近似算法示意[5]如下:

    第1步 令i=1,S0=?,E0=E;

    第2步 若Ei-1=?,則停止計算;

    第3步 求ei∈Ei-1,使其滿足α·ρeij(Si-1)≥maxe∈Ei-1ρe(Si-1),α>0;

    第4步 判斷Si-1∪ {ei}是否屬于F;

    第5步 若Si-1∪ {ei}不屬于F,則令Ei-1=Ei-1\{ei},返回第2步;

    若Si-1∪ {ei}∈F,則令Si=Si-1∪ {ei},ρi-1=ρei(Si-1),Ei=Ei-1\{ei};

    第6步 令i=i+1,返回第2步.

    下面繼續(xù)給出用近似算法求出的近似解的近似度分析.

    定理 設(shè)(E,F(xiàn))是一個由m個擬陣的交集相對獨立地構(gòu)成的系統(tǒng),f是定義在Ω上的非負非減下模函數(shù)[4].如果將Zg與OPT分別記作是通過以上近似算法得到的目標函數(shù)值和目標函數(shù)最優(yōu)解,那么有

    證明 設(shè)S和T分別是問題fS|F近似算法的解和最優(yōu)解,|S|<k,由于(E,F(xiàn))是一個獨立的系統(tǒng),并不一定是擬陣,因此|T|不一定是k.

    對于t=1,2,…,k,令St-1=T∩ (Ut\Ut-1) ,Ut是第t次迭代得到的解集.為不失一般性,設(shè)U0= ?,Uk=E,ρ*(Si)= maxe∈Eiρe(Si),i=1,2,…,k-1.

    由于f是非負非減的下模函數(shù),由引理2可以得到如下關(guān)系:

    設(shè)t∈ {1,2,3,…,k},ρq(t)=min{ρi|i=1,2,…,t-1}.對任意e∈T∩ (Ut\Ut-1),由于f具有下模性,所以有

    由ρ*的定義和算法可得:ρe(S)≤ρe(St)≤ρ*(St)≤ρ*(Sq)(t)+1)≤αρq(t).

    令ρ′t-1=αρq(t),則有

    由于q(t)具有非增性,所以ρ′t-1也具有非增性,即ρ′t-1≥ρ′t.另一方面

    由上述不等式(1)和(2)可得

    注意到St-1∈T∩ (Ut\Ut-1) ,則有=T∩Ut.

    由于T是擬陣的獨立集,rM(SPM(St))=t,,于是有

    因為對 ?t,ρ′t,St≥0,ρ′t具有非增性,在引理2中,令,由上述不等式(5)有

    再由不等式(4)得

    [1] 陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京:清華大學出版社,2006.

    [2] 羅亮,賈欣鑫,何尚錄,等.求解組合拍賣問題最大值的貪婪算法[J].黑龍江科技學院學報,2008,18(5):382-384.

    [3] FISHER M L,NEMHAUSER G L,WOLSEY L A,et al.An analysis of approximations for maximizing submodular set functions-II[J].Mathematical Programming Study,1978,8:73-87.

    [4] SVIRIDENKO M.A note on maximizing a submodular set function subject to knapsack constraint[J].Operations Research Letters,2004,32:41-43.

    [5] 王武民,張防防,柘曉莉,等.求解下模集函數(shù)最大值問題的局部搜索算法[J].溫州大學學報:自然科學版,2008,29(3):12-17.

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