相容半連續(xù)格

李海龍，姜廣浩

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

1 預備知識

1971年因理論計算機的語義問題，Scott提出了連續(xù)格的概念［1］，隨著后人的研究將其推廣到一般范圍內，Ray首先提出了半素理想的概念，并研究了它的一些性質［2］.Zhao利用半素理想得到一種新的關系，由此定義了半連續(xù)格并研究了它的性質［3］，伍秀華等又進一步研究了半連續(xù)格的性質［4］.在此基礎上，本文定義了相容半連續(xù)格的概念，研究它的一些性質，并得到相容半連續(xù)格的任意收縮仍是相容半連續(xù)格的結論.

定義1［5］設L是格，I?L是理想，若對任意x，y，z∈L，當x∧y∈I，x∧z∈I時，有x∧（y∨z）∈I，則稱I為L的半素理想.Rd（L）表示所有半素理想構成的集合.

定義2［6］設L是完備格，?x，y∈L，稱x?y，如果對?S∈Rd（L），y≤supS，有x∈S.

2 相容半連續(xù)格

定義3 設L 是格，x，y∈L，如果對?S∈Rd（L），若supS存在，且y≤supS，有x∈S，則稱x弱?關系y，記為x?wy.對任意的x∈L，記?wx＝｛y∈L：y?wx｝.

定義4 設L是格，S∈Rd（L）稱為L的相容半素集，如果存在x∈L，使得S??wx.記Ic（L）＝｛S：S是L的相容半素集｝.

定義5 若格L中任意相容半素集都有并和交，則稱L是相容完備格.

定義6 設L是相容完備格，?x，y∈L，x稱為相容?關系y，記為x?cy，如果對?S∈Ic（L），若y≤supS，有x∈S.記為?cy＝｛x∈L：x?cy｝.

定理1 設L是相容完備格，則對?x，y，z，u∈L，有

1）x?wy?x?cy；

2）u≤x?cy≤z?u?cz.

證 1）由?c和?w定義易知.

2）對?S∈Ic（L），若z≤supS，由y≤z知，y≤supS.又由x?cy知，x∈S，又u≤x，S為理想，有u∈S，故u?cz.

定理2 設L是相容完備格，則對?x∈L，?cx為L的相容半素集.

證 首先證?cx為理想.對?a∈?cx，?b∈L，若b≤a，由定理1知，b∈?cx，故?cx為下集.對?y，z∈?cx，由?c的定義知，?S∈Ic（L），x≤supS，有y，z∈S.因S為理想，故y∨z∈S，從而y∨z∈?cx，所以?cx為理想.

再證?cx為半素理想.設a∧b∈?cx，a∧c∈?cx，由?c的定義知，對?S∈Ic（L），若x≤supS，有a∧b∈S，a∧c∈S.由S為半素理想，有a∧（b∨c）∈S.再由?c的定義知a∧（b∨c）∈?cx，故?cx為半素理想.

下證?cx為相容半素集.?a∈?cx，由?c的定義知，?S∈Ic（L），若x≤supS，有a∈S，從而?cx?S.又S為相容半素集，從而?b∈L，使得S??cb，即?cx??cb，故?cx為相容半素集.

引理1 相容完備格的有限個相容半素集的并仍為相容半素集.

證 設L為相容完備格，令S＝∪｛Si：Si∈Ic（L），i∈Λ，Λ為有限集｝.因格L的有限個半素理想的并仍是它的半素理想［3］，故S為L 的半素理想.由Si為相容半素集知，存在xi∈L，使得Si??wxi.因L為相容完備格，從而，即xi，有.從而故S，所以S 為相容半素集.

定義7 設L是相容完備格，若對?x∈L，有x≤sup?cx，則稱L為相容半連續(xù)格.

定義8 設L是相容完備格，B?L.若?x∈L有

1）↓（ ?cx∩B）∈Ic（L）；

2）x≤sup（ ?cx∩B），

則稱B為L的半基.

定理3 設L是相容完備格，若B為L的半基且B?B＊，則B＊為L的半基.

證 只 要 證 對 ?x∈L，有 ↓ （?cx∩B）＝↓（ ?cx∩B＊）.一 方 面，因 B?B＊，所 以（?cx∩B）? （?cx∩B＊），于 是 ↓ （?cx∩B）?↓（ ?cx∩B＊）.另一方面，對?y∈↓（ ?cx∩B＊），有y?cx.因B 為L 的 半基，所 以 ↓ （?cx∩B）∈Ic（L），且x≤sup （?cx∩B）.又由y?cx知，y∈↓（ ?cx∩B），于 是 ↓（ ?cx∩B＊）? ↓（ ?cx∩B），故↓（ ?cx∩B）＝↓（ ?cx∩B＊），所以B＊為L的半基.

定理4 設L是相容完備格，則L為相容半連續(xù)格?L存在半基.

證 必要性.設L為相容半連續(xù)格，則對?x∈L，有?cx為相容半素集和x≤sup?cx，于是有↓（ ?cx∩L）＝?cx∈Ic（L），x≤sup（ ?cx∩L），故L為其本身的半基.

充分性.設B為L的半基，則對?x∈L，有x≤sup（ ?cx∩B），由?cx∩B??cx，所以x≤sup?cx，從而L為相容半連續(xù)格.

定理5 設L是相容完備格，B?L.則B為L的半基?對?x∈L，有↓（ ?cx∩B）∈Ic（L），且對?x，y∈L，若y／≤x，則?b∈B，使得b／≤x，b?cy.

證 必要性.若B為L的半基，則對?y∈L，有↓（ ?cy∩B）∈Ic（L），且y≤sup（ ?cy∩B），對?x∈L，若y／≤x，則sup（?cy∩B）／≤x，從而?b∈B∩?cy，使得b／≤x.

充分性.只要證對?x∈L有x≤sup（ ?cx∩B）.假設?a∈L，使得a／≤sup（?ca∩B），由條件知?b∈B∩?ca，使得b／≤sup（?ca∩B），矛盾.從而對?x∈L，有x≤sup（ ?cx∩B），又↓（ ?cx∩B）∈Ic（L），故B為L的半基.

定義9 設L是相容完備格，x∈L，B是L的相容半素集，B稱為x處的相容半素極小集，若B≠?且滿足

1）x≤sup B；

2）?S∈Ic（L），若x≤supS，則?b∈B，?s∈S，使得b≤s.

定理6 設L是相容完備格，x，y∈L，則x?cy??S∈Ic（L），若y≤supS，則?s∈S，使得x≤s.

證 必要性.由x?cy知，?S∈Ic（L），若y≤supS，有x∈S.只需取s＝x∈S，從而有x≤s.

充分性.對?S∈Ic（L），若y≤supS，則?s∈S，使得x≤s.由S為相容半素集，從而S為理想，故x∈S.再由?c的定義知，x?cy.

定理7 設L是相容完備格，?x∈L，B是x處的相容半素極小集?B??cx且x≤sup B.

證 必要性.因B是x處的相容半素極小集，由定義知，x≤sup B.?S∈Ic（L），若x≤supS，則?b∈B，?s∈S，使得b≤s，從而b?cx，即b∈?cx，故B??cx.

充分性.由B??cx，?b∈B有b?cx.由定理6知，?S∈Ic（L），若x≤supS，則?s∈S，使得b≤s.又x≤sup B，故B是x處的相容半素極小集.

定理8 設L是相容半連續(xù)格，?x∈L，若x處有相容半素極小集，則?cx是x處的最大相容半素極小集.

證 由于L是相容半連續(xù)格，故x≤sup?cx.對?a∈?cx，由定理6知，?S∈Ic（L），若x≤supS，則?s∈S，使得a≤s，故?cx為x處的相容半素極小集.再由定理7知，對x處的任意相容半素極小集B，有B??cx，故?cx是x處的最大相容半素極小集.

定義10 設L，Q是相容完備格，f：L→Q是保序映射.若對?S∈Ic（L），有f（supS）＝supf（S），則稱f為相容半連續(xù)的.

定理9 設L，Q是相容半連續(xù)格，映射f：L→Q是相容半連續(xù)的且保?c關系?f保相容半素極小集.

證 必要性.設f：L→Q是保?c關系的相容半連續(xù)映射，B是x處的相容半素極小集，則x≤sup B.由 f 保 序，故 有 f（x）≤f（sup B）＝sup f（B）.由定理7知B??cx.于是，?b∈B 有b?cx.由f 保?c關系，f（b）?cf（x），即f（b）∈?cf（x），從而f（B）??cf（x）.再由定理7知，f（B）是Q中f（x）處的相容半素極小集.

充分性.設f：L→Q是保相容半素極小集的相容半連續(xù)映射，對?x∈L，由定理8知，?cx是x處的最大相容半素極小集.又由f保相容半素極小集，從而f（?cx）為Q中f（x）處的相容半素極小集，且由定理7知，f（?cx）??cf（x）.于是，對任意y?cx，有y∈?cx，則f（y）∈f（?cx），于是f（y）∈?cf（x），即f（y）?cf（x），故f保?c關系.

定理10 設L，Q是相容半連續(xù)格，f：L→Q是保相容半素極小集的保序映射，則f是相容半連續(xù)的.

證 對?S∈Ic（L），由L是相容半連續(xù)格和f保序，故有f（supS）≥supf（S）.下證f（supS）≤supf（S）.設B是supS處的相容半素極小集，f（B）是f（supS）處的相容半素極小集，則由定義9，對?b∈B，?s∈S，使得b≤s，于是f（b）≤f（s）≤sup f（S），從而supf（B）≤supf（S）.再由定義9，f（sup S）≤supf（B），故f（supS）≤supf（S），即f是相容半連續(xù)的.

定理11 設L是相容半連續(xù)格，Q是相容完備格，f：L→Q是相容半連續(xù)的和保?c關系的滿射，則Q是相容半連續(xù)格.

證 ?y∈Q，由f為滿射，則?x∈L，使得y＝f（x）.由L為相容半連續(xù)格，有x≤sup?cx.又f為相容半連續(xù)的，故y＝f（x）≤f（sup?cx）＝sup f（?cx）.由 f 是保 ?c關系，有f（?cx）??cf（x），從而y≤supf（?cx）≤sup?cf（x）＝sup?cy，故Q是相容半連續(xù)格.

定義11 設L，Q是相容完備格，f：L→Q是保序映射，若對?S∈Ic（L），有f（supS）＝supf（S），且↓f（S）∈Ic（Q），則稱f為強相容半連續(xù)的.

定義12 對相容完備格L，Q，若存在強相容半連續(xù)映射r：L→Q，h：Q→L，滿足r?h＝iQ（Q上的恒等映射），則稱Q為L的收縮.

定理12 相容半連續(xù)格的任意收縮仍是相容半連續(xù)格.

證 記?Qcx＝｛z∈Q：z?cx｝，只要證對?x∈Q，有x≤sup?Qcx.由于Q為L的收縮，故存在強相容半連續(xù)映射r：L→Q，h：Q→L滿足r?h＝iQ.對?x∈Q，x＝r?h（x），h（x）∈L.因為L 是相容半連續(xù)格，故h（x）≤sup?ch（x）.因r為強相容半連續(xù)的，有x＝r?h（x）≤r（sup?ch（x））＝supr（?ch（x））.對?y?ch（x），?S∈Ic（Q），x≤supS，由h為強相容半連續(xù)的，有h（x）≤h（supS）＝suph（S）＝sup↓h（S）和↓h（S）∈Ic（Q），故y∈↓h（S），進而?s∈S，使y≤h（s）.因r為強相容半連續(xù)的，從而r保序，故有r（y）≤r（h（s））＝s，進而r（y）∈S，又x≤supS，于是r（y）?cx，即 r（?ch（x））? ?Qcx.由 x≤sup r（?ch（x）），有x≤sup（?Qcx），故Q為相容半連續(xù)格.

［1］Scott D S.Continuous lattices［M］／／Lawvere F W.Toposes，algebraic geometry and logic.Berlin：Springer，1972：97－136.

［2］Ray Y.Semiprime ideals in general lattices［J］.J Pure Appl Algebra，1989，56（2）：105.

［3］Zhao Dongsheng.Semicotinuous lattice［J］.Algebraic Universalis，1997，37（4）：458.

［4］伍秀華，李慶國，許任飛.半連續(xù)格的性質［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2006，20（4）：42.

［5］李高林，徐羅山，陳昱.半連續(xù)格上的半基和局部半基［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2010，24（1）：51.

［6］姜廣浩.半連續(xù)格上的一個注記［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2008，22（1）：15.