基于μ綜合方法的自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)

王建琦，楊育榮，鄭鯤鵬

（中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南洛陽(yáng)471000）

基于μ綜合方法的自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)

王建琦，楊育榮，鄭鯤鵬

（中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南洛陽(yáng)471000）

摘 要：對(duì)于具有不確定性的控制系統(tǒng)，如何保證控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)能夠具有魯棒性，同時(shí)又達(dá)到最優(yōu)的控制性能， μ綜合方法以完備的結(jié)構(gòu)奇異值理論為基礎(chǔ)，給出了這一問(wèn)題的最優(yōu)解。導(dǎo)彈受控飛行于稠密大氣層時(shí)，其自動(dòng)駕駛儀正是這樣一種要面對(duì)多種不確定性因素的控制系統(tǒng)，為使導(dǎo)彈控制在這種情況下達(dá)到魯棒最優(yōu)，將 μ綜合方法用于導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)，并對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果分析表明采用該方法對(duì)于導(dǎo)彈氣動(dòng)不確定性具有更好的魯棒效果。

關(guān)鍵詞：魯棒控制； μ綜合；D-K迭代算法；自動(dòng)駕駛儀

0　引言

反饋控制系統(tǒng)的原始動(dòng)機(jī)是提供滿意的性能給存在模型誤差、不確定性變化的系統(tǒng)。反饋只有在系統(tǒng)特征中的不確定性使其性能達(dá)不到要求時(shí)才需要引入。如果給定了一個(gè)具有不確定性描述的模型，并認(rèn)為該模型恰當(dāng)表達(dá)了對(duì)象的基本特征，控制器設(shè)計(jì)的下一步便是確定何種結(jié)構(gòu)可以達(dá)到期望的性能，預(yù)濾波輸入信號(hào)（或開環(huán)控制）能夠改變模型集合的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，但不能減小不確定性的影響，若不確定性太大以至于達(dá)不到期望的控制性能，就需要反饋結(jié)構(gòu)。然而僅有反饋結(jié)構(gòu)并不能保證減小不確定性的影響，要達(dá)到利用反饋減小不確定性影響的目的還存在許多障礙，因?yàn)閷?duì)于表示物理系統(tǒng)的不確定性的任何一個(gè)合理模型集合，在足夠高的頻率處會(huì)變大且相位完全未知，因此必須在這些頻率上盡可能的減小閉環(huán)增益，以避免高頻系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定。

更糟的是，反饋系統(tǒng)實(shí)際上在不確定性很大的頻段上增大了系統(tǒng)的不確定性和靈敏度。也就是說(shuō)，由于對(duì)建立合理的物理系統(tǒng)模型集合難以全面描述的限制，不能利用反饋（或任何其它控制結(jié)構(gòu)）使閉環(huán)模型集合成為開環(huán)模型集合的一個(gè)有理子集，而能夠達(dá)到的是：通過(guò)利用反饋顯著降低對(duì)某些重要信號(hào)的不確定性，同時(shí)對(duì)其它信號(hào)不確定性的增加很小[1]。因此，反饋設(shè)計(jì)的核心是圍繞如何降低不確定性的綜合影響進(jìn)行折中。但這無(wú)疑使得控制系統(tǒng)性能的發(fā)揮打了折扣，因?yàn)橥ǔＧ闆r下折中的考慮會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)的保守性，如何針對(duì)不確定性，使得控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)既能夠抵抗這些不確定性（即具有魯棒性），又能夠達(dá)到較優(yōu)的控制性能，成為這種情況下反饋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)核心。而傳統(tǒng)的古典控制由于具有上述先天不足，因而使得基于現(xiàn)代控制理論的魯棒控制自20世紀(jì)90年代以來(lái)迅速發(fā)展，并應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)。

導(dǎo)彈受控飛行于稠密大氣層中，由于控制系統(tǒng)建模的復(fù)雜性，其自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)不得不面臨多種不確定性因素。諸如氣動(dòng)建模不準(zhǔn)、氣動(dòng)本身的不確定性、風(fēng)干擾、傳感器建模誤差等（其中氣動(dòng)特性不確定性影響最為重要）[2]。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法通過(guò)提高穩(wěn)定裕度的保守設(shè)計(jì)來(lái)降低不確定性的影響，但這也使得自動(dòng)駕駛儀的性能打了折扣。魯棒控制對(duì)此給出了較好的解決辦法[3]，H∞控制雖然是基于現(xiàn)代控制理論的魯棒設(shè)計(jì)，但其所固有的保守性設(shè)計(jì)仍然以魯棒為主，而μ綜合方法以完備的結(jié)構(gòu)奇異值理論為基礎(chǔ)，能夠達(dá)到控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)魯棒最優(yōu)，這正是自動(dòng)駕駛儀的設(shè)計(jì)所要達(dá)到的目標(biāo)，因此本文采用μ綜合方法開展了導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)，首先介紹了μ綜合方法D-K迭代的控制算法，然后基于此對(duì)導(dǎo)彈縱向通道駕駛儀的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了相應(yīng)的轉(zhuǎn)換和描述，將傳統(tǒng)的小擾動(dòng)線性化的動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間的形式，通過(guò)利用matlab的魯棒控制工具箱進(jìn)行μ綜合控制器設(shè)計(jì)，最后對(duì)設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行了仿真驗(yàn)證和分析。

1　μ綜合方法概述

μ綜合方法以結(jié)構(gòu)奇異值理論為基礎(chǔ)，不但能夠有效地、無(wú)保守地判斷最壞情況下攝動(dòng)的影響，且當(dāng)存在不同表達(dá)形式的結(jié)構(gòu)化不確定性時(shí)，能夠分析控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能[4]。與其他魯棒控制方法相比，更具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）結(jié)構(gòu)化不確定性可以完全直接引入到控制器設(shè)計(jì)中，無(wú)需將其轉(zhuǎn)化為一類更大范圍的不確定性，從而導(dǎo)致了不必要的保守性；

2） μ方法還可以對(duì)魯棒性能進(jìn)行分析與綜合，不像H∞優(yōu)化方法只能進(jìn)行魯棒穩(wěn)定性的分析和設(shè)計(jì)控制器。

目前， μ綜合的有效近似方法為“D-K迭代”。假設(shè)K是狀態(tài)或/和輸出反饋矩陣，M為廣義標(biāo)稱對(duì)象矩陣，Δ為結(jié)構(gòu)不確定性矩陣，且滿足(Δ(jω))＜1,?ω∈R，根據(jù)小 μ定理可知該系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件是：

1）反饋控制器K能夠使對(duì)象閉環(huán)穩(wěn)定，構(gòu)成穩(wěn)定的標(biāo)稱系統(tǒng)，即K可以鎮(zhèn)定M；

2） μΔ(M(K))＜1,?ω∈R。

其中M(K)可表示為M和K的下線性分式變換形式Fl(M,K)，并根據(jù)μ的基本性質(zhì)定理，則上述充要條件可轉(zhuǎn)化為：

1）Fl(M,K)∈RH∞；

μ綜合設(shè)計(jì)的目的就是尋找正則控制器K，使上述條件成立，其中標(biāo)度矩陣D可以選擇為穩(wěn)定的最小相位陣，并滿足

即可。

根據(jù)轉(zhuǎn)化后的條件（2），通過(guò)反復(fù)求解K和D，最終得到滿意的μ值。考慮到性能最優(yōu)問(wèn)題，μ綜合問(wèn)題由條件（2）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

若D固定，則為：

此時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問(wèn)題；若K固定，則為：

此時(shí)為一個(gè)關(guān)于D的凸優(yōu)化問(wèn)題。

由此可知最優(yōu)化 μ綜合問(wèn)題的D-K迭代的基本思想是：先固定D，獲得最小化的K；再固定K，獲得最小化的D；再固定D，求最小化的K，以此類推，最終獲得最優(yōu)的D和K。D-K迭代算法描述如下：

1）選擇初始標(biāo)度矩陣D(s)；

2）固定D(s)，求解式（3）的H∞控制問(wèn)題，得到控制器K(s)；

3）固定K(s)，求解式（4）的凸優(yōu)化問(wèn)題,得到標(biāo)度矩陣ˉ(s)；

圖1　D-K迭代算法流程Fig.1 D-K iteration algorithm program

雖然D-K迭代不能保證獲得全局最優(yōu)解，但通常情況下迭代所得的控制器是十分有效的，這也是D-K迭代有待提高改進(jìn)之處。

2　導(dǎo)彈的μ綜合控制設(shè)計(jì)

導(dǎo)彈縱向自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)時(shí)通常采用小擾動(dòng)線性化的方法，從而獲得各動(dòng)力學(xué)變量的傳遞函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)。由于本文采用魯棒最優(yōu)控制方法，因此將傳統(tǒng)的小擾動(dòng)線性化的動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間的形式，以便于進(jìn)行μ綜合的設(shè)計(jì)和分析。

導(dǎo)彈的縱向運(yùn)動(dòng)可以用小擾動(dòng)方程來(lái)近似描述。我們把導(dǎo)彈縱向運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)用狀態(tài)方程的形式描述如下[5]：

主要變量的含義如表1所示。

表1　主要變量的含義Tab.1 The meaning of main variables

基于 μ綜合的導(dǎo)彈控制系統(tǒng)框圖如圖2所示,其目的是設(shè)計(jì)μ綜合控制器在各種噪聲W以及不確定性的影響下，使導(dǎo)彈實(shí)際過(guò)載能夠正確的跟蹤過(guò)載指令。

圖2　μ綜合自動(dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure ofμsynthesis autopilot

選取特征點(diǎn)高度5km、馬赫數(shù)0.9、“X”飛行狀態(tài)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。在標(biāo)稱系統(tǒng)設(shè)計(jì)完備的基礎(chǔ)上，利用matlab的魯棒控制工具箱進(jìn)行μ綜合控制器設(shè)計(jì)，根據(jù)圖2建立好系統(tǒng)模型并設(shè)定了各項(xiàng)參數(shù)后，可自動(dòng)進(jìn)行D-K迭代過(guò)程，每一步都可由設(shè)計(jì)人員針對(duì)具體情況進(jìn)行人工干預(yù)，每一步設(shè)計(jì)的中間結(jié)果也可以清楚地顯示出來(lái)，設(shè)計(jì)界面和參數(shù)如下面圖3、圖4所示。

圖3　μ綜合控制器設(shè)計(jì)平臺(tái)界面1Fig.3 Design platform 1 ofμsynthesis controller

圖4　μ綜合控制器設(shè)計(jì)平臺(tái)界面2Fig.4 Design platform 2 ofμsynthesis controller

將D-K迭代最終獲得的控制器矩陣帶入圖2所示的控制器結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行仿真，時(shí)域響應(yīng)結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5　縱向線加速度階躍響應(yīng)Fig.5 Step response of acceleration

圖6　縱向舵輸出Fig.6 Output of the pitch fin

圖5中加速度信號(hào)給出了理想情況下（期望達(dá)到的響應(yīng)特性）、標(biāo)稱情況下（考慮到模型不確定性Δ）、拉偏（氣動(dòng)力/力矩拉偏,均為20%【6】）情況下的階躍響應(yīng)?？梢钥闯觯O(shè)計(jì)的控制器能夠使導(dǎo)彈控制系統(tǒng)基本達(dá)到期望的響應(yīng)特性，并且在氣動(dòng)力/力矩不確定的情況下，具有較強(qiáng)的魯棒性。

3　針對(duì)不確定性的μ分析

μ綜合控制器與傳統(tǒng)控制器性能比較的方法是采用μ理論中的魯棒分析方法對(duì)傳統(tǒng)控制器進(jìn)行分析，并給出與 μ綜合控制器相對(duì)應(yīng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能指標(biāo)，包括最大結(jié)構(gòu)奇異值、標(biāo)稱性能與最壞擾動(dòng)情形的比較。傳統(tǒng)的控制器如經(jīng)典三回路自動(dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)圖7所示。

圖7　三回路自動(dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)Fig.7 Structure of three loops autopilot

選用相同狀態(tài)的特征點(diǎn)進(jìn)行傳統(tǒng)控制器參數(shù)設(shè)計(jì)，并達(dá)到與 μ綜合控制器設(shè)計(jì)結(jié)果近似的控制性能，然后從頻域上比較兩種方法的結(jié)構(gòu)奇異值特性。圖8給出了μ綜合控制器和傳統(tǒng)控制器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值隨頻率變化特性圖。

圖8　μ綜合控制器與傳統(tǒng)控制器結(jié)構(gòu)奇異值比較Fig.8 Compare ofμsynthesis controller and PI controller

由圖8可見，在0.01～100rad/s范圍內(nèi)（尤其是駕駛儀的工作頻帶1～100rad/s）采用 μ綜合控制器的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值明顯小于傳統(tǒng)控制的閉環(huán)系統(tǒng)，尤其在中頻段更加顯著，這意味著前者對(duì)建模不確定性具有更好的抑制作用。

從以上分析可見，利用μ綜合方法設(shè)計(jì)出與傳統(tǒng)控制器相比在同等控制性能下具有更好的魯棒性或者在同等魯棒性指標(biāo)下具有更優(yōu)的控制性能的控制器是完全可能的。

4　結(jié)論

本文通過(guò)建立基于狀態(tài)空間的導(dǎo)彈縱向彈體模型，采用 μ綜合方法進(jìn)行了自動(dòng)駕駛儀的設(shè)計(jì)，與傳統(tǒng)的經(jīng)典控制方法相比，對(duì)于含有各類有界的參數(shù)和非參數(shù)不確定性的被控對(duì)象，結(jié)構(gòu)奇異值方法無(wú)保守性地解決了魯棒性問(wèn)題。并且 μ分析方法比古典控制理論中的增益裕度、相位裕度方法要更具有普遍性， μ綜合方法不僅可以解決動(dòng)態(tài)控制器中的參數(shù)變化問(wèn)題，還可以處理在被控對(duì)象模型中的不確定性以及回路中任何位置的參數(shù)攝動(dòng)問(wèn)題。在任何使閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下，通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)奇異值的分析能夠定量地、無(wú)保守性地給出其穩(wěn)定性和魯棒性能的裕量。從仿真結(jié)果可以看出用μ綜合的方法設(shè)計(jì)的控制器，不但能保證閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，而且還能保證系統(tǒng)攝動(dòng)情況下的魯棒性能，這是其它控制方法所不能及的，從而體現(xiàn)了μ綜合的優(yōu)越性。

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中圖分類號(hào)：TP273.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2095-8110（2014）03-0037-05

收稿日期：2014–04–25；

修訂日期：2014–06–10。

作者簡(jiǎn)介：王建琦(1977–），男，博士，高工，主要從事飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。E-mail:wangjianqi88@hotmail.com

Autopilot Design Based on Method of μ Synthesis

WANG Jian-qi,YANG Yu-rong,ZHENG Kun-peng
(ChinaAirborne MissileAcademy,Luoyang 471000,China)

Abstract：Method ofμsynthesis based on self-contained structured singular value theory provides a resolution for control system with uncertain character.It makes the control system to have enough robustness and optimal control performance.When the missile is flying in the dense aerosphere,the autopilot is such a control system facing a lot of uncertain elements.To obtain the optimal robustness in such case,the method ofμsynthesis is used to design the autopilot in this paper.Also the results of simulation are tested and analysed.And the final analysis indicates the adopted controller has a better robust effect than the traditional PI controller.

Key words:Robust Control;Method ofμsynthesis;D-K iteration algorithm;Autopilot