基于雙拐點預期理論的資產(chǎn)組合選擇問題

柳維芳

（廈門大學經(jīng)濟學院，福建廈門361005）

一、研究背景

2002年諾貝爾經(jīng)濟學獎授予了預期理論的創(chuàng)始人之一Kahneman先生，其與Tversky提出的預期理論開辟了行為金融研究的先河。然而預期理論雖已獲得了學術界的充分肯定，但其理論本身仍然存在著一些瑕疵。其中最受質(zhì)疑的就是在期望效用理論中滿足一階隨機占優(yōu)關系的兩個分布在預期理論中并不一定仍然滿足一階隨機占優(yōu)?；陬A期理論存在的不足，學者們在后續(xù)研究中提出各種模型對預期理論進行修正。如Tversky和Kahneman（1992）的累積預期理論（Cumulative prospect theory），很好地解決了原始的預期理論無法解釋一階隨機占優(yōu)的缺陷,并將預期理論擴展到具有連續(xù)分布的賭局。隨后，Schmidt et al.（2008）在預期理論框架下，借鑒Sugden（2003）參考點依賴的主觀期望效用理論，構造了不確定參考點的預期理論，并將之稱為第三代預期理論。

經(jīng)過大量的信息學及問卷調(diào)查，學界發(fā)現(xiàn)預期理論的價值函數(shù)存在許多與人們的真實行為相悖的現(xiàn)象。例如在預期理論提出人們在面臨損失時存在損失厭惡的特征，在面臨損失時投資者往往會存在賭一把的心理，因此在損失區(qū)間投資者的價值函數(shù)是凸函數(shù)?；诖思僭O，在預期理論框架下，投資者的邊際效用在個人財富值為0附近會隨著個人財富的減少而下降，該特征與大量的行為研究及投資者的真實感受存在著較大的偏差。Gomes（2005）指出由于極端的損失可能會導致投資者面臨破產(chǎn)的風險，在財富的損失足夠大為避免破產(chǎn)等極端事件的發(fā)生投資者并不會表現(xiàn)得過于偏好風險，基于此點假設Gomes（2005）對預期理論的價值函數(shù)進行了修改，提出了雙拐點價值函數(shù)。Gomes（2005）的基本思想實際上與我國諺語中所提到的留得青山在，不怕沒柴燒相近。江一濤（2010）采用問卷調(diào)查的方式對Gomes（2005）提出的價值函數(shù)進行論證，作者首先提出1992年Kahneman和Tversky在論證預期理論合理性的調(diào)查問卷中所投資者可能面臨的最大損失只有400美元，最大損失水平僅僅是被調(diào)查者個人財富水平的一個較小的部分。作者設計了新的調(diào)查問卷用于進一步分析投資者在面臨過度損失時的行為特征，問卷調(diào)查的結論為Gomes（2005）提出的雙拐點價值函數(shù)提供了實證方面的證據(jù)，在此基礎上作者提出了新一代的預期理論—雙拐點預期理論（Modify prospect theory以下簡稱MPT）。

為了將傳統(tǒng)金融學中的分析方法推廣到行為金融學研究中，本文以隨機占優(yōu)（Stochastic Dominance）準則為出發(fā)點展開論述，隨機占優(yōu)理論最早是由Hadar和Russell（1969）提出的，隨后Hanoch和Levy等人對該理論進行了梳理和總結，隨機占優(yōu)理論是以期望效用理論為基礎的經(jīng)濟學框架建立起來的，用于研究具有相似價值函數(shù)特征的投資者的決策行為的分析方法，由于該方法適用于群體投資行為的分析而被廣泛應用于投資者資產(chǎn)選擇問題，風險管理問題的研究。盡管行為金融學能更好的描述人們的決策行為，但其理論架構能存在缺陷，理論本身尚未建立起完整的理論體系，在分析方法上存在許多主觀的成分，仍有許多無法用模型進行量化的地方。在Kahenman和Tversky之后，許多行為金融學的支持者開始致力于行為金融框架下分析方法和資產(chǎn)組合選擇問題的研究，其中具有代表意義的是Levy和Wiener（1998）提出的預期理論框架下的隨機占優(yōu)準則-PSD（Prospect stochastic dominance）準則，該理論的重要性在于其提出了行為金融框架下群體行為的分析方法，為進一步研究投資者組合選擇問題提供了更為科學的分析工具。在Levy和Wiener（1998）工作的基礎上，Haim Levy和Moshe Levy（2004）研究了預期理論框架下投資者的資產(chǎn)組合選擇問題，通過比較作者發(fā)現(xiàn)在預期前景理論框架下投資者的有效前沿為Markowize（1952）提出的均值方差有效前沿的子集。該結論的提出為傳統(tǒng)金融學和行為金融學之間的聯(lián)系搭起了橋梁，為均值方差理論的合理性提供了行為金融方面的證據(jù)。

本文立足于雙拐點預期理論的研究框架，提出了基于雙拐點預期理論的隨機占優(yōu)準則，進一步，推廣了該隨機占優(yōu)準則用資產(chǎn)收益率的分布函數(shù)表示的等價形式。在此基礎上，我們運用新的隨機占優(yōu)準則對資產(chǎn)組合選擇問題進行了研究，并比較了該準則下的有效組合與均值方差有效組合。本文得到了如下兩個結論：（1）如果投資者在決策時不對收益率的概率分布進行變換，雙拐點隨機占優(yōu)準則下的投資者組合有效前沿等同于均值方差有效前沿；（2）如果投資者在決策時不對收益率的概率分布進行變換，雙拐點隨機占優(yōu)準則下的投資者組合有效前沿是均值方差組合的子集。這兩個結論說明，盡管均值方差理論產(chǎn)生于傳統(tǒng)金融學框架，但該理論在行為金融學框架下依然能延續(xù)原有的合理性。

二、雙拐點預期理論與隨機占優(yōu)

（一）雙拐點預期理論①江一濤：《預期理論的修正及投資者行為研究》，廈門大學博士學位論文，2011年。

江一濤（2010）提出了雙拐點預期理論，在該理論中投資者的價值函數(shù)具體表現(xiàn)形式如下：

X為投資者的初始稟賦的大小，Z為判斷投資損益的平衡點，用于區(qū)分是否投資產(chǎn)生了極端損失的參考點，即當W0≤W＜Z表示投資產(chǎn)生了相對較小的損失，當W＜W0表示投資產(chǎn)生的損失較大。顯然在W0附近投資者的風險態(tài)度發(fā)生了變化，在該參考點左邊投資者是風險偏好的，在該參考點右邊投資者是風險厭惡的。雙拐點預期理論對預期理論的修正使之更加符合人們的直觀感受。從雙拐點預期理論的價值函數(shù)來看，它比預期理論更適合于描述公司管理人員作出并購重組、重大項目投資等重大決策時的行為。因為一旦決策失誤往往給公司帶來巨額虧損，這是管理人員所不想見到的，因此，當面臨可能帶來的巨額虧損時管理人員往往會表現(xiàn)出風險厭惡的特性。

（二）隨機占優(yōu)準則（stochastic dom inance）②柳維芳、張順明、李江峰：《修正前景理論與均值方差分析》，Proceedings of 2011 International Conference on Management Science and Engineering，2011年第3期。

隨機占優(yōu)準則是用于判斷具有相同特征的價值函數(shù)的投資者一致行為的決策的準則，如，一階隨機占優(yōu)便是用來表示具有單調(diào)遞增價值函數(shù)的投資者在判斷任意兩項投資時的一致準則，對于任意兩個投資組合，其累積分布函數(shù)用F和G表示，函數(shù)集合U1為所有滿足非飽和性的價值函數(shù)組成的集合（即集合中的任意函數(shù)滿足單調(diào)遞增的性質(zhì)），如果U1中的任意一個價值函數(shù)u（.），都有EF（u）≥EG（u），則稱F一階隨機占優(yōu)于G，一般表示為F·1G。通過以上的定義我們可以看出如果F·1G，所有具有單調(diào)遞增的價值函數(shù)的投資者都會一致偏好于組合F。Fishburn（1964）同時還給出了一階隨機占優(yōu)的等價形式F·1G，當且僅當對任意的x，E（x）≤G（x），且存在某個x使上述不等式嚴格成立。類似的Hadar和Russell（1969）在非減的風險厭惡的價值函數(shù)集合上定義了二階隨機占優(yōu)的概念，并同時給出了二階隨機占用收益率的分布函數(shù)表示的等價形式。Levy和Wiener（1998）將隨機占優(yōu)方法引入行為金融領域，提出了滿足預期理論價值函數(shù)特征的新型隨機占優(yōu)方法，并命名為預期隨機占優(yōu)理論（Prospect Stochastic Dominance），作者同時給出了預期隨機占優(yōu)用分布函數(shù)表示的等價形式。對于以上各類隨機占優(yōu)的定義及等價形式的證明可以參見Fishburn（1964），Hadar和Russell（1969），Levy和Wiener（1998）。

三、雙拐點預期理論下的隨機占優(yōu)準則（TPSD）

根據(jù)傳統(tǒng)隨機占優(yōu)準則的定義方法，不同的隨機占優(yōu)代表著具有不同函數(shù)特征的價值函數(shù)組成的集合上的一致選擇行為。因此，本文也將沿用傳統(tǒng)隨機占優(yōu)的思想來進行隨機占優(yōu)的定義。

假設函數(shù)集合UMP由所有滿足如下兩個條件的函數(shù)組合：（1）對任意的Z≠0，有U'（Z）>0；（2）當Z>0時，U''（Z）≤0，當x0≤Z<0時，U''（Z）≥0，當Z

由上可知，UMP是由雙拐點預期理論框架下的雙拐點價值函數(shù)組成的集合，具有UMP中價值函數(shù)的投資者的風險態(tài)度分別在收益損失基準點0及極端損失基準點x0處發(fā)生改變。通過研究具有雙拐點價值函數(shù)的投資者的選擇行為，我們就可以定義雙拐點預期理論下的隨機占優(yōu)準則。

定義一：分別用X和Y表示兩個投資組合，這兩個組合的收益率的分布函數(shù)分別用F（.）和G（.）表示。如果對于所有價值函數(shù)u∈UMP，即任意具有雙拐點特征價值函數(shù)的投資者有E[u（X）]≥E[u（Y）]，則稱投資X在雙拐點預期理論準則下隨機占優(yōu)于Y，用符號表示為Y或者F（.）

定義一給出了雙拐點預期理論的基本定義，為了給出更為直觀的定義，有必要推廣用分布函數(shù)表示的雙拐點隨機占優(yōu)。

本處的證明可借鑒隨機占優(yōu)的經(jīng)典證明方法，受篇幅限制本文不進行詳細論述。

定理一將雙拐點隨機占優(yōu)歸納為比較投資組合間分布函數(shù)的兩個性質(zhì)，從定理一也可以看出雙拐點隨機占優(yōu)只需投資者的價值函數(shù)具有雙拐點函數(shù)的特征，與投資者價值函數(shù)的具體函數(shù)形式無關。

預期理論除了提出S形價值函數(shù)的概念，其與期望效用理論的另一個區(qū)別是提出了概率扭曲的概念。預期理論認為投資者在作出決策時會對客觀概率進行主觀扭曲，而不會直接使用客觀概率進行評估。定理一只考慮了無概率扭曲情況下投資者的TPSD準則，定理二將會推廣存在概率扭曲的TPSD準則。

定理二：用T（.）表示投資者的主觀概率權重函數(shù)，用X和Y表示兩個投資組合，這兩個組合的收益率的分布函數(shù)分別用F（.）和G（.）表示，X當且僅當如下兩個條件成立：（1）對任意x1≤x0，有[T（G（t））-T（F（t））]dt≥0；（2）對任意x0≤x2≤0≤x3，有[T（G（t））-T（F（t））]dt≥0。

四、雙拐點預期理論下的資產(chǎn)組合選擇問題

自Markowize（1952）提出均值方差理論后，資產(chǎn)組合選擇問題便成為金融研究的核心領域，本節(jié)將在雙拐點預期理論框架下展開資產(chǎn)組合選擇問題的討論，運用上一節(jié)提到的雙拐點隨機占優(yōu)的思想來研究投資者的有效組合，將該有效前沿與均值方差有效前沿進行比較。依賴于如下三個基本假設：（1）經(jīng)濟中資產(chǎn)收益率的分布函數(shù)為對數(shù)正態(tài)分布；（2）市場滿足完美市場的所有特征；（3）市場中任意資產(chǎn)都是線性無關的。

定義（雙拐點隨機占優(yōu)有效）：對于組合X，如果任何一個具有雙拐點價值函數(shù)的投資者都無法找到組合Y，使X成立，則稱X為雙拐點隨機占優(yōu)有效。

定理三：當任意兩個投資組合X和Y的收益率服從對數(shù)正態(tài)分布，且兩者的收益率的方差相同，那么當且僅當μX≥μY，即在這種情況下一階隨機占優(yōu)等價于均值方差準則。

定理五：如果投資者的主觀概率扭曲函數(shù)T（.）是非減的，那么當且僅當T（F）利用以上三個引理，我們來討論雙拐點預期理論下的投資者有效組合構建問題。

定理六：在本節(jié)的三個基礎假設下，在不考慮投資者對資產(chǎn)收益率的客觀概率分布進行扭曲時，雙拐點隨機占優(yōu)有效前沿與均值方差有效組合完全一致。

證明：（1）我們只需要證明，如果一個投資組合不在均值方差有效前沿上（見圖1），那么該組合也是無效的雙拐點隨機占優(yōu)組合。如圖1，顯然任何一個非均值方差有效組合（如組合F'），在均值方差有效前沿上都可以找到一個與其方差相同但期望收益更大的投資組合F，根據(jù)引理1易得進一步由引理2，如果F一階隨機占優(yōu)于F'，則F必雙拐點隨機占優(yōu)于F'，故組合F'是不在雙拐點隨機占優(yōu)有效前沿上。（2）下一步證明均值方差有效前沿內(nèi)的組合（如圖1中的組合G和組合F），相互之間不存在雙拐點隨機占優(yōu)的關系，即G與F不成立。其一，如果假設F由定理一，則必有[G（t）-F（t）]dt≤0成立，通過分布積分便可得組合F的期望收益小于組合G的期望收益，但由圖1可知組合F的期望收益是大于組合G的期望收益，所以F的假設不成立；其二，假設G，由圖1有μF≥μG，σF≥σG，所以根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的特征，如圖2所示分布函數(shù)G必然從下往上穿過分布函數(shù)F。因此對任意的x滿足x≤x0，均無法保證[F（t）-G（t）]dt≥0，成立，故G的假設不成立。因此，雙拐點隨機占優(yōu)的有效組合也是均值方差組合。

圖1 有效前沿

以上定理的結論說明均值方差準則與雙拐點占優(yōu)準則盡管理論框架存在巨大分歧，但是兩者在進行投資決策時卻產(chǎn)生了完全一致的選擇結果。這一結論與Levy（2004）研究的預期隨機占優(yōu)與均值方差準則的關系時的結論不同，Levy（2004）證明了在與本文相同的三個基礎假設條件下，預期隨機占優(yōu)有效組合是均值方差有效組合的子集。Levy的結論說明使用預期理論進行決策的投資者所選擇的有效組合集小于傳統(tǒng)金融學得到的有效組合集合。而本文的結論補齊了Levy（2004）的有效前沿，認為盡管傳統(tǒng)金融學與行為金融學存在眾多的分歧，但在有效組合構造上卻依然一致。

定理七：如果投資者對收益的概率分布進行主觀調(diào)整，假設概率扭曲函數(shù)T（.）是單調(diào)非減函數(shù)，那么雙拐點隨機占優(yōu)有效組合集是均值方差有效前沿的子集。

證明：與定理一的證明相似，只須證明均值方差有效前沿下方的任意組合（見圖2）都不是雙拐點隨機占優(yōu)有效的，之前已經(jīng)證明（圖1）中的因為扭曲函數(shù)T（.）是單調(diào)遞增的，由引理3可知，進一步根據(jù)引理2可得T（F）·TPSDT（F'）。所以均值方差有效前沿下方的任意組合都不是雙拐點隨機占優(yōu)有效的，從而雙拐點隨機占優(yōu)有效前沿組合必定在均值有效前沿組合內(nèi)部。

五、結論

實證調(diào)查發(fā)現(xiàn)雙拐點預期理論相比預期理論更加符合人們的真實心理感受，因此本文基于雙拐點預期理論展開研究，首先將隨機占優(yōu)的思想引入行為金融學的研究，給出了雙拐點隨機占優(yōu)的定義，并使用收益率的分布函數(shù)給出了判斷雙拐點隨機占優(yōu)的方法。運用雙拐點隨機占優(yōu)方法，本文比較了雙拐點預期理論與傳統(tǒng)金融理論在資產(chǎn)組合選擇問題上的異同。從資產(chǎn)組合選擇問題上，雙拐點預期理論保持了與均值方差理論的一致性，這一結論也說明為何在行為金融盛行的時代，均值方差理論等傳統(tǒng)金融學研究結論依然受到學術界和業(yè)界的青睞。本文的結論也說明即使行為金融學與傳統(tǒng)金融學在基礎框架及研究方法上存在著很大的分歧，但兩者卻非完全對立。

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