張宏江, 王樹恩, 杜 鋒, 姜兆義, 馬 威
(1. 裝甲兵工程學院裝備試用與培訓大隊,北京 100072; 2. 中國白城兵器試驗中心,吉林 白城 137001)
武器系統(tǒng)射擊精度是一個最重要的戰(zhàn)術技術指標。射擊精度包括射擊準確度和射擊密集度, 前者描述了落點的系統(tǒng)性偏差,后者描述了落點的隨機散布特性。隨著高新技術廣泛應用于彈藥系統(tǒng),彈藥的造價越來越高, 單單依靠設計定型的射擊試驗來評定射擊精度,不僅費用高,而且難以得出科學客觀的結(jié)論。
近年來,Bayes理論發(fā)展迅速,文獻[1-2]均對Bayes理論進行了比較系統(tǒng)的闡述,這些方法可以融合仿真試驗數(shù)據(jù),但是存在“數(shù)據(jù)淹沒”問題。文獻[3-8]提出了基于驗前信息可信度Bayes理論,解決了“數(shù)據(jù)淹沒”問題,但在計算可信度時, 必須在試驗之前給出驗前概率P(H0)和使用方風險β,這是非常困難的事[1]。鑒于此,本文提出了一種基于相似反映比例(Proportion of Similar Response,PSR)驗前信息可信度的Bayes數(shù)據(jù)融合方法,該方法解決了上述問題,可以用于武器系統(tǒng)射擊精度評定試驗中。
通常,PSR的數(shù)量化定義為
(1)
式中:f(x)、g(x)分別為總體分布F(x)、G(x)的概率密度函數(shù)。特別地,當F(x)=G(x)時,PSR=1。
PSR刻畫了2個總體分布F(x)與G(x)的相似程度,PSR越接近于1,則F(x)與G(x)的差異就越小,當PSR=1時,F(x)與G(x)服從同一分布,這樣就可以用PSR作為信息可信度的度量,省去了需要計算β和P(H0)的問題。
式中:
π(θ)=π(μ,D)=π(μ|D)π(D),
其中π(D)為D的驗前密度,為逆Gamma分布,即
πi(θ)=πi(μ,D)=πi(μ|D)πi(D)。
正態(tài)-逆Gamma分布的參數(shù)分別為
π0(μ,D)為現(xiàn)場試驗信息的分布函數(shù),它也服從正態(tài)-逆Gamma分布,參數(shù)為
β0=(n-1)/2,
η0=1/n。
在獲得現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)X=(x1,…,xn)之后,利用現(xiàn)場落點數(shù)據(jù)對驗前信息進行PSR檢驗,得到可信度ci。若認為現(xiàn)場信息是可信的,那么它的可信度c0為1??尚哦萩i歸一化為εi,于是可以得到融合后的驗前分布為
式中:
利用Bayes融合公式可以獲得(μ,D)的驗后分布為
驗后分布π(μ,D|X)仍為正態(tài)-逆Gamma分布:
加權(quán)系數(shù)
f(X|πi) =
其中,i=1,2,…,m。
得到π(μ,D|X)后,μ的驗后邊緣密度為
而D的驗后邊緣密度為
如果應用平方損失函數(shù), 則μ和D的Bayes估計分別為下列條件期望:
經(jīng)推導,得出
其中,
通過以上變換,使xi(i=1,2,…,n)具有相同的均值μ0,同時保留了各組試驗數(shù)據(jù)中包含的母體的隨機擾動信息εi,可把多組數(shù)據(jù)合為一組數(shù)據(jù)。
第2步:應用新的正態(tài)分布相容性檢驗方法檢驗2個總體的方差和均值的相容性,然后計算PSR,則此種驗前信息的可信度為ci=PSRi(i=1,2,…,m)。
第3步:令c0=1,可信度ci(i=1,2,…,m)歸一化后得到εi。
第5步:分別計算邊緣密度函數(shù)值f(X|πi),求得加權(quán)系數(shù)λi(i=1,2,…,m)。
第7步:首發(fā)命中概率[10]計算公式為
式中:ly、lz為立靶(目標)的尺寸。
假設X~N(29 400,220),用Matlab隨機產(chǎn)生5組數(shù)據(jù),每組10發(fā),通過5次程序仿真計算,得到數(shù)據(jù)εi(i=1,2,…,5),如表1所示。對比這些數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn):歸一化可信度εi(i=1,2,…,5)均相差不大,并且通過基于PSR可信度的Bayes方法計算,得到均值估計相對誤差平均僅有0.05%,方差的估計相對誤差平均只有8%,與采用傳統(tǒng)的點估計方法得到的均值估計相對誤差的平均值0.08%和方差的估計相對誤差平均值15%相比均有所降低,說明該方法是有效、合理的。
表1 來自同一母體數(shù)據(jù)的仿真計算結(jié)果
假設X~N(29 400,200)是在設計定型階段獲得的數(shù)據(jù),出廠驗收試驗所獲得的數(shù)據(jù)服從同一個總體X1~N(29 400,200),用Matlab產(chǎn)生10個設計定型數(shù)據(jù)和10個出廠驗收數(shù)據(jù),隨機產(chǎn)生仿真數(shù)據(jù)服從不同分布X2~N(29 200,220),再隨機產(chǎn)生50個仿真數(shù)據(jù)。
X= (29 645,29 607,29 441,29 368,29 519,
29 287,29 104,29 206,29 822,29 337),
X1=(29 663,29 416,29 416,29 207,29 317,
29 507,29 251,29 864,29 002,29 467),
X2=(28 909,29 377,29 038,29 362,28 758,
29 283,29 427,29 199,29 680,29 036,
28 912,29 515,29 553,29 408,29 417,
29 119,29 316,29 228,29 075,28 939,
29 020,29 004,29 218,29 131,29 388,
29 304,29 103,29 166,29 156,28 767,
29 307,29 451,28 627,29 475,29 198,
29 010,29 421,28 962,29 025,28 984,
29 488,29 393,29 100,29 187,29 076,
29 058,28 994,29 445,29 446,29 047)。
經(jīng)過計算,得到歸一化可信度εi(i=1,2,3)分別為0.396 9,0.374 2, 0.229 0,加權(quán)系數(shù)λi(i=1,2,3)分別為0.542 5,0.452 0, 0.005 5。定型試驗經(jīng)過基于PSR值可信度的Bayes方法估計后,得到均值為29 428,均方差為227,與X均值的真值29 434、X均方差的真值218非常接近,表明仿真數(shù)據(jù)沒有把定型試驗數(shù)據(jù)淹沒。
表2為傳統(tǒng)Bayes方法與本文方法估計誤差對比,可以看出:采用傳統(tǒng)Bayes方法估計的方差相對誤差達到了26%,導致大量的仿真試驗數(shù)據(jù)淹沒了少量的設計定型數(shù)據(jù);而采用本文方法得到的均值和方差估計相對誤差均遠小于傳統(tǒng)Bayes方法,不存在數(shù)據(jù)“淹沒”現(xiàn)象。
表2 傳統(tǒng)Bayes方法和本文方法估計誤差對比
通過仿真計算可以看出:基于PSR值可信度的Bayes方法解決了傳統(tǒng)的Bayes方法需要計算β和P(H0)的難題,同時,數(shù)據(jù)融合結(jié)果真實有效,不會出現(xiàn)仿真量大數(shù)據(jù)“淹沒”設計定型數(shù)據(jù)的問題,因此可以用于射擊精度試驗。
某型彈定型和正樣機數(shù)據(jù)分別如表3、4所示。
表3 某型彈定型數(shù)據(jù)
注:指標要求密集度35 cm×35 cm。
表4 某型彈正樣機數(shù)據(jù)
第1步:首先對表3中y方向的3組數(shù)據(jù)方差進行檢驗,得到方差檢驗結(jié)果相容;然后對這3組(每組10發(fā))數(shù)據(jù)的均值進行檢驗,得到均值檢驗結(jié)果相容,因此,認為這3組數(shù)據(jù)屬于一個整體,可以把這3組數(shù)據(jù)直接合并為一個大組(即30發(fā)數(shù)據(jù))。對正樣機的2組數(shù)據(jù)也同樣進行上述處理,結(jié)果也相容,可以把這2組數(shù)據(jù)直接合并為一個大組(即20發(fā)數(shù)據(jù))。z方向也可以進行相應處理,結(jié)果一致。
第2步:對這2大組數(shù)據(jù)進行相容性檢驗,結(jié)果也相容,計算y方向2大組數(shù)據(jù)的PSR值,得到PSRy=0.970 6,同樣計算出PSRz=0.888 2。
第3步:計算y方向歸一化可信度,得到ε0=0.507 5,ε1=0.492 5;計算z方向歸一化可信度,得到ε0=0.529 6,ε1=0.470 4。
第5步:計算得到y(tǒng)方向邊緣密度函數(shù)值為1.59×10-6和0.993×10-6,z方向邊緣密度函數(shù)值為1.492×10-6和0.702×10-6;求得y方向加權(quán)系數(shù)0.507 5和0.492 5,z方向加權(quán)系數(shù)0.529 6和0.470 4。
第7步:代入首發(fā)命中概率公式,得到
本文從實際需求出發(fā),提出了基于PSR驗前信息可信度的Bayes數(shù)據(jù)融合方法,該方法可以融合仿真試驗數(shù)據(jù)、工程樣機試驗數(shù)據(jù),不會出現(xiàn)數(shù)據(jù)“淹沒”現(xiàn)象,并且解決了傳統(tǒng)Bayes試驗方法需要計算β和P(H0)的難題。仿真結(jié)果表明:該方法估計精度高,提高了評定精度,減少了定型試驗的樣本量。實彈射擊結(jié)果表明:該方法可以用于突擊類武器立靶射擊精度試驗,能夠節(jié)約定型試驗消耗,縮短定型試驗周期,對解決炮彈射擊密集度試驗和導彈射擊精度的定型具有參考價值。
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