高考中導(dǎo)數(shù)單調(diào)性應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)剖析

■姜 慧

高考中導(dǎo)數(shù)單調(diào)性應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)剖析

■姜 慧

在新課標(biāo)教材的指導(dǎo)下，導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用成為高考的熱點(diǎn)，尤其是用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的單調(diào)性成為必考內(nèi)容，利用它可以證明不等式問題、在恒成立問題中求參數(shù)的范圍、研究函數(shù)的極值與最值。這就要求學(xué)生既要對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)極其熟悉，還需要有豐富的應(yīng)試技巧，從而獲得高分。

問題的易錯(cuò)點(diǎn)

在新課程背景下，高考圍繞導(dǎo)數(shù)“核心”知識(shí)點(diǎn)單調(diào)性進(jìn)行考查，單調(diào)性應(yīng)用是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，通過對(duì)易錯(cuò)題的錯(cuò)解進(jìn)行糾正，引導(dǎo)學(xué)生思考，鍛煉學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，形成自己的解題方法，進(jìn)而能觸發(fā)學(xué)生積極思考、勤奮探索的動(dòng)力，開發(fā)學(xué)生的智慧源泉，實(shí)現(xiàn)了舉一反三的效果。下面通過一道應(yīng)用問題體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性的誤用。

例：已知函數(shù)f(x)=3ax4-2(3a+1) x2+4x。（1）當(dāng)時(shí)，求f(x)的極值；（2）若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù)，求a的范圍。

解第一問為常規(guī)解法故略去，只解第二問。學(xué)生解：因?yàn)閒(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x在(-1,1)上是增函數(shù)，所 以f’(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上成立，所以f’(1)=12a-4(3a+1)+4=0≥0，所以a∈R。表面上看學(xué)生的解法是對(duì)的，而且理由也很充分，他們認(rèn)為：如果連續(xù)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則這一函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)大于或等于零，所以這個(gè)區(qū)間上每一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值大于或等于零，但他們犯了一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤，用特殊代替了一般，從而導(dǎo)致范圍擴(kuò)大。這類題目是考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，近兩年很多地區(qū)高考題的導(dǎo)數(shù)大題就是這么考查的?？疾榈闹攸c(diǎn)在于對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。這時(shí)候往往先考慮現(xiàn)有條件對(duì)參數(shù)有沒有限制，如有限制，一定要在限制范圍內(nèi)分類討論。

幾種正確的解法

下面筆者提供幾種正確的解法：

分離參數(shù)法 因?yàn)?f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x在(-1,1)上是增函數(shù)，所以f’(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上成立，即4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0在(-1,1)上成立。因?yàn)閤∈(-1,1)所以x-1＜0，即3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立。當(dāng)x=0時(shí)，3ax2+3ax-1=-1≤0成立。當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，令 t(x)=x2+x在x∈(-1,0)上時(shí)，所以。當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，，t(x)=x2+x在 x∈(-1,0)上是增函數(shù)，t(x)＜t(1)=2?！嗑C上。求參數(shù)的取值范圍，這種含參不等式的問題，往往可以通過分離變量的方法，轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題。而“恒成立”的含義，一定是比“比最大的還大”或“比最小的還小”。因此恒成立問題往往又可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題。

二次函數(shù)法 二次函數(shù)的是初中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考中的很多問題的解題工具，尤其利用二次函數(shù)求在某區(qū)間上的最值（或值域）的求法要掌握熟練，特別是含參數(shù)的兩類“定軸動(dòng)區(qū)間”“定區(qū)間動(dòng)軸”，其解法是抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合。三點(diǎn)指的是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸。解法如下：因?yàn)閒(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x在(-1,1)上是增函數(shù)；所以f’(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上成立，即4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0在(-1,1)上成立，因?yàn)閤∈(-1,1)所以x-1＜0，即3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立， 令g(x)=3ax2+3ax-1，x∈(-1,1)。當(dāng)a=0時(shí)， 則g(x)=-1≤0在(-1,1)成立。當(dāng)a＞0時(shí)，則二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸，則x=1離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，所以x=1時(shí)g(1)最大，則此時(shí)要3ax2+3ax-1≤0，所以3a+3a-1≤0，即。當(dāng)a＜0時(shí)，則二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸(-1,1)，所以最大，則此時(shí)要3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立，所以，即。綜上。本題利用二次函數(shù)“定區(qū)間動(dòng)軸”對(duì)參數(shù)a分三類進(jìn)行討論在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了解答。

二次求導(dǎo)法 函數(shù)在某點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖象在該點(diǎn)的切線的斜率，表達(dá)了函數(shù)值在該點(diǎn)附近的變化快慢；相應(yīng)地，對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，相當(dāng)于對(duì)原來函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)再進(jìn)行一次求導(dǎo)，所得二階導(dǎo)數(shù)即表示切線的斜率的變化快慢。因?yàn)閒(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x在(-1,1)上是增函數(shù)，所以f’(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上成立，即4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0在(-1,1)上成立，因?yàn)閤∈(-1,1)，所以x-1＜0，即3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立。當(dāng)a=0時(shí)，3ax2+3ax-1=-1≤0在(-1,1)上成立令g(x)=3ax2+3ax-1x∈(-1,1) g’(x)=6ax+3a，令g’(x)=0，則當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)在為減函數(shù)，g(x)在為增函數(shù)，且g(1)=3a+3a-1=6a-1及g(-1)=3a-3a-1=-1，如果要使3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立，只需g(1)=6a-1≤0，即。當(dāng)a＜0時(shí)，g(x)在為增函數(shù)，g(x)在為減函數(shù)，且要使3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立，只需，即。綜上

從以上問題解答中可透過現(xiàn)象看本質(zhì)，要從根本上掌握函數(shù)單調(diào)性的意義，從而在解題中更好地利用這一性質(zhì)。這部分知識(shí)本身比較抽象，但題目的結(jié)構(gòu)和形式往往與學(xué)生日常練習(xí)中所熟悉的題型是有聯(lián)系的。因此，把常見的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行梳理和分析，考試時(shí)做到心中有數(shù)，就能讓自己的成績有所突破。

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟第一中學(xué)）