一種基于多重分形特性檢測海面弱目標(biāo)的新方法

張 波 張丹婷 胡 沖

（1.西安市導(dǎo)航技術(shù)研究所，陜西 西安 710068；2.西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號處理國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071）

0 引言

海雜波是雷達(dá)發(fā)射脈沖照射的局部海面的后向散射回波。對海雜波進(jìn)行特性分析和建模仿真對于設(shè)計(jì)有效的雷達(dá)檢測方案和評價(jià)雷達(dá)檢測性能至關(guān)重要。傳統(tǒng)的研究主要是研究其統(tǒng)計(jì)特性，建立統(tǒng)計(jì)分布模型，如典型的瑞利(Rayleigh)分布、對數(shù)正態(tài)(Log-normal)分布、韋布爾(Weibull)分布和K分布等[1]。然而，這些模型把海雜波視為某一隨機(jī)過程的樣本函數(shù)，這在很大程度上并非因?yàn)楹ｋs波的物理本質(zhì)，而是出于其看似隨機(jī)的波形。實(shí)際上，高分辨率雷達(dá)在低掠射角情況下測量的海雜波往往不具有高斯分布特性，海雜波并不是平穩(wěn)的，而是呈現(xiàn)為非線性的不平穩(wěn)性[2-4]。這樣經(jīng)典雷達(dá)目標(biāo)檢測所作的獨(dú)立、線性，平穩(wěn)等假設(shè)均不符合真實(shí)情況，基于這些假設(shè)而采用的經(jīng)典雷達(dá)目標(biāo)最佳檢測策略不可避免導(dǎo)致檢測性能下降。

分形理論[5]的發(fā)展不僅為數(shù)學(xué)和物理提供了全新的觀察視角和觀察深度，也為雜波建模和分析提供了新的動力和方向：S.Haykin等人[6-7]對海雜波的研究表明，海雜波存在分?jǐn)?shù)維的混沌吸引子，且存在大于零的Lyapunov指數(shù)，進(jìn)而表明，用非線性學(xué)科中的混沌與分形方法研究雜波模型比傳統(tǒng)的隨機(jī)方法更為有效。

已有很多學(xué)者對海雜波的分形特性進(jìn)行過不同方面的研究，也取得了不少成果[8-9]。本文從實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)入手，首先計(jì)算了海雜波的盒維數(shù)，又通過分析海雜波的統(tǒng)計(jì)特性，發(fā)現(xiàn)其偏離高斯分布并具有長時(shí)相關(guān)性，且在較大的范圍內(nèi)具有尺度不變性，因此，利用多重分形模型可以較好的刻畫海雜波的復(fù)雜特性。本文從時(shí)間和空間上綜合考慮，利用雜波與含目標(biāo)單元多重分形譜的差別，提出一種新的檢測方法。對實(shí)測數(shù)據(jù)的分析表明該方法是有效的，并且具有較小的計(jì)算量，為海雜波背景下的目標(biāo)檢測提供了一條新的思路和有效手段。

1 分形維數(shù)（盒維數(shù)）

分形是一類復(fù)雜性頗高的、沒有特征長度，但具有一定意義下的自相似的圖形和結(jié)構(gòu)的總稱[10]。分形維數(shù)是分形對象的復(fù)雜度和不規(guī)則度的定量描述，分形維數(shù)是分形的極其重要的特征數(shù)，是刻畫分形的不變量。當(dāng)海面上存在艦船目標(biāo)時(shí)，會改變該區(qū)域海面的運(yùn)動狀態(tài)，將在雷達(dá)回波信號的分?jǐn)?shù)維差異中體現(xiàn)出來。

對于分形維數(shù)有很多不同的定義，最好的理論定義是Hausdorf維。但由于Hausdorf維數(shù)計(jì)算復(fù)雜，實(shí)際中一般用其他定義來計(jì)算分形維數(shù)。在求解分形維數(shù)的方法中，盒維數(shù)是應(yīng)用最廣泛的維數(shù)之一。盒維數(shù)的計(jì)算方法如下[11]：

（1）選擇一個(gè)一定長度的曲線F將其長度與幅度歸一化后放入一正方形內(nèi)。

（2）選取邊長為εm(m=1,2,…,M)的方格網(wǎng)（盒子）去覆蓋單位正方形，計(jì)算不同尺寸εm下與F交疊的盒子個(gè)數(shù)Nm(ε)。當(dāng)εm→0時(shí)，則盒子恰好包含F(xiàn)的一個(gè)點(diǎn)，亦可認(rèn)為此時(shí)盒子與點(diǎn)的形狀完全符合，正好填滿F。

（3）定義盒維數(shù) Db=lgNm(ε)/(-lgεm)。 分?jǐn)?shù)維是盒維數(shù)在 εm→0 時(shí)的極限值。實(shí)際中盒子尺寸不可能無窮小，但只要小到一定程度后，結(jié)果差距相當(dāng)微弱，就可以用盒維數(shù)來取代分?jǐn)?shù)維作為分析的對象.

（4）如果曲線是一種完全的分形，則對數(shù)比曲線Db=lgNm(ε)/(-lgεm)為一直線，盒維數(shù)Db就是該直線的斜率，如果對數(shù)比曲線不是理想直線，說明該圖形分形特征不明顯，則用對數(shù)比曲線的最小方差擬合直線的斜率來代替。同時(shí)，Mandelbrot有效維數(shù)的概念也說明分形特征是有尺寸范圍的。所以實(shí)際處理盒維數(shù)時(shí)，應(yīng)該從對數(shù)比值趨于穩(wěn)定，對數(shù)比曲線趨于直線的范圍內(nèi)開始擬合。

本文使用的實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)為本研究所采用的海雜波數(shù)據(jù)是某S波段雷達(dá)于2010年5月在某海灣采集到的，該雷達(dá)架設(shè)在海拔500m的山上，臨海。雷達(dá)的主要參數(shù)如下：

線性調(diào)頻信號，中頻30MHz，帶寬5MHz，采樣頻率40MHz，脈寬46μs，錐形波束寬度 1.0°，天線固定不轉(zhuǎn)，入射余角 1.0°。

圖1為某一段長度為100的海雜波經(jīng)歸一化后，εm=0.10時(shí)的覆蓋情況，圖2為最小二乘擬合的情況，經(jīng)計(jì)算得Db=1.4756。當(dāng)數(shù)據(jù)長度數(shù)增加時(shí)，盒子越小越精確。

圖1 盒維數(shù)法圖示

圖2 lgNm(ε)/(-lgεm)

表1給出了實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)與目標(biāo)數(shù)據(jù)在不同時(shí)刻的盒維數(shù)計(jì)算結(jié)果。由表1可看出含目標(biāo)時(shí)的海雜波的盒維數(shù)明顯大于不含雜波的情況。但在高海態(tài)等情況下，海雜波和目標(biāo)回波的分維值的平均值相差較小，而從整體上看兩者的分維值交疊在一起，僅用其進(jìn)行檢測是不可靠的[12]。

表1 海雜波的分形維數(shù)

2 多重分形的判定及譜函數(shù)的計(jì)算

分形盒維數(shù)能反映分形信號的幾何特征信息，對信號的復(fù)雜度、和全局性進(jìn)行定量的描述。但計(jì)盒維數(shù)法計(jì)算認(rèn)為只要盒子內(nèi)有圖形的像素這個(gè)盒子就被計(jì)進(jìn)來，而不考慮盒子內(nèi)像素的多少，這樣得到的分維必然失去很多信息，這便是單一分形不夠細(xì)致之處；而多重分形考慮盒子內(nèi)像素或者其他物理量的差別，歸一化之后得到一個(gè)概率分布的集，再用一個(gè)多重分形譜進(jìn)行描述，得到的結(jié)果包含了許多被單一分形忽略的信息。

在計(jì)算海雜波的多重分形特性之前，首先應(yīng)判斷其偏離高斯分布并具有長時(shí)相關(guān)性，且在較大的范圍內(nèi)具有尺度不變性[13]。

為了檢驗(yàn)海雜波是否具有非高斯特性，計(jì)算其偏度系數(shù)Cs和峰度系數(shù)Ck：

其中μk=E(X-EX)k,k=2,3,4。偏度系數(shù)刻畫分布函數(shù)的對稱性，鋒度系數(shù)刻畫不同類型分布的集中和分散的程度。對于正態(tài)分布來說，Cs=0,Ck=3。 經(jīng)計(jì)算，本文采用的實(shí)測雜波數(shù)據(jù)，其 Cs＞0,Ck＞3，與高斯分布有一定差距，因此海雜波數(shù)據(jù)具有非高斯特性。

下面采用對數(shù)方差—時(shí)間圖法[14]分析海雜波的長時(shí)相關(guān)性。圖3中作出了對數(shù)方差—時(shí)間曲線，如果海雜波數(shù)據(jù)的對數(shù)方差—時(shí)間曲線斜率大于-1，則具有長時(shí)相關(guān)性。有圖顯然可以得到肯定的結(jié)論。

圖3 海雜波的對數(shù)方差—時(shí)間曲線

如果上式在一定的m區(qū)間內(nèi)成立，則序列具有分形特性。此外，如果質(zhì)量指數(shù)τ(q)不是q的線性函數(shù)，那么稱被觀察序列在這一區(qū)間存在多重分形特性；否則，就為單一分形[15]。利用上述方法對一段實(shí)測海雜波進(jìn)行分析，結(jié)果如圖4所示。圖4給出了不同q值下的log2(m)～log2(Sm(q))曲線，可以看出式（4）在較大范圍內(nèi)均成立，這表明海雜波具有多重分形特性。

圖4 海雜波的log2(m)～log2(Sm(q))曲線

下面給出多重分形譜的計(jì)算方法。在式（4）的線性區(qū)間內(nèi)，利用最小二乘法求解下式得到：

對 q～τ(q)進(jìn)行如式（6）、（7）所示的 Legendre 變換即可得到多重分形譜。

式中：τ(q)為標(biāo)度指數(shù)；f(α(q))即為多重分形譜函數(shù)。

由圖5以看到質(zhì)量指數(shù)τ(q)不是q的線性函數(shù)，圖中有一個(gè)明顯的折點(diǎn)。圖6給出了標(biāo)度指數(shù)α(q)隨q變化情況，可以看到在零附近有一次驟降。

綜上，根據(jù)上文中提到的判定準(zhǔn)則，認(rèn)為本批數(shù)據(jù)是多重分形的，多重分形譜如圖7所示，并且其在其在q=0處取得最大值1。

圖5 q～τ(q)曲線

圖6 q～α(q)曲線

圖7 海雜波的多重分形譜函數(shù)

圖8 多重分形譜對比

圖8分別給出了含目標(biāo)與不含目標(biāo)的距離單元在不同時(shí)刻的多重分形譜。從該圖可以看到，海雜波數(shù)據(jù)在存在目標(biāo)時(shí)，譜寬變窄，而多重分形譜寬的大小反映了整個(gè)分形結(jié)構(gòu)上概率測度分布不均勻性的程度和過程的復(fù)雜性，譜寬越寬，譜的結(jié)構(gòu)越豐富，過程相對越復(fù)雜，這表明海雜波比目標(biāo)復(fù)雜。這一差別在譜的左邊尤其明顯，這表明α較小(大概率)的部分差別更大。而目標(biāo)與目標(biāo)、雜波與雜波在不同時(shí)刻的差別較小，這表明多重分形譜較為穩(wěn)定，適合用于檢測。

為了利用這種差別來判別海面某一區(qū)域是否出現(xiàn)目標(biāo)，我們計(jì)算f(α)對α的積分，表2列出了積分的結(jié)果。從表2可看出含目標(biāo)的距離單元相應(yīng)的積分結(jié)果明顯小于不含目標(biāo)的情況，這與圖8一致。如果設(shè)定合適的門限，則可根據(jù)積分值判斷目標(biāo)的出現(xiàn)，而且文獻(xiàn)[6]表明在數(shù)據(jù)長度達(dá)到2000點(diǎn)時(shí)，分形估計(jì)就趨于穩(wěn)定，因而使用分形方法進(jìn)行的檢測計(jì)算量小于傳統(tǒng)的基于統(tǒng)計(jì)建模的方法，時(shí)效性也更好。圖9為檢測方案。

表2

圖9 檢測方案圖

3 結(jié)束語

本文分析計(jì)算了海雜波的分形維數(shù)及多重分形特性。由本文的分析，可以看出實(shí)測的海雜波序列具有多重分形特性，利用多重分形譜可以較好的描述復(fù)雜不規(guī)則的海雜波序列。在此基礎(chǔ)上，利用雜波包含與不包含目標(biāo)時(shí)多重分形譜的差別，提供了一種檢測海上目標(biāo)的新方法，該方法具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)。由于本文所用的數(shù)據(jù)有限，還有待于利用更多數(shù)據(jù)進(jìn)一步詳細(xì)地評估該方法。

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