悖論教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討

顏冠群

一、悖論與悖論教學(xué)法

1.悖論?！般Ｕ摗币辉~源于古希臘，屬邏輯學(xué)名詞，也可稱作“逆論”或“反論”。這個(gè)詞的意義較為豐富，它囊括了一切與人的直覺和日常經(jīng)驗(yàn)相矛盾的結(jié)論，現(xiàn)在多指在表面上看似能自圓其說的命題或理論體系，在邏輯上卻可以推導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論。

一般來說，數(shù)學(xué)中具體可分為三種悖論。一類稱為“佯謬”，即這個(gè)論斷看似絕對錯(cuò)誤，卻是正確的；一類論斷恰恰相反，看似是正確的，實(shí)際卻被證明是錯(cuò)誤的；還有一類論斷，它的一組推論看起來天衣無縫，卻在邏輯上蘊(yùn)含著自相矛盾。正如黑格爾所說：矛盾正是對知性的局限性的超越和這種局限性的消解。悖論的出現(xiàn)往往是因?yàn)槿藗儗δ承└拍畹睦斫?、認(rèn)識不夠深刻或存在錯(cuò)誤所導(dǎo)致的。而解決悖論的過程則是發(fā)展認(rèn)識并超載這種歷史局限性的過程。悖論的提出，曾經(jīng)在歷史上給數(shù)學(xué)帶來極大的挑戰(zhàn)和震撼。而隨著對悖論不懈的探討和研究，數(shù)學(xué)本身也成就了巨大的變革和發(fā)展。

2.悖論教學(xué)法。在以知識為本位的傳統(tǒng)教學(xué)中，悖論往往是受擯棄的，因?yàn)閭鹘y(tǒng)教學(xué)關(guān)注知識的傳授與接收，對于悖論這般“似是而非”或是“自相矛盾”的論斷避而不談，以免淆惑視聽是最佳之道。本文所探討的悖論教學(xué)法，則反其道而行，是把悖論適當(dāng)引入高數(shù)課堂的一種教學(xué)方法。在課上提出一個(gè)悖論，往往能激起學(xué)生巨大的好奇心和共鳴。他們一步步走入平坦無奇的小道，遵循著一條無懈可擊的推理思路往前走，忽然之間，發(fā)現(xiàn)自己已置身于矛盾之中，究竟是哪錯(cuò)了？悖論造成的強(qiáng)烈震撼使思維陷入左右搖擺的境地，于是他們努力試圖推翻它或是提出一系列的辦法解決它。正是在這樣不知不覺的過程中，學(xué)生也一步步走入了創(chuàng)設(shè)的課堂情境?？梢哉f，正是由于悖論本身的奇妙魅力，在課堂中若能不失時(shí)機(jī)地引入，并且應(yīng)用得當(dāng)，不但不會誤入歧途，陷入思維誤區(qū)，還將幫助學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和內(nèi)驅(qū)力。正如邏輯學(xué)家赫茨貝格說：“悖論之所以具有重大意義，是由于它們使我們看到我們對某些根本概念的理解存在多大的局限性，事實(shí)證明，它們是產(chǎn)生邏輯和語言的新觀念的豐富源泉?！?/p>

悖論教學(xué)法的理論依據(jù)可以從兩方面來探討：一是從心理學(xué)理論來看。一方面，教師在課堂中設(shè)計(jì)合理的悖論，誘使學(xué)生走入“錯(cuò)誤的泥潭”。學(xué)生發(fā)現(xiàn)后必然在心理上產(chǎn)生警覺，這種警覺可以有效防止思維定式的消極作用。另一方面，在教學(xué)中適時(shí)引入悖論，然后再加以否定，通過正誤對比，可引起學(xué)生的注意，使學(xué)生記憶深刻。二是從學(xué)習(xí)理論來看。悖論教學(xué)法可以將學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生自主的積極活動(dòng)，學(xué)習(xí)不再是被動(dòng)接受知識的過程，而是主動(dòng)建構(gòu)的過程。學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、分析和消除悖論的過程中，進(jìn)行知識建構(gòu)、自主學(xué)習(xí)和重新調(diào)整自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使知識經(jīng)驗(yàn)更豐富和知識結(jié)構(gòu)更合理、更系統(tǒng)。

二、悖論教學(xué)法的應(yīng)用價(jià)值

1.激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。在傳統(tǒng)的高數(shù)課堂教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生往往覺得數(shù)學(xué)理論枯燥乏味、煩瑣難懂，導(dǎo)致學(xué)生課堂持續(xù)注意時(shí)間普遍較短，學(xué)習(xí)內(nèi)容和效果都很難得到有效落實(shí)。悖論教學(xué)法的實(shí)質(zhì)，是讓學(xué)生心理形成一種認(rèn)知失調(diào)，以激發(fā)其探究心理，培養(yǎng)直接或近景性的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)力。所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”。在數(shù)學(xué)課堂中適時(shí)引入悖論，正是創(chuàng)設(shè)了一個(gè)新穎、有效的探究性學(xué)習(xí)情境，使其與學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)、思維定式產(chǎn)生矛盾，引發(fā)知識結(jié)構(gòu)上的不協(xié)調(diào)和進(jìn)一步?jīng)_突，造成心理上的懸念和思維上的刺激，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探索的興趣。在實(shí)踐中適當(dāng)應(yīng)用悖論教學(xué)法，發(fā)起積極主動(dòng)參與的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓個(gè)體體驗(yàn)到有能力來對待外部世界所帶來的變化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，主動(dòng)探索新情境；也讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)并非“空中樓閣”，而是真正地源于生活，高于生活。

2.有助于理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵與本質(zhì)。數(shù)學(xué)知識往往包含多重屬性，學(xué)生對某一知識、概念的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷逐步剔除非本質(zhì)屬性，從干擾因素中辨析出本質(zhì)內(nèi)涵的“曲折”思維進(jìn)程。高等數(shù)學(xué)中涉及的概念大都是以無限結(jié)構(gòu)為思想基礎(chǔ)建立的，理論性強(qiáng)，較為抽象，邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)密而復(fù)雜，要把握其中的內(nèi)涵往往比較困難。悖論的課堂應(yīng)用恰恰對思維進(jìn)行了辨析、比較的操練，加強(qiáng)了思維的曲折感和沖擊力，讓學(xué)生的認(rèn)知水平從思維表層進(jìn)一步深入，落實(shí)到深處。同時(shí)，數(shù)學(xué)知識的理解過程，也是靈活運(yùn)用和拓展的過程。在實(shí)踐教學(xué)中，對悖論如此“鮮活”的實(shí)例思考過程正是在應(yīng)用中鞏固、拓展的過程。在選擇悖論時(shí)，教師可適當(dāng)加工處理，并精心設(shè)計(jì)，加強(qiáng)其與課堂知識的聯(lián)系，體現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)有效的正向遷移。

3.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)?！皵?shù)學(xué)是一門理性思維的學(xué)科”。在新一輪的高數(shù)課程改革中，我們普遍認(rèn)為：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能依靠單純的模仿和記憶，主動(dòng)實(shí)踐、自主探索和合作交流是學(xué)習(xí)的重要方式。課堂上，一個(gè)悖論的提出、分析和消解的過程，往往是對一個(gè)數(shù)學(xué)概念或理論從表面到實(shí)質(zhì)、從片面到全面、從錯(cuò)誤到正確的認(rèn)識過程。悖論不失為理解數(shù)學(xué)問題和鍛煉數(shù)學(xué)思維的良好契合點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)和策略游戲，正是對學(xué)生思維的廣度、深度開展訓(xùn)練。學(xué)生在悖論的分析和解決中開拓思路，深化問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過程，同時(shí)培養(yǎng)思維的批判性、敏捷性和創(chuàng)造性，提高數(shù)學(xué)推理、空間推理和邏輯推理能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的審美能力?！皵?shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種”?？梢哉f，“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美”。數(shù)學(xué)之美是數(shù)學(xué)科學(xué)力量的理性之美，也是通過數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)折射出的人類力量之美。悖論以揭露理論內(nèi)在深刻矛盾的方式提出問題，對悖論問題的探究，正是審美主體對于數(shù)學(xué)中存在的美的真實(shí)反映，在感受、追求和欣賞的同時(shí)，不僅讓學(xué)生對數(shù)學(xué)美充滿熱忱信念，也讓他們體會到數(shù)學(xué)美的精髓。這種美不單是形式上對稱、劃一的和諧美，更是邏輯上的抽象美、結(jié)構(gòu)上的整體美、內(nèi)容上的嚴(yán)謹(jǐn)美、方法上的創(chuàng)造美和思路上的應(yīng)用美。悖論教學(xué)法讓學(xué)生更直觀感受到現(xiàn)代數(shù)學(xué)所具有的美妙、多樣，甚至幽默性質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)美的鑒賞力，可以作為當(dāng)前高數(shù)課程改革的有益嘗試。

三、悖論教學(xué)法的應(yīng)用策略

1.悖論設(shè)疑，導(dǎo)入新課。導(dǎo)入新課是指在講授新的知識內(nèi)容之前，教師本著一定的教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)具體內(nèi)容的特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的引子，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)的行為方式。目的在于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，點(diǎn)明課堂教學(xué)的主要內(nèi)容，為講授新課做好鋪墊，是教學(xué)中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。成功的課堂導(dǎo)入好比磁鐵，能牢牢地吸引學(xué)生的注意力，撥動(dòng)學(xué)生的思維之弦，使之產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望和高漲的學(xué)習(xí)熱情。悖論在部分?jǐn)?shù)學(xué)知識講授前就可以作為很好的引子進(jìn)行設(shè)疑，引出新的知識點(diǎn)。

2.導(dǎo)致悖論，鞏固知識。在高數(shù)課堂教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)，由于認(rèn)知水平的局限性或是負(fù)遷移的作用，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解往往不能準(zhǔn)確把握，經(jīng)常處于一知半解、似懂非懂的狀態(tài)。因此，知識的鞏固必須貫穿于教學(xué)過程的始終，學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的感知、理解和實(shí)際應(yīng)用，都會對知識的鞏固起到重要作用。在課堂上恰當(dāng)導(dǎo)致悖論，正確引導(dǎo)，可以有效加深理解，把握實(shí)質(zhì)。導(dǎo)致悖論教學(xué)法的關(guān)鍵是在講授過新的知識點(diǎn)后，設(shè)法引出悖論，然后再用事實(shí)、理據(jù)否定它，從而澄清錯(cuò)誤概念，真正牢固樹立起正確的概念。

3.悖論懸疑，承前啟后。在傳統(tǒng)高數(shù)課堂教學(xué)中，教師總津津樂道于在一節(jié)課上解決了多少問題。而在新一輪的課改中，我們定位于學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主人，那作為教師，就應(yīng)該努力把沒有“問題”的學(xué)生教成有“問題”的學(xué)生。理想的一節(jié)課，不是教了幾個(gè)概念，講授了幾條定理，而是在解決問題的過程中，又產(chǎn)生了多少新問題。只有這些無窮無盡的問題，才能引起學(xué)生的思考和探索?，F(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)悖論就是一種不錯(cuò)的案例，有一些甚至已經(jīng)成為了“懸案”，這樣的懸疑無須避諱，倒不妨在課堂最后作為課堂小結(jié)的延伸，留給學(xué)生去討論、去思考。這些悖論懸疑，可以成為吸引學(xué)生繼續(xù)前行的動(dòng)力。