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    彈流潤滑效應(yīng)下直齒輪的接觸疲勞壽命

    2014-04-13 04:18:24胡贇劉少軍丁晟
    關(guān)鍵詞:赫茲油膜潤滑油

    胡贇 ,劉少軍 ,丁晟

    (1. 中南大學(xué) 機電工程學(xué)院,湖南 長沙,410083;2. 中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點實驗室,湖南 長沙,410083)

    隨著現(xiàn)代機械傳動系統(tǒng)不斷地向高速、重載的方向發(fā)展,齒輪的受載條件以及潤滑狀態(tài)都會明顯異于低速、輕載的齒輪。其中一個非常重要的物理現(xiàn)象便是在高速運轉(zhuǎn)下嚙合齒面間形成的彈流潤滑效應(yīng)[1]。對于不考慮彈流潤滑效應(yīng)的齒輪接觸疲勞壽命,一般采用三齒嚙合模型來模擬齒輪的傳動,再結(jié)合相關(guān)的疲勞壽命研究理論進行接觸疲勞壽命評估[2-3]。對于考慮彈流潤滑效應(yīng)的齒輪接觸疲勞壽命,Zaretsky[4]將齒輪的接觸疲勞壽命類比于軸承的接觸疲勞壽命,以Lundberg 和Palmgern 在滾動軸承計算中使用過的統(tǒng)計方法為理論基礎(chǔ),潤滑效應(yīng)的考慮則通過引入ISO281:2007 標準中關(guān)于軸承潤滑修正系數(shù)選取的方法來實現(xiàn);Li 等[5-6]通過彈性力學(xué)中的接觸理論計算了彈流潤滑效應(yīng)下接觸區(qū)次表面的應(yīng)力分布,采用Susmel 和Lazzarin 準則完成接觸疲勞壽命的預(yù)測;高創(chuàng)寬[7]、亓秀梅等[8]、潘登[9]以及張增強[10]采用彈性力學(xué)中的接觸理論分別分析了彈流潤滑效應(yīng)下油膜比厚、齒面粗糙度、齒輪轉(zhuǎn)速以及潤滑油黏度對接觸區(qū)次表面應(yīng)力的影響,并根據(jù)這個結(jié)果來判定這些因素對壽命的影響;Deng 等[11]通過一系列試驗,給出了油潤滑下齒面溫度的計算公式,認為齒輪的疲勞壽命應(yīng)以齒面溫度為計算基礎(chǔ)而非赫茲應(yīng)力。本文作者則致力于開展綜合考慮彈流潤滑效應(yīng)以及齒輪幾何形狀的影響,通過有限元分析獲取齒輪接觸應(yīng)力,再結(jié)合材料P-S-N 曲線來進行彈流潤滑效應(yīng)下直齒輪的接觸疲勞壽命評估的研究,將所得結(jié)果與基于Hertz 接觸理論和GB/T 3480—1997 標準的齒輪接觸疲勞壽命評估結(jié)果作比較,研究彈流潤滑效應(yīng)對齒輪接觸疲勞壽命的影響程度。

    1 齒輪彈流潤滑物理模型的建立

    針對直齒輪彈流潤滑問題的研究,可通過一對圓柱體的接觸來模擬直齒輪嚙合[7,12],這對圓柱體的半徑則分別等同于齒輪嚙合點處漸開線的當(dāng)量曲率半徑R1和R2,轉(zhuǎn)動速度分別等同于相應(yīng)齒輪的轉(zhuǎn)速n1和n2,嚙合點的切線速度分別為u1和u2。如圖1(a)所示。如果進一步轉(zhuǎn)化,可以用1 個當(dāng)量半徑為R、轉(zhuǎn)速為n,切線速度為u 的等效圓柱體和1 個無限長的剛性平面的接觸來模擬,如圖1(b)所示。

    2 齒輪接觸應(yīng)力分析

    2.1 齒輪嚙合過程的幾何參數(shù)計算

    某直升機主減速器中的一對嚙合直齒輪基本參數(shù)如下:模數(shù)m=3.5 mm,傳動比i=3.218 75,齒數(shù)z1=32,z2=103,齒寬bg=45 mm,壓力角α=22.5°。工況取轉(zhuǎn)速n=7 500 r/min,傳遞功率PE=600 kW,齒輪副材料20Cr2Ni4A,屈服強度σs=1 080 MPa,拉伸強度σb=1 175 MPa,彈性模量E=2.07×105MPa,泊松比ν=0.29,潤滑油動力黏度η=0.014 Pa·s。

    考慮齒輪重合度以及漸開線幾何特性給彈流潤滑計算參數(shù)帶來的變化,可以在雷諾方程中引入時間項來完成輪齒在單個嚙合周期內(nèi)瞬態(tài)彈流潤滑數(shù)值解[13]。但通過分析齒輪的嚙合變化規(guī)律后,本文將齒輪的整個嚙合過程用圖2 所示的5 個特殊嚙合點來表示:嚙入點A、雙單嚙合交替點B(進一步分析,此點可以表示為1 個雙齒嚙合的瞬態(tài)B-和1 個單齒嚙合的瞬態(tài)B+)、節(jié)點J、單雙嚙合交替點C(與B 點同理,此點可以表示為1 個單齒嚙合的瞬態(tài)C-和1 個雙齒嚙合的瞬態(tài)C+)、嚙出點D,采用穩(wěn)態(tài)的一維形式的雷諾方程進行求解。

    圖1 齒輪彈流潤滑物理模型Fig.1 Physical models of gear EHD

    圖2 齒輪嚙合過程圖Fig.2 Gear meshing process

    現(xiàn)對這些特殊嚙合點的幾何參數(shù)進行計算。

    式中:ra1和ra2分別為主、從動輪的齒頂圓半徑;rb1和rb2分別為主、從動輪的基圓半徑;r1和r2分別為主、從動輪的分度圓半徑。

    主動輪單齒嚙合轉(zhuǎn)過的角度 βL1為

    式中:pb為齒輪的法向齒距。

    主動輪雙齒嚙合轉(zhuǎn)過的角度βH1為

    主動輪從基圓處到進入嚙合轉(zhuǎn)過的角度 δ1為

    主動輪從嚙入點A 到節(jié)點J 轉(zhuǎn)過的角度 α1為

    2) 嚙合點處的單位齒寬載荷w。齒輪從漸開線的A 處到漸開線的D 處,齒輪嚙合經(jīng)歷了雙單齒的交替過程,因而其單位齒寬載荷的計算在漸開線不同位置亦有所區(qū)別,計算公式如下:

    式中:k 為同時嚙合的齒輪對數(shù)。

    3) 嚙合點處的綜合曲率半徑R。以A 點為例,其余點只需代入對應(yīng)的數(shù)值即可完成計算。

    4) 嚙合點處的齒面平均速度為

    嚙合過程的幾何參數(shù)計算結(jié)果如表1 所示。

    2.2 彈流潤滑油膜壓力的計算

    假設(shè)潤滑油為牛頓流體,處于等溫線接觸彈流潤滑狀態(tài)。建立1 個x 軸為表面卷吸速度方向,y 軸為油膜壓力的坐標系。彈流潤滑基本方程組如下。

    1) Reynolds 方程為

    式中:ρ 和η 分別為潤滑油的密度和黏度;u 為齒面平均速度;p 和h 分別表示油膜的壓力和厚度。

    Reynolds 方程求解的邊界條件為

    2) 膜厚方程。膜厚方程包括初始間隙、中心膜厚以及彈性變形等,其形式為

    式中:h0為待定常數(shù);R 為綜合曲率半徑;E′為綜合彈性模量;s 為任意分布載荷p(s)與坐標原點的距離。

    3) 黏壓方程。黏壓方程采用Reolands 公式

    表1 齒輪嚙合過程的幾何參數(shù)計算結(jié)果Table 1 Results of geometric parameters of gear meshing process

    式中:η0為大氣壓下的黏度;p0為壓力系數(shù);z 為礦物油系數(shù),一般可取0.68。

    4) 密壓方程。密壓方程采用Dowson 和Higginson形式

    式中:ρ0為潤滑油的環(huán)境密度。

    5) 載荷方程為

    彈流潤滑油膜壓力計算結(jié)果如圖3 所示。圖3 所示為齒輪沿嚙合線彈流潤滑油膜壓力曲線的變化趨勢。從齒根到齒頂,出口壓力峰值位置先往出口處移動,過了節(jié)點J 之后,出口壓力峰值的位置則開始往入口處移動。在單齒嚙合的情形下(B+,J 和C-),出口壓力峰值相對中心油膜壓力而言,其值較小,而在雙齒嚙合的情形下(A,B-,C+,D),出口壓力峰值相對中心油膜壓力而言,其值較大,即重載有助于抑制出口壓力的形成,而輕載的情形下容易形成較大的出口油膜壓力。圖4 所示為B+點沿齒寬方向的油膜壓力分布三維圖。

    圖3 彈流潤滑油膜壓力計算結(jié)果Fig.3 Calculation results of EHD for oil film pressure

    圖4 B+點油膜壓力沿齒寬分布Fig.4 Distribution of oil film pressure along gear width on point B+

    2.3 接觸應(yīng)力的轉(zhuǎn)化

    假定油膜在該工況下穩(wěn)定存在,不發(fā)生破裂。圖4 所示為B+點油膜壓力沿齒寬分布??紤]油膜壓力在赫茲接觸變形區(qū)呈不規(guī)則變化(圖4),為最大限度的表現(xiàn)油膜壓力作用在齒輪表面上的情形。圖5 所示為劃分加載面。分別以上述各嚙合點為中心,以赫茲接觸區(qū)為油膜壓力加載區(qū)域,并將此加載區(qū)域沿赫茲接觸寬度等分成5 塊狹長的加載面[15-16](圖5)。該點處的油膜壓力取赫茲接觸區(qū)內(nèi)的計算結(jié)果作為施加條件,用同樣的方法分成5 等分,對每個小部分的油膜壓力求平均值,再將這個油膜壓力的平均值作為加載區(qū)域的外載荷。通過有限元分析,即可得出油膜壓力作用下齒輪的接觸應(yīng)力。

    圖5 劃分加載面Fig.5 Division of loading surface

    為對結(jié)果進行比較,對干赫茲接觸狀態(tài)以及GB/T 3480—1997 下的接觸應(yīng)力也分別進行計算,結(jié)果如表2 所示。干赫茲接觸應(yīng)力采用赫茲接觸公式進行計算。干赫茲接觸公式只考慮了載荷與等效半徑的影響,而彈流潤滑下的齒輪接觸應(yīng)力還考慮了潤滑因素的影響。由于彈流潤滑和干赫茲接觸狀態(tài)下的最大接觸應(yīng)力都發(fā)生在B+點處,而齒輪實際最先容易發(fā)生接觸疲勞的位置也是處于節(jié)線靠近齒根附近的區(qū)域,因而接觸應(yīng)力計算結(jié)果分布情況符合實際情形。

    表2 不同條件下的接觸應(yīng)力Table 2 Contact stress under different conditions MPa

    3 疲勞分析

    3.1 平均應(yīng)力修正

    材料P-S-N 曲線一般是在指定應(yīng)力比為-1 的情形下進行的疲勞試驗,應(yīng)力均值為0。實際上齒輪齒面的接觸應(yīng)力為脈動循環(huán),既有應(yīng)力幅值又有非零的應(yīng)力均值,這與試驗情形不一樣。因此,有必要將此類應(yīng)力修正為試驗情形下的應(yīng)力。常用的做法是采用Goodman 曲線、Gerber 曲線、Soderberg 曲線等壽命曲線進行修正。一般認為,線性Goodman 曲線修正非零均值應(yīng)力的交變載荷其值具有一定的保守性和安全性,且為線性形式,簡單實用?;诎踩钥紤],本文針對航空齒輪的壽命評估選用線性Goodman 曲線進行平均應(yīng)力修正,其表達式如下:

    式中:Sa為應(yīng)力幅值;Sm為應(yīng)力均值;σb為材料的拉伸強度;σeqv為等效疲勞應(yīng)力。

    3.2 建立齒輪P-S-N 曲線

    在以雙對數(shù)坐標系繪制的P-S-N 曲線內(nèi),其有限壽命方程近似為1 條斜線,方程的通用形式為

    式中:Np為與存活率有關(guān)的疲勞壽命,ap和bp為與存活率有關(guān)的材料常數(shù)。

    從文獻[17]中得20Cr2Ni4A 材料的中值接觸疲勞壽命曲線方程為

    然而,式(19)是針對20Cr2Ni4A 材料的標準試件進行的接觸疲勞試驗,齒輪零件和材料試件又由于結(jié)構(gòu)、尺寸以及加工等方面的差異,因此,還應(yīng)考慮到應(yīng)力集中系數(shù)kt、尺寸系數(shù)ε 以及表面加工系數(shù)β 等三項因素對齒輪疲勞強度產(chǎn)生的影響。據(jù)文獻[18],取橫向因素kt=1.3,ε=0.76,β=1。修正后的等效疲勞應(yīng)力 σe′qv為

    最終齒輪有限壽命內(nèi)的P-S-N 曲線可以表示為

    3.3 Miner 線性累積損傷理論的修正

    Miner 線性累積損傷理論認為損傷是線性的,且可以進行累加,一般指定累積損傷度為“1”時,構(gòu)件發(fā)生失效破壞。

    由于該理論簡便而在工程上得到廣泛應(yīng)用,但由于該理論認為處于疲勞極限以下的應(yīng)力對于構(gòu)件的損傷為零[19],而實際上這些微小的大量循環(huán)載荷同樣是造成構(gòu)件疲勞失效的一個主要因素,為使結(jié)果不偏于危險,需要對該理論進行修正。常用的Miner 修正理論有OM 法則、EM 法則、MM 法則,但出于安全性考慮,航空工業(yè)采用EM 法則完成線性累積損傷理論的修正。即在雙對數(shù)坐標系中,對處于疲勞極限以下的應(yīng)力仍以相同的bp斜率向下延伸,最終齒輪的P-S-N 曲線如圖6 所示。

    3.4 接觸疲勞壽命結(jié)果分析

    由于齒輪的接觸疲勞壽命取決于接觸應(yīng)力最大處, GB/T3480—1997 標準條件下以節(jié)點J 為計算點,彈流潤滑效應(yīng)和赫茲接觸條件以B+為計算點。根據(jù)本文提出的接觸疲勞壽命研究方案與成果,彈流潤滑、干赫茲接觸以及GB/T 3480—1997 下的齒輪接觸疲勞壽命計算結(jié)果如表3 所示。

    結(jié)果表明:彈流潤滑效應(yīng)下的齒輪接觸疲勞壽命是干赫茲接觸下齒輪接觸疲勞壽命的3.91 倍,是GB/T 3480—1997 壽命的10.4 倍。究其原因,是由于考慮了彈流潤滑效應(yīng)后,齒面間的接觸應(yīng)力受油膜壓力與形狀的影響,在一定程度上得到了均化,并且齒面嚙合過程中的最大接觸應(yīng)力也由于油膜的影響而降低。該分析結(jié)果可以從表2 中的計算結(jié)果得到證實。而在P-S-N 曲線方程中,接觸應(yīng)力恰恰是影響接觸疲勞壽命計算值大小的一個重要因素。

    圖6 不同情形下的P-S-N 曲線Fig.6 P-S-N curve under different modify rules

    表3 齒輪接觸疲勞壽命Table 3 Gear contact fatigue life

    4 結(jié)論

    1) 現(xiàn)行基于干Hertz 接觸和GB/T 3480—1997 標準的齒輪接觸疲勞壽命預(yù)測方法沒有考慮潤滑因素的影響,但由于高速傳動齒輪間存在彈流潤滑效應(yīng),物體間的接觸方式發(fā)生了改變。

    2) 通過與本文考慮彈流潤滑效應(yīng)后進行的齒輪接觸疲勞壽命評估結(jié)果比較,傳統(tǒng)齒輪接觸疲勞壽命計算結(jié)果偏于保守,不能完全反映齒輪實際工作能力,對高速傳動部件而言,其使用范圍具有一定的局限性。

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