基于齊次量綱雅可比矩陣的四自由度并聯(lián)機構運動靈巧度分析

姜子強，李永剛，許立新

（天津職業(yè)技術師范大學機械工程學院，天津300222）

0 引言

基于雅可比矩陣的運動學尺度綜合是并聯(lián)機構的主要設計任務之一。但對于輸出運動是平移運動和轉動運動相耦合的機構，其雅可比矩陣存在量綱不一致的問題，致使其不能直接應用于機構的運動靈巧度分析。

雅可比矩陣對于奇異性分析、剛度矩陣的建立和運動尺度綜合具有重要的意義［1－5］。因此，雅克比矩陣的構造一直是機構學領域的研究熱點之一［2，6－9］。少自由度并聯(lián)機構的完整雅克比矩陣通常為6×6矩陣，其中，完整雅克比矩陣包括約束子矩陣和運動子矩陣［2，6］。Joshi［3］利用螺旋理論給出了對稱并聯(lián)機構的完整雅可比矩陣的建模方法。李永剛［4］等利用該方法分析了非對稱機構的雅可比矩陣的求解方法。但是此類雅可比矩陣存在量綱不一致的問題。為此，一種基于數(shù)值算法的齊次雅可比矩陣被提出用于尺度綜合和運動靈巧度分析［7－8］。隨后，Liu［9］等又給出一種解析方法，并用若干中對稱機構進行了實例分析。

借助以上方法，構造出了非對稱并聯(lián)機構2RRS－2RUS的齊次量綱完整雅克比分析。通過求解齊次量綱雅克比矩陣的條件數(shù)的分布規(guī)律，對經(jīng)過歸一化處理的機構尺度參數(shù)，進行了性能參數(shù)隨各尺度參數(shù)的變化規(guī)律。

1 2RUS－2RRS并聯(lián)機構

如圖1所示，并聯(lián)機器人主要由定平臺和動平臺及連接平臺的4條支鏈組成。每條支鏈包括驅動桿和固定桿，一端通過R副與定平臺連接，一端通過球副S與動平臺相連。支鏈1，3機構相同，為RUS無約束支鏈。2，4相同為RRS約束支鏈。約束支鏈中的轉動副軸線相互平行，無約束支鏈中的虎克鉸一條軸線與該支鏈的R副平行，另一條軸線與該支鏈的R副垂直，通過改變驅動桿的旋轉角度，來調(diào)整動平臺的位姿。

圖1 2RRS－2RUS并聯(lián)機構

機構坐標系的建立，如圖2所示。定平臺A1A2A3A4和動平臺B1B2B3B4分別是以R和r為半徑的圓臺，各支鏈與兩平臺的連接點分別為AiBi（i＝1，2，3，4），且均勻分布在圓臺的邊上。為便于分析，將在定平臺的中心O上建立固定坐標系O｛x，y，z｝，X 軸沿著A1A3，Z 軸垂直于定平臺豎直向上，Y軸滿足右手定則。在動平臺中心P上建立動坐標系，w軸沿著Z軸的方向垂直于動平臺，u沿著PB1的方向，v軸由右手定則確定。動平臺上各球鉸中心在固定坐標系中表示為X－Y′－X′′，各支鏈中的驅動桿和固定桿長分別為li1和li2，驅動角度分別為αi（i＝1，2，3，4）。

圖2 螺旋坐標系

如果只考慮2，4支鏈，動平臺可以進行X，Y，Z軸方向的移動和繞X，Y軸方向的轉動，但由于1，3支鏈中第2個轉動副的約束作用，動平臺沿Y軸方向的移動受到限制，最終在4個支鏈的約束下，該機構具有二維移動和二維轉動，X，Z軸方向的移動與繞X，Y軸方向的轉動。

2 完整及齊次量綱雅克比矩陣的建立

2.1 約束子矩陣的建立

根據(jù)螺旋理論，將動平臺的瞬時速度用＄p＝［wTvT0］表示，w為動平臺的角速度，v0為動平臺上瞬時速度與定坐標系原點相重合的那一點的線速度矢量。瞬時速度，可以通過各支鏈的瞬時螺旋運動線性疊加得到：

由圖2可知，1，3支鏈的各關節(jié)的運動螺旋，即

2，4支鏈的各關節(jié)的運動螺旋為：

ai為點Ai相對于O的位置矢量；bi為點Bi的位置矢量，即bi＝RBi；ci為點Ci的位置矢量，即ci＝bi＋li2wi2；sij為第i條支鏈的第j個轉動副的單位方向向量。

根據(jù)螺旋理論，可以找到與每條支鏈的5個運動螺旋都互逆的運動反螺旋，其反螺旋在該并聯(lián)機構中的描述為與各支鏈中所有轉動副（R副）共面的運動螺旋［1］。

將式（4）與式（1）做互易積得：

將上式寫成矩陣形式為：

Jc為約束子矩陣，由于2，4支鏈所采用的是虎克鉸，所以在動平臺運動過程中，并沒有提供約束，也就是說只有1，3鏈有約束子矩陣。

2.2 運動子矩陣的建立

式（8）與式（2）做互易積，得：

式（9）與式（2）做互易積，得：

聯(lián)立式（10）和式（11），得到：

2.3 完整雅克比矩陣的建立

將運動子矩陣和約束子矩陣聯(lián)系起來即得到完整雅克比矩陣。即聯(lián)立Ja和Jc，得完整雅克比矩陣為：

3 齊次量綱雅克比矩陣

雅克比矩陣的使用條件是受限的，只有機構中只存在移動或轉動時才可使用，而齊次量綱雅克比矩陣的條件數(shù)可以運用到有著復雜運動（同時包含轉動和移動）的機構中。

首先在坐標O點建立一個參考坐標系R，在O′1個固定坐標系R0和1個瞬時坐標系R′，ei，j表示在點pi處，沿著軸j的單位向量，如圖3所示。

圖3 平臺坐標系的建立

將平臺P點相對于O′的速度表示出來，即

v為P點的線速度；w為P的角速度；ri為P到O′的距離。

然后用ei，j對上式兩邊分別進行點乘，得：

ei，j0＝RTeij，ri0＝RTri為R0相對于R′在R 坐標系下的單位向量，＄ij0為在R0坐標系中的節(jié)距為零的單位力螺旋，表示沿ei，j0方向指向P點的單位力。

然后利用四面體構造齊次量綱雅克比矩陣，根據(jù)四面體的特點建立5個點，借用四面體的底面（三角形）P1，P2，P3，P4的3個頂點和中心點，再加上四面體的頂點構成5個點。O′為底面的中心，分別為四面體的4個頂點，ri0是頂點Pi到O′的距離，每個頂點都由3組正交軸組成，分別是ei，10┴ei20，ei，10┴ri0和ei，20┴ri0（i＝ 1，2，3，4），其構建圖形如圖4所示。

圖4 四面體坐標系的建立

由此得到如下向量：

βi為ri（i＝1，2，3）與x軸之間的夾角；r為ri的長度。

式（15）可以寫為：

Jp0＝［＄0，10＄0，20… ＄4，10＄4，20］T，vp＝［v0，1v0，2… v4，1v4，2］T。Jp0是 一 個 11×6的矩陣，對2RRS－2RUS的4自由度機構來說，可以從Jp0中選取4組線性相關的行向量組成一個4×6的矩陣Jpa0。

然后再由線性映射關系L：＄t∈R6→vpa∈Rf，可以得到：

Jpa便是所求的4×4的4自由度的齊次量綱雅克比矩陣。

Jpa0只與ri0和ei，j0有關。

4 運動學性能評價指標

4.1 條件數(shù)

衡量機構運動性能的指標稱之為靈巧度。目前衡量機器人靈巧度的指標有2類：一是雅克比矩陣條件數(shù)，二是可操作度。使用條件數(shù)作為衡量靈巧度的指標。

雅克比矩陣條件數(shù)是機構輸入速度相對偏差的放大因子，決定了其求逆的計算精度和穩(wěn)定性，所以在機構設計中要求條件數(shù)在操作范圍內(nèi)越小越好，當條件數(shù)為1時，機構處于最佳的運動傳遞性能，其所對應的點具有各向同性點，在位型上稱之為運動學各向同性；而當條件數(shù)處于無窮大時，機構處于奇異位置。

齊次量綱雅克比條件數(shù)，采用矩陣的譜范數(shù)表示為：

σmax為齊次量綱雅克比矩陣Jpa的最大奇異值；σmin為齊次量綱雅克比矩陣Jpa的最小奇異值。

給定2RRS－2RUS機構的結構參數(shù)l11＝l21＝l31＝l41＝135cm，l12＝l22＝l32＝l42＝170cm ，R＝120cm，r＝80cm。機構齊次量綱雅克比矩陣的條件數(shù)。關于姿態(tài)角的分布規(guī)律，機構條件數(shù)關于位置的分布規(guī)律，如圖5和圖6所示。

圖5 2RRS－2RUS機構Jpa的條件數(shù)分布

圖5中，1為x＝0m，z＝0.25m；2為x＝0m，z＝0.55m；3為x＝0m，z＝0.75m。

圖6 2RRS－2RUS機構Jpa的條件數(shù)分布

圖6中，1為ψ＝0°，θ＝0°；2為ψ＝15°，θ＝20°；3為ψ＝30°，θ＝40°。

從圖5可看到，2RRS－2RUS的條件數(shù)κ（Jpa）隨z高度的增加，變化并不明顯，即z的值對條件數(shù)的影響很小。

觀察圖6可以看出，隨著姿態(tài)角角度增大，條件數(shù)值變大，即機構的運動能力有所減弱。

4.2 全域均值條件數(shù)

由于雅克比矩陣依賴于并聯(lián)機構的位形，只采用一個位型參數(shù)下的條件數(shù)作為評價指標，具有局限性，所以為總體評價靈巧度，首先對機構的整個工作空間中的各個位型雅克比矩陣條件數(shù)求平均值η，顯然η越小機構的運動性能越好，即

St為給定工作空間某一高度截面面積。

為了便于討論尺度參數(shù)對機構操作性能的影響，在給定了動平臺中心x，z向移動范圍和所需的動平臺轉角范圍，同時也給定了機構的尺寸參數(shù)（設計變量）：定平臺半徑R、動平臺半徑r和連桿長度li1，li2（各支鏈對應的固定連桿尺寸相同），用r分別對R 和li1，li2（i＝1，2，3，4）進行歸一化處理，得：

在此，設定參數(shù)的變化范圍為：λ1＝1～2，λ2＝1～2，λ3＝1～2。然后求出均值條件數(shù)隨λ1，λ2，λ3的變化規(guī)律，如圖7所示。

圖7 2RRS－2RUS機構Jpa的條件數(shù)隨λ1，λ2，λ3 的分布

通過觀察圖7得出如下結論：

a.在給定的范圍內(nèi)，均值條件數(shù)隨著λ1的變大而增大，其運動性能有所減弱。

b.在參數(shù)的變化范圍內(nèi)，均值條件數(shù)隨著λ2，λ3的變大而減小，其運動能力有所增強。

5 結束語

利用螺旋理論構造出2RRS－2RUS機構完整的6×6雅克比矩陣，可以反映出系統(tǒng)的約束和驅動信息；基于完整雅可比矩陣，可以導出4×4齊次量綱雅克比矩陣；利用齊次量綱雅克比矩陣條件數(shù)作為靈巧度指標，分別固定位置參數(shù)和姿態(tài)參數(shù)，得到了齊次量綱雅克比矩陣條件數(shù)關于ψ，θ和x，z的分布規(guī)律圖；以動平臺半徑為標準對結構參數(shù)進行歸一化處理，得到了λ1，λ2，λ3，結合全域均值條件數(shù)，求得了均值條件數(shù)隨λ1，λ2，λ3的分布規(guī)律，為該機構的進一步優(yōu)化設計做了貢獻。

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