摸清圓周運(yùn)動(dòng)的“觸角”

王赫楠

圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理學(xué)中的五大典型運(yùn)動(dòng)之一，在各級(jí)考查中都是重?zé)狳c(diǎn)內(nèi)容，考查中除了強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)外，綜合性問(wèn)題不斷涌現(xiàn)，近年的考試中，對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的綜合性考查熱在哪里？

一、圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)組合

例1 （2002年上海高考）如圖1所示為一實(shí)驗(yàn)小車(chē)?yán)霉饷}沖測(cè)量車(chē)速和行程的裝置的示意圖，A為光源，B為光電接受器，A、B均固定在車(chē)身上，C為小車(chē)的車(chē)輪，D為與C同軸相連的齒輪.車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A發(fā)出的光束通過(guò)旋轉(zhuǎn)齒輪上齒的間隙后變成脈沖光信號(hào)，被B接受并轉(zhuǎn)換成電信號(hào)，由電子電路記錄和顯示.若實(shí)驗(yàn)顯示單位時(shí)間內(nèi)的脈沖數(shù)為n，累計(jì)脈沖數(shù)為N，則要測(cè)出小車(chē)的速度和行程還必須測(cè)量的物理量或數(shù)據(jù)是 ，小車(chē)速度的表達(dá)式為v= ；行程的表達(dá)式為s= .

解析 還必須測(cè)量的物理量是車(chē)輪半徑R，齒輪的齒數(shù)P.因BC同軸，則具有相同的角速度ω=2лn/P 由v=ωR得出v=2лnR/P，行程s=vt t=N/n 代入解得s=2лNR/P.

點(diǎn)悟 從上面的解答中看到所用的公式還是最基本的，但是本題巧妙的將小車(chē)的勻速運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為車(chē)輪傳動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng)，這種轉(zhuǎn)化就是近年考查的熱點(diǎn).象課本中的測(cè)量自行車(chē)速度等等都是此類問(wèn)題.解答時(shí)要抓住車(chē)輪的線速度與車(chē)運(yùn)動(dòng)的速度相同，同軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相同這些要點(diǎn).

二、圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)組合

例2 如圖2所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤(pán)，繞過(guò)其圓心的豎直軸 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，以經(jīng)過(guò)O水平向右的方向作為x軸的正方向.在圓心O正上方距盤(pán)面高為h處有一個(gè)正在間斷滴水的容器，在t=0時(shí)刻開(kāi)始隨傳送帶沿與x軸平行的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為v.已知容器在t=0時(shí)滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤(pán)面上時(shí)再滴一滴水.則（ ）

A.第一滴水滴到盤(pán)面上與第二滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差為

2hg

B.第一滴水滴到盤(pán)面上與第n滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差為n2hg

C.要使每一滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于一條直線上，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω=πg(shù)2h

D.要使每一滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于一條直線上，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω=2πg(shù)2h

解析 水滴在堅(jiān)直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)，第一滴水滴到盤(pán)面上與第二滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差恰好等于一滴水自由下落的時(shí)間，即h=1hgt21，所以t1=2hg，A項(xiàng)正確；而第n滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差為（n-1）2hg，B項(xiàng)錯(cuò)；要使每一滴水在圓盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于同一條直線上，在相鄰兩滴水的下落時(shí)間內(nèi)，圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的最小角度為π，所以最小角速度為ω～=πt1=π2hg，AC項(xiàng)正確.

點(diǎn)悟 圓周運(yùn)動(dòng)是具有周期性的運(yùn)動(dòng)，所以在求解問(wèn)題時(shí)要注意多解性.例如本題中已有“最小角速度”等關(guān)鍵詞限制，否則將要考慮多種情況.另外本題也是較為復(fù)雜的相遇問(wèn)題，解答的關(guān)鍵在于對(duì)兩物體的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行正確分析，再根據(jù)各物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)列式求解.

三、圓周運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)組合

例3 某機(jī)器內(nèi)有兩個(gè)圍繞各自的固定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的鋁盤(pán)A、B， A盤(pán)上有一個(gè)信號(hào)發(fā)射裝置P，能發(fā)射水平紅外線，P到圓心的距離為28 cm.B盤(pán)上有一個(gè)帶窗口的紅外線信號(hào)接受裝置Q，Q到圓心的距離為16 cm.P、Q轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度相同，都是4πm/s.當(dāng)P、Q正對(duì)時(shí)，P發(fā)出的紅外線恰好能進(jìn)入Q的接受窗口，如圖3所示，則Q接受到的紅外線信號(hào)的周期是（ ）.

A.0.56s B.0.28s C.0.16s D.0.07s

解析 一段時(shí)間 內(nèi)A轉(zhuǎn)過(guò)的角度與B在t時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)

過(guò)的角度之比為

ωAtωBt=

vRAtvRBt

=n1n2=47，即當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈，B轉(zhuǎn)7圈，P、Q再次相對(duì)，因此Q接受到的紅外線信號(hào)的周期

T=2π×0.284π×4=0.56 s.則正確選項(xiàng)為A.

點(diǎn)悟 圓周運(yùn)動(dòng)間的組合在實(shí)際生活中應(yīng)用很廣，如何將它們聯(lián)系起來(lái)，要抓住關(guān)鍵的東西.象傳動(dòng)裝置中的皮帶上各點(diǎn)的線速度相同，同軸上的角速度相同等.本題的關(guān)鍵還是相遇，所以分析了解時(shí)空關(guān)系是非常重要的.

N對(duì)v的極值條件為

dNdv=12aS[（v0-v）2v-2（v0-v）v]=0，

即3v2-4v0v+v20=0，解得v=v0，v=13v0

.所以v=v0時(shí)，功率有極小值0；v=13v0時(shí)，功率有極大值227aSv30

結(jié)束語(yǔ) 求極值問(wèn)題是高中物理常見(jiàn)的一種題型，高中物理求極值的方法有很多，以上列舉的是常見(jiàn)的幾種解題方法，學(xué)生解此類問(wèn)題時(shí)，要重點(diǎn)分析題目所涉及到的物理過(guò)程，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，找出符合物理規(guī)律的方程或物理圖像，再靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，明確解題思路.

圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理學(xué)中的五大典型運(yùn)動(dòng)之一，在各級(jí)考查中都是重?zé)狳c(diǎn)內(nèi)容，考查中除了強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)外，綜合性問(wèn)題不斷涌現(xiàn)，近年的考試中，對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的綜合性考查熱在哪里？

一、圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)組合

例1 （2002年上海高考）如圖1所示為一實(shí)驗(yàn)小車(chē)?yán)霉饷}沖測(cè)量車(chē)速和行程的裝置的示意圖，A為光源，B為光電接受器，A、B均固定在車(chē)身上，C為小車(chē)的車(chē)輪，D為與C同軸相連的齒輪.車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A發(fā)出的光束通過(guò)旋轉(zhuǎn)齒輪上齒的間隙后變成脈沖光信號(hào)，被B接受并轉(zhuǎn)換成電信號(hào)，由電子電路記錄和顯示.若實(shí)驗(yàn)顯示單位時(shí)間內(nèi)的脈沖數(shù)為n，累計(jì)脈沖數(shù)為N，則要測(cè)出小車(chē)的速度和行程還必須測(cè)量的物理量或數(shù)據(jù)是 ，小車(chē)速度的表達(dá)式為v= ；行程的表達(dá)式為s= .

解析 還必須測(cè)量的物理量是車(chē)輪半徑R，齒輪的齒數(shù)P.因BC同軸，則具有相同的角速度ω=2лn/P 由v=ωR得出v=2лnR/P，行程s=vt t=N/n 代入解得s=2лNR/P.

點(diǎn)悟 從上面的解答中看到所用的公式還是最基本的，但是本題巧妙的將小車(chē)的勻速運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為車(chē)輪傳動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng)，這種轉(zhuǎn)化就是近年考查的熱點(diǎn).象課本中的測(cè)量自行車(chē)速度等等都是此類問(wèn)題.解答時(shí)要抓住車(chē)輪的線速度與車(chē)運(yùn)動(dòng)的速度相同，同軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相同這些要點(diǎn).

二、圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)組合

例2 如圖2所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤(pán)，繞過(guò)其圓心的豎直軸 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，以經(jīng)過(guò)O水平向右的方向作為x軸的正方向.在圓心O正上方距盤(pán)面高為h處有一個(gè)正在間斷滴水的容器，在t=0時(shí)刻開(kāi)始隨傳送帶沿與x軸平行的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為v.已知容器在t=0時(shí)滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤(pán)面上時(shí)再滴一滴水.則（ ）

A.第一滴水滴到盤(pán)面上與第二滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差為

2hg

B.第一滴水滴到盤(pán)面上與第n滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差為n2hg

C.要使每一滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于一條直線上，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω=πg(shù)2h

D.要使每一滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于一條直線上，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω=2πg(shù)2h

解析 水滴在堅(jiān)直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)，第一滴水滴到盤(pán)面上與第二滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差恰好等于一滴水自由下落的時(shí)間，即h=1hgt21，所以t1=2hg，A項(xiàng)正確；而第n滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差為（n-1）2hg，B項(xiàng)錯(cuò)；要使每一滴水在圓盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于同一條直線上，在相鄰兩滴水的下落時(shí)間內(nèi)，圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的最小角度為π，所以最小角速度為ω～=πt1=π2hg，AC項(xiàng)正確.

點(diǎn)悟 圓周運(yùn)動(dòng)是具有周期性的運(yùn)動(dòng)，所以在求解問(wèn)題時(shí)要注意多解性.例如本題中已有“最小角速度”等關(guān)鍵詞限制，否則將要考慮多種情況.另外本題也是較為復(fù)雜的相遇問(wèn)題，解答的關(guān)鍵在于對(duì)兩物體的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行正確分析，再根據(jù)各物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)列式求解.

三、圓周運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)組合

例3 某機(jī)器內(nèi)有兩個(gè)圍繞各自的固定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的鋁盤(pán)A、B， A盤(pán)上有一個(gè)信號(hào)發(fā)射裝置P，能發(fā)射水平紅外線，P到圓心的距離為28 cm.B盤(pán)上有一個(gè)帶窗口的紅外線信號(hào)接受裝置Q，Q到圓心的距離為16 cm.P、Q轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度相同，都是4πm/s.當(dāng)P、Q正對(duì)時(shí)，P發(fā)出的紅外線恰好能進(jìn)入Q的接受窗口，如圖3所示，則Q接受到的紅外線信號(hào)的周期是（ ）.

A.0.56s B.0.28s C.0.16s D.0.07s

解析 一段時(shí)間 內(nèi)A轉(zhuǎn)過(guò)的角度與B在t時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)

過(guò)的角度之比為

ωAtωBt=

vRAtvRBt

=n1n2=47，即當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈，B轉(zhuǎn)7圈，P、Q再次相對(duì)，因此Q接受到的紅外線信號(hào)的周期

T=2π×0.284π×4=0.56 s.則正確選項(xiàng)為A.

點(diǎn)悟 圓周運(yùn)動(dòng)間的組合在實(shí)際生活中應(yīng)用很廣，如何將它們聯(lián)系起來(lái)，要抓住關(guān)鍵的東西.象傳動(dòng)裝置中的皮帶上各點(diǎn)的線速度相同，同軸上的角速度相同等.本題的關(guān)鍵還是相遇，所以分析了解時(shí)空關(guān)系是非常重要的.

N對(duì)v的極值條件為

dNdv=12aS[（v0-v）2v-2（v0-v）v]=0，

即3v2-4v0v+v20=0，解得v=v0，v=13v0

.所以v=v0時(shí)，功率有極小值0；v=13v0時(shí)，功率有極大值227aSv30

結(jié)束語(yǔ) 求極值問(wèn)題是高中物理常見(jiàn)的一種題型，高中物理求極值的方法有很多，以上列舉的是常見(jiàn)的幾種解題方法，學(xué)生解此類問(wèn)題時(shí)，要重點(diǎn)分析題目所涉及到的物理過(guò)程，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，找出符合物理規(guī)律的方程或物理圖像，再靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，明確解題思路.

圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理學(xué)中的五大典型運(yùn)動(dòng)之一，在各級(jí)考查中都是重?zé)狳c(diǎn)內(nèi)容，考查中除了強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)外，綜合性問(wèn)題不斷涌現(xiàn)，近年的考試中，對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的綜合性考查熱在哪里？

一、圓周運(yùn)動(dòng)與直線運(yùn)動(dòng)組合

例1 （2002年上海高考）如圖1所示為一實(shí)驗(yàn)小車(chē)?yán)霉饷}沖測(cè)量車(chē)速和行程的裝置的示意圖，A為光源，B為光電接受器，A、B均固定在車(chē)身上，C為小車(chē)的車(chē)輪，D為與C同軸相連的齒輪.車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A發(fā)出的光束通過(guò)旋轉(zhuǎn)齒輪上齒的間隙后變成脈沖光信號(hào)，被B接受并轉(zhuǎn)換成電信號(hào)，由電子電路記錄和顯示.若實(shí)驗(yàn)顯示單位時(shí)間內(nèi)的脈沖數(shù)為n，累計(jì)脈沖數(shù)為N，則要測(cè)出小車(chē)的速度和行程還必須測(cè)量的物理量或數(shù)據(jù)是 ，小車(chē)速度的表達(dá)式為v= ；行程的表達(dá)式為s= .

解析 還必須測(cè)量的物理量是車(chē)輪半徑R，齒輪的齒數(shù)P.因BC同軸，則具有相同的角速度ω=2лn/P 由v=ωR得出v=2лnR/P，行程s=vt t=N/n 代入解得s=2лNR/P.

點(diǎn)悟 從上面的解答中看到所用的公式還是最基本的，但是本題巧妙的將小車(chē)的勻速運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為車(chē)輪傳動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng)，這種轉(zhuǎn)化就是近年考查的熱點(diǎn).象課本中的測(cè)量自行車(chē)速度等等都是此類問(wèn)題.解答時(shí)要抓住車(chē)輪的線速度與車(chē)運(yùn)動(dòng)的速度相同，同軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相同這些要點(diǎn).

二、圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)組合

例2 如圖2所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤(pán)，繞過(guò)其圓心的豎直軸 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，以經(jīng)過(guò)O水平向右的方向作為x軸的正方向.在圓心O正上方距盤(pán)面高為h處有一個(gè)正在間斷滴水的容器，在t=0時(shí)刻開(kāi)始隨傳送帶沿與x軸平行的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為v.已知容器在t=0時(shí)滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤(pán)面上時(shí)再滴一滴水.則（ ）

A.第一滴水滴到盤(pán)面上與第二滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差為

2hg

B.第一滴水滴到盤(pán)面上與第n滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差為n2hg

C.要使每一滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于一條直線上，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω=πg(shù)2h

D.要使每一滴水在盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于一條直線上，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的最小角速度ω=2πg(shù)2h

解析 水滴在堅(jiān)直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)，第一滴水滴到盤(pán)面上與第二滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差恰好等于一滴水自由下落的時(shí)間，即h=1hgt21，所以t1=2hg，A項(xiàng)正確；而第n滴水滴到盤(pán)面上的時(shí)間差為（n-1）2hg，B項(xiàng)錯(cuò)；要使每一滴水在圓盤(pán)面上的落點(diǎn)都位于同一條直線上，在相鄰兩滴水的下落時(shí)間內(nèi)，圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的最小角度為π，所以最小角速度為ω～=πt1=π2hg，AC項(xiàng)正確.

點(diǎn)悟 圓周運(yùn)動(dòng)是具有周期性的運(yùn)動(dòng)，所以在求解問(wèn)題時(shí)要注意多解性.例如本題中已有“最小角速度”等關(guān)鍵詞限制，否則將要考慮多種情況.另外本題也是較為復(fù)雜的相遇問(wèn)題，解答的關(guān)鍵在于對(duì)兩物體的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行正確分析，再根據(jù)各物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)列式求解.

三、圓周運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)組合

例3 某機(jī)器內(nèi)有兩個(gè)圍繞各自的固定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的鋁盤(pán)A、B， A盤(pán)上有一個(gè)信號(hào)發(fā)射裝置P，能發(fā)射水平紅外線，P到圓心的距離為28 cm.B盤(pán)上有一個(gè)帶窗口的紅外線信號(hào)接受裝置Q，Q到圓心的距離為16 cm.P、Q轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度相同，都是4πm/s.當(dāng)P、Q正對(duì)時(shí)，P發(fā)出的紅外線恰好能進(jìn)入Q的接受窗口，如圖3所示，則Q接受到的紅外線信號(hào)的周期是（ ）.

A.0.56s B.0.28s C.0.16s D.0.07s

解析 一段時(shí)間 內(nèi)A轉(zhuǎn)過(guò)的角度與B在t時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)

過(guò)的角度之比為

ωAtωBt=

vRAtvRBt

=n1n2=47，即當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈，B轉(zhuǎn)7圈，P、Q再次相對(duì)，因此Q接受到的紅外線信號(hào)的周期

T=2π×0.284π×4=0.56 s.則正確選項(xiàng)為A.

點(diǎn)悟 圓周運(yùn)動(dòng)間的組合在實(shí)際生活中應(yīng)用很廣，如何將它們聯(lián)系起來(lái)，要抓住關(guān)鍵的東西.象傳動(dòng)裝置中的皮帶上各點(diǎn)的線速度相同，同軸上的角速度相同等.本題的關(guān)鍵還是相遇，所以分析了解時(shí)空關(guān)系是非常重要的.

N對(duì)v的極值條件為

dNdv=12aS[（v0-v）2v-2（v0-v）v]=0，

即3v2-4v0v+v20=0，解得v=v0，v=13v0

.所以v=v0時(shí)，功率有極小值0；v=13v0時(shí)，功率有極大值227aSv30

結(jié)束語(yǔ) 求極值問(wèn)題是高中物理常見(jiàn)的一種題型，高中物理求極值的方法有很多，以上列舉的是常見(jiàn)的幾種解題方法，學(xué)生解此類問(wèn)題時(shí)，要重點(diǎn)分析題目所涉及到的物理過(guò)程，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，找出符合物理規(guī)律的方程或物理圖像，再靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，明確解題思路.