張拉整體結(jié)構(gòu)振動最優(yōu)控制的作動器優(yōu)化配置

江 潔,李團結(jié)

(1.紅河學(xué)院工學(xué)院,云南蒙自 661100; 2.西安電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院,陜西西安 710071)

張拉整體結(jié)構(gòu)振動最優(yōu)控制的作動器優(yōu)化配置

江 潔1,2,李團結(jié)2

(1.紅河學(xué)院工學(xué)院,云南蒙自 661100; 2.西安電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院,陜西西安 710071)

將模擬退火算法應(yīng)用于張拉整體結(jié)構(gòu)作動器的優(yōu)化配置中,分析了作動器位置對于結(jié)構(gòu)振動控制的影響.利用有限元軟件建立了4層張拉整體結(jié)構(gòu)的有限元模型,通過對張拉整體結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程進行模態(tài)變換和模態(tài)截斷,推導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)控制的狀態(tài)空間方程.在結(jié)構(gòu)振動最優(yōu)控制的基礎(chǔ)上,選取與結(jié)構(gòu)作動器位置相關(guān)的系統(tǒng)的能量為優(yōu)化指標,采用模擬退火算法對張拉整體結(jié)構(gòu)的作動器位置進行優(yōu)化配置.仿真結(jié)果表明,將作動器布置于優(yōu)化解的位置時,振動控制性能得到了明顯提高,證明了該方法的有效性,

張拉整體結(jié)構(gòu);振動控制;作動器;最優(yōu)控制;模擬退火算法;優(yōu)化配置

張拉整體結(jié)構(gòu)是近幾年來在國內(nèi)外迅速發(fā)展起來的一種新型的自應(yīng)力自平衡的空間結(jié)構(gòu)體系,它由連續(xù)的受拉單元以及包含于受拉單元內(nèi)部的不連續(xù)的受壓單元組成[1].目前,張拉整體結(jié)構(gòu)正逐漸地應(yīng)用于航天技術(shù)、機器人工程及生物工程等高新技術(shù)領(lǐng)域.張拉整體結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、模態(tài)頻率低且密集、阻尼小等特點,很容易受到地震、風(fēng)振、機械振動以及沖擊荷載等外界激勵的干擾而發(fā)生較高水平的振動,當這些振動超過一定限度時會對結(jié)構(gòu)的功能與安全造成不利的影響,需要采取一定的措施加以控制.

近年來,大型柔性空間結(jié)構(gòu)振動控制問題引起了很多學(xué)者的關(guān)注[2-3],具有柔性特質(zhì)的張拉整體結(jié)構(gòu)也不例外[4-5].結(jié)構(gòu)振動主動控制中的一個重要的問題就是確定作動器的數(shù)目與位置,以最少的數(shù)目、最佳的位置實現(xiàn)控制目的.目前,對于作動器數(shù)目的研究還不充分,技術(shù)思路還不清楚,這主要是因為作動器的數(shù)目對于不同的控制器和控制要求是難以決定的[6].而對于給定作動器,確定它們最優(yōu)位置的研究則展開的比較充分.

筆者采用壓電陶瓷(PZT)作為張拉整體結(jié)構(gòu)的作動器,建立了4層張拉整體結(jié)構(gòu)的有限元軟件(ANSYS)模型,由結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程推導(dǎo)出了其狀態(tài)空間方程.以系統(tǒng)能量為優(yōu)化準則,在結(jié)構(gòu)振動線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)最優(yōu)控制的基礎(chǔ)上,采用模擬退火算法對張拉整體結(jié)構(gòu)作動器的位置進行了優(yōu)化配置.

1 張拉整體結(jié)構(gòu)的狀態(tài)空間描述

將PZT作動器集成在張拉整體結(jié)構(gòu)的桿件中,形成自適應(yīng)張拉整體結(jié)構(gòu).考慮了作動器對整體結(jié)構(gòu)的影響,以作動器的作動電壓為控制變量,建立張拉整體結(jié)構(gòu)的ANSYS有限元模型[7],推導(dǎo)的結(jié)構(gòu)無阻尼動力學(xué)方程為

其中,M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣,K為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣,F1為結(jié)構(gòu)作動器點荷載矩陣,F2為外力荷載矩陣,σ為節(jié)點位移向量,w為外部激勵向量,u為作動器輸出位移向量.

利用如下模態(tài)變換[8]:

其中,q為n維模態(tài)坐標矢量,Φ為正則模態(tài)矩陣.將式(2)代入式(1),得到系統(tǒng)的模態(tài)方程為

由正則化條件可知:ΦTMΦ=In,ΦTKΦ=diag(w2i),wi(i=1,2,…,n)為固有頻率.由于低階模態(tài)在振動中起主導(dǎo)作用,故截取前r階低階模態(tài),得到系統(tǒng)的低階模態(tài)方程為

其中,Ωr=φTKφ,F1r=φTF1,F2r=φTF2,φ為前r階截斷正則模態(tài)矩陣.取模態(tài)位移與模態(tài)速度為狀態(tài)量,即

將式(4)轉(zhuǎn)化為振動控制狀態(tài)空間方程為

2 線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器的設(shè)計

已知線性定常系統(tǒng)式(6),尋求最優(yōu)控制u*,使系統(tǒng)的二次性能指標

取極小值,其中,Q和R分別為對狀態(tài)和控制變量的加權(quán)矩陣,且Q為非負定對稱矩陣,R為正定對稱矩陣.

若控制u不受約束,則最優(yōu)控制存在,且惟一地由下式確定:

其中,K1為狀態(tài)反饋增益,P是代數(shù)黎卡提方程:

的非負定對稱解[9].

將式(8)代入式(6),可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

其中,x0為結(jié)構(gòu)的初始狀態(tài).

3 模擬退火算法及其實現(xiàn)步驟

模擬退火算法[10](Simulated Annealing,SA)最早由Metropolis在1953年提出,1983年Kirkpatrick等成功地將退火思想引入到組合優(yōu)化領(lǐng)域,其出發(fā)點是基于物理中固體的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性.SA在某一初溫下,伴隨溫度參數(shù)的不斷下降,結(jié)合概率突跳特性,在解空間中隨機尋找目標函數(shù)的全局最優(yōu)解,即在局部最優(yōu)解能夠概率性地跳出,并最終趨于全局最優(yōu).

模擬退火算法包含的基本步驟如下:

(1)隨機產(chǎn)生一個初始解x0,令xbest=x0,并計算目標函數(shù)值E(xbest).

(2)設(shè)定起始溫度T=T0,迭代次數(shù)i=1.

(3)按照生成函數(shù)g(Δx,T)確定的概率選擇Δx,產(chǎn)生新解xnew,并計算新的目標函數(shù)值E(xnew).

(4)計算目標函數(shù)值的增量ΔE=E(xnew)-E(xbest),若ΔE＜0,則xbest=xnew;若ΔE＞0,則令如果c=ran d(0,1)＜p(ran d(0,1)表示0～1之間的隨機數(shù)),那么xbest=xnew;否則,xbest=xbest.

(5)按照退火時間表降低溫度T.

(6)迭代次數(shù)增加,i=i+1,若i達到迭代次數(shù),停止迭代;否則,返回步驟(3).

4 張拉整體結(jié)構(gòu)作動器的優(yōu)化設(shè)計

模擬退火算法應(yīng)用于張拉整體結(jié)構(gòu)作動器的優(yōu)化,首先要討論解空間與初始解、目標函數(shù)、初始溫度、新解的產(chǎn)生函數(shù)的構(gòu)造問題.

4.1 解空間與初始解

將張拉整體結(jié)構(gòu)的m個壓桿由1～m進行編號,用1行m列矩陣ax表示作動器的布置情況.元素ax(k)=1,表示第k個對應(yīng)的壓桿上已布置作動器,而ax(k)=0,則表示第k個對應(yīng)的壓桿上未布置作動器.若作動器數(shù)目為r,滿足r≤m,則解空間S可表示為

初始解可選為滿足解空間的任何一個ax.

4.2 目標函數(shù)

由于線性二次型最優(yōu)控制理論的性能指標可以直接表示為系統(tǒng)的能量與控制能量之和,最小化該性能指標相當于同時最小化系統(tǒng)能量和控制能量.文中在控制系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計中,選擇系統(tǒng)的能量作為目標函數(shù),對帶有壓電陶瓷作動器的張拉整體結(jié)構(gòu)振動主動控制進行了研究.若t0=0,則能量表示式(7)可表示為

將式(11)和式(8)代入式(12),可得

由式(13)可知,能量函數(shù)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有直接關(guān)系,為了消除初始狀態(tài)對優(yōu)化結(jié)果的影響,假定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0在n維單位球面上隨機分布[9],對于式(13)有

其中,Ac=A-BR-1BTP,Qc=Q+(R-1BTP)TR(R-1BTP).對式(14)求取關(guān)于初始狀態(tài)x0的數(shù)學(xué)期望為

為了進一步對上述表達式進行計算,可引入

L可表述為Lyapunov方程的解,即

那么,修正后系統(tǒng)的性能指標可表示為

式(19)的性能指標具有一定的物理意義,即當系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0在n維單位球面上隨機分布時,最小化修正后的性能指標式(19)等價于最小化性能指標式(13)關(guān)于初始狀態(tài)x0的數(shù)學(xué)期望,且μ(L)n是性能指標式(13)的均值[11].

4.3 初始溫度

初始溫度的選取:通過對張拉整體結(jié)構(gòu)作動器進行多次隨機布置來產(chǎn)生一組狀態(tài),確定兩兩狀態(tài)間存留能量指標的最大差值,然后依據(jù)差值,利用函數(shù)來確定初始溫度,其中pr為初始接受概率.

4.4 新解的產(chǎn)生

設(shè)當前解為i(i∈S),從其對應(yīng)的r個布置作動器的桿件(ax元素為1的位置)中隨機選擇一位,記其對應(yīng)的桿件編號為i1,則有ax(i1)=1.同樣,從未布置作動器的桿件(ax元素為0的位置)中隨機選擇一位,記其對應(yīng)的桿件編號為i0,則有ax(i0)=0.交換ax(i1)與ax(i0)元素的值,則有ax(i1)=0,ax(i0)=1,即編號為i1的桿件變?yōu)闊o作動器桿件,而編號為i0的桿件變?yōu)橛凶鲃悠鳁U件,從而形成了新解j(j∈S),即完成了從當前解i(i∈S)向新解j(j∈S)的轉(zhuǎn)變.

5 結(jié)構(gòu)作動器優(yōu)化仿真

如圖1和圖2所示,12桿件54索張拉整體結(jié)構(gòu)由4層柱狀張拉整體單元疊加而成,外接圓半徑為0.5774m,層間轉(zhuǎn)角為30°,每層高度為1m,層間交匯高度為0.25m,鎖上應(yīng)力為1MPa.將張拉整體結(jié)構(gòu)的12個壓桿位置由1～12進行編號,并與桿件對應(yīng).表1為結(jié)構(gòu)材料參數(shù),表2為桿件與節(jié)點的對應(yīng)關(guān)系.

圖1 張拉整體塔節(jié)點定義

圖2 張拉整體塔ANSYS模型

表1 結(jié)構(gòu)材料參數(shù)

表2 結(jié)構(gòu)桿件編號與節(jié)點位置的關(guān)系

張拉整體結(jié)構(gòu)底部節(jié)點1、2和3固定,22、23和24這3個節(jié)點沿負Z方向(如圖2所示)同時施加0.1 N沖擊擾動,取R=I,在振動最優(yōu)控制的基礎(chǔ)上,運用模擬退火算法對結(jié)構(gòu)主動桿件的優(yōu)化配置狀況進行研究.2,4,6,8,10個作動器優(yōu)化配置結(jié)果如表3所示.

表3 作動器優(yōu)化配置結(jié)果

從表3優(yōu)化結(jié)果可以看出,隨著作動器數(shù)目的增多,優(yōu)化性能指標μ越小,說明作動器數(shù)目越多,控制性能越好.當作動器可能配置的位置比較多時,優(yōu)化迭代次數(shù)也多.這是由于模擬退火算法是一種隨機性搜索算法,在解范圍擴大的情況下,求得最優(yōu)解過程中迭代次數(shù)也會相應(yīng)增加.同時可以發(fā)現(xiàn),在多數(shù)目作動器布置時,為使得結(jié)構(gòu)振動最優(yōu)控制達到滿意的狀態(tài),張拉整體結(jié)構(gòu)的底層桿件應(yīng)優(yōu)先考慮布置作動器.

下面以兩個作動器的優(yōu)化配置為例,初始溫度T0=3.746 9×106,降溫系數(shù)為0.8,接受次數(shù)為18,拒絕次數(shù)為52,外循環(huán)次數(shù)為14,內(nèi)循環(huán)次數(shù)為5,求解的最優(yōu)位置為,對應(yīng)桿件編號為3和6,最優(yōu)目標值μ=5.852 1×104.

以兩根驅(qū)動桿件為例,進行振動仿真分析,分別計算優(yōu)化前與優(yōu)化后張拉整體結(jié)構(gòu)的振動位移響應(yīng)變化.

圖3 節(jié)點22的X方向位移

圖4 8號桿件作動器的電壓

從以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):優(yōu)化前振動控制衰減很慢,衰減時間較長,在50 s以后,各節(jié)點均有較大幅度的振動位移;優(yōu)化后振動控制位移衰減很快,在30 s內(nèi),各個節(jié)點振動均得到了很好抑制.優(yōu)化前桿件作動器初始作動電壓較大,但持續(xù)時間短;優(yōu)化后桿件作動器初始電壓較低,但持續(xù)時間長.

圖5 節(jié)點22的X方向位移

圖6 3號桿件作動器的電壓

6 結(jié)束語

筆者建立了張拉整體結(jié)構(gòu)的ANSYS模型,推導(dǎo)了其動力學(xué)方程,經(jīng)過模態(tài)變換與模態(tài)截斷,采用狀態(tài)空間設(shè)計方法,應(yīng)用LQR控制器實現(xiàn)對張拉整體結(jié)構(gòu)振動的最優(yōu)控制.以結(jié)構(gòu)的能量為優(yōu)化性能指標,將模擬退火算法應(yīng)用于張拉整體結(jié)構(gòu)主動桿件的優(yōu)化配置中,在振動最優(yōu)控制的基礎(chǔ)上,完成了結(jié)構(gòu)作動器的優(yōu)化配置.通過兩個桿件優(yōu)化振動仿真結(jié)果對比可知,將作動器布置于優(yōu)化解的位置時,振動控制性能得到了明顯提高,表明了該方法對張拉整體結(jié)構(gòu)的主動桿件可進行有效的優(yōu)化配置.

[1]Motro R.Tensegrity:Structural Systems for the Future[M].London:Hermes Science Publishing Limitdd,2003.

[2]Yoshifumi S.Special Issue on LSS and Its Related Theory of Control in the Near Future-General Consideration[J]. Journal of the Society of Instrument and Control Engineers,1987,26(10):827-828.

[3]Balas M.Trends in Large Space Structure Control Theory:Fondest Hopes,Wildest Dreams[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1982,27(3):522-535.

[4]Li Tuanjie,Wang Zuowei,Li Jin,et al.Distributed Vibration Control of Tensegrity Structure[J].Journal of Vibration and Control,2013,19(5):720-728.

[5]Li Tuanjie,Ma Yujuan.Robust Vibration Control of Flexible Tensegrity Structure ViaμSynthesis[J].Structural Control and Health Monitoring,2013,20(2):53-66.

[6]Baruh H.Placement of Sensors and Actuators in Structural Control[M].San Diego:Academic Press Incorporated,1992:359-390.

[7]Moaveni S.Finite Element Analysis:Theory and Application with ANSYS[M].Second Edition.San Antonio:Pearson Prentice Hall,2008.

[8] 程耀東,李培玉.機械振動學(xué)[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2005.

[9] 解學(xué)書.最優(yōu)控制——理論與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,1986.

[10]康立山,謝云,尤矢勇,等.非數(shù)值并行算法——模擬退火算法[M].北京:科學(xué)出版社,1998.

[11]Kleinman D L,Athans M.The Design of Suboptimal Linear Time-Varying Systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1968,13(2):150-159.

(編輯:齊淑娟)

Actuator placement optimization of optimum vibration control for tensegrity structures

JIANG Jie1,2,LI Tuanjie2
(1.Engineering College,Honghe Univ.,Mengzi 661100,China; 2.School of Mechano-electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

The simulated annealing algorithm is employed to implement the actuators placement optimization for a tensegrity structure,and the effect of actuator positioning on the vibration control of the structure is analyzed.To this end,the ANSYS model of a 4-floor tensegrity structure is built,and the state space control equation of the structure through mode transform and mode truncation is deduced.Based on optimal vibration control for the tensegrity structure,the energy of the system with respect to actuator locations is chosen as the optimal criterion.Simulation results indicate that the optimization method is effective,and that the performance of vibration control of the tensegrity structure is improved dramatically when actuators are placed in the optimal position.

tensegrity structure;vibration control;actuators;optimal control;simulated annealing algorithm;optimal placement

TH113.1;TP273.1

A

1001-2400(2014)01-0170-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.01.030

2012-10-24 < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間:

時間:2013-09-16

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375360)

江 潔(1981-),女,講師,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:jiangjie_uoh@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20130916.0926.201401.210_026.html