一道模擬題與高考題的聯(lián)系與解法探究

翁遠(yuǎn)珍+楊唐桂

每年高考試題豐富多彩，形式各樣，而且都是原創(chuàng)題，但是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查及解法卻是大同小異，有些高考題更是可看成是平時(shí)一些模擬題的變式提高，關(guān)鍵是能不能發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.下以兩題為例.

一、原題展示

題目1 （2013年高考新課標(biāo)1（理）第12題）設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，…，若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，則（ ）.

A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

題目2 （2012武漢模擬）如圖，線段AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)D.設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）.則f（x）的定義域?yàn)?；f（x）的最大值為 .

二、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系

粗一看這兩道題一個(gè)問的是數(shù)列問題，一個(gè)問的是函數(shù)問題，兩者沒什么關(guān)系.可細(xì)一看，不難發(fā)現(xiàn)，兩者都涉及到三角形的面積.

再細(xì)分析條件 對(duì)于題目1

因?yàn)閍n+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，所以an=a1，

所以bn+1+cn+1=an+bn+cn2=a1+bn+cn2，

所以bn+1+cn+1-2a1=bn+cn-2a12，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1.

于是，在△AnBnCn中，邊長BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長度之和bn+cn=2a1為定值.

對(duì)于題目2

由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，邊長DC為定值，另兩邊CP+DP=6為定值.

可見兩題本質(zhì)相同，實(shí)是考查同一知識(shí)：已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.

三、解法探究

因?yàn)閮深}本質(zhì)相同，故可用相同方法求解.常用方法有以下幾種：

方法一：

因?yàn)槿切沃荛L為定值，故可用海倫公式求解

題目1：可得Sn=p（p-an）（p-bn）（p-cn）=p（p-a1）（p2-2a1p+bncn），

其中p是半周長，各三角形半周長相等，bn+1cn+1=a2n+（bn+cn）an+bncn4=3a21+bncn4，所以bn+1cn+1-bncn=3a21-3bncn4>0，即{bncn}是遞增的，故{Sn}是遞增的.選B

題目2中：由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x.

因?yàn)椤鰿PD中，兩邊之差小于第三邊及兩邊之和大于第三邊，所以得x∈（2，4），三角形的周長是一個(gè)定值8，

故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=4（4-x）（4-6+x）2=-8x2+48x-64，

易得x=3時(shí)，f（x）max=22.

方法二：

由于海倫公式在有些教材是作為閱讀材料補(bǔ)充的，可能較多學(xué)生不會(huì)記憶，也可用三角形余弦定理求解.以題目2為例，由余弦定理有

cos∠DCP=DC2+CP2-DP22DC·CP=4+x2-（6-x）24x=3x-8x

，

所以sin∠DCP=1-（3x-8x）2=-8x2+48x-64x（2

，則f（x）=12DC·CP·sin∠DCP，可得f（x）=-8x2+48x--64，下同法一.

方法三：

設(shè)∠DCP=α，由方法二cos∠DCP=3x-8x，可得x=83-cosα，則S△DCP=12DC·CP·sin∠DCP=8sinα3-cosα（0<α<π）.可求得最大值22.

以上三種方法都是圍繞解三角形而來，而方法二與方法三在解題目2時(shí)易于想到，對(duì)于題目1卻難以聯(lián)想.而且對(duì)于這樣一道選擇題，對(duì)海倫公式不熟練的同學(xué)，也是想不到此公式的.那么，有沒有更易于想到且計(jì)算更快的方法呢？由上分析已得知：題目1和題目2都是已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.以上三法都是從三邊出發(fā)而得，實(shí)際也可看成是三角形三頂點(diǎn)中兩點(diǎn)固定，另一頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng).筆者經(jīng)過進(jìn)一步的分析思考，得到方法四.

方法四：

題目1中，因?yàn)閍n+1=an=a1=BnCn，bn+cn=AnCn+AnBn=2a1>a1=BnCn所以An在以Bn，Cn為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)（不與E，F(xiàn)重合），如圖.同方法一中，因?yàn)閎n+1-cn+1=cn+an2-bn+an2=-12（bn-cn），所以bn-cn=（-12）n-1（b1-c1）.

當(dāng)n→+∞時(shí)，有bn-cn→0，即bn→cn，所以An在橢圓頂點(diǎn)D兩邊擺動(dòng)向D點(diǎn)靠近，由圖易知，當(dāng)An越向D點(diǎn)靠近，△AnBnCn的面積越大，故{Sn}是遞增的.

此法用于題目2，亦可快速得出f（x）的最大值.

每年高考試題豐富多彩，形式各樣，而且都是原創(chuàng)題，但是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查及解法卻是大同小異，有些高考題更是可看成是平時(shí)一些模擬題的變式提高，關(guān)鍵是能不能發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.下以兩題為例.

一、原題展示

題目1 （2013年高考新課標(biāo)1（理）第12題）設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，…，若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，則（ ）.

A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

題目2 （2012武漢模擬）如圖，線段AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)D.設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）.則f（x）的定義域?yàn)?；f（x）的最大值為 .

二、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系

粗一看這兩道題一個(gè)問的是數(shù)列問題，一個(gè)問的是函數(shù)問題，兩者沒什么關(guān)系.可細(xì)一看，不難發(fā)現(xiàn)，兩者都涉及到三角形的面積.

再細(xì)分析條件 對(duì)于題目1

因?yàn)閍n+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，所以an=a1，

所以bn+1+cn+1=an+bn+cn2=a1+bn+cn2，

所以bn+1+cn+1-2a1=bn+cn-2a12，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1.

于是，在△AnBnCn中，邊長BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長度之和bn+cn=2a1為定值.

對(duì)于題目2

由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，邊長DC為定值，另兩邊CP+DP=6為定值.

可見兩題本質(zhì)相同，實(shí)是考查同一知識(shí)：已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.

三、解法探究

因?yàn)閮深}本質(zhì)相同，故可用相同方法求解.常用方法有以下幾種：

方法一：

因?yàn)槿切沃荛L為定值，故可用海倫公式求解

題目1：可得Sn=p（p-an）（p-bn）（p-cn）=p（p-a1）（p2-2a1p+bncn），

其中p是半周長，各三角形半周長相等，bn+1cn+1=a2n+（bn+cn）an+bncn4=3a21+bncn4，所以bn+1cn+1-bncn=3a21-3bncn4>0，即{bncn}是遞增的，故{Sn}是遞增的.選B

題目2中：由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x.

因?yàn)椤鰿PD中，兩邊之差小于第三邊及兩邊之和大于第三邊，所以得x∈（2，4），三角形的周長是一個(gè)定值8，

故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=4（4-x）（4-6+x）2=-8x2+48x-64，

易得x=3時(shí)，f（x）max=22.

方法二：

由于海倫公式在有些教材是作為閱讀材料補(bǔ)充的，可能較多學(xué)生不會(huì)記憶，也可用三角形余弦定理求解.以題目2為例，由余弦定理有

cos∠DCP=DC2+CP2-DP22DC·CP=4+x2-（6-x）24x=3x-8x

，

所以sin∠DCP=1-（3x-8x）2=-8x2+48x-64x（2

，則f（x）=12DC·CP·sin∠DCP，可得f（x）=-8x2+48x--64，下同法一.

方法三：

設(shè)∠DCP=α，由方法二cos∠DCP=3x-8x，可得x=83-cosα，則S△DCP=12DC·CP·sin∠DCP=8sinα3-cosα（0<α<π）.可求得最大值22.

以上三種方法都是圍繞解三角形而來，而方法二與方法三在解題目2時(shí)易于想到，對(duì)于題目1卻難以聯(lián)想.而且對(duì)于這樣一道選擇題，對(duì)海倫公式不熟練的同學(xué)，也是想不到此公式的.那么，有沒有更易于想到且計(jì)算更快的方法呢？由上分析已得知：題目1和題目2都是已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.以上三法都是從三邊出發(fā)而得，實(shí)際也可看成是三角形三頂點(diǎn)中兩點(diǎn)固定，另一頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng).筆者經(jīng)過進(jìn)一步的分析思考，得到方法四.

方法四：

題目1中，因?yàn)閍n+1=an=a1=BnCn，bn+cn=AnCn+AnBn=2a1>a1=BnCn所以An在以Bn，Cn為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)（不與E，F(xiàn)重合），如圖.同方法一中，因?yàn)閎n+1-cn+1=cn+an2-bn+an2=-12（bn-cn），所以bn-cn=（-12）n-1（b1-c1）.

當(dāng)n→+∞時(shí)，有bn-cn→0，即bn→cn，所以An在橢圓頂點(diǎn)D兩邊擺動(dòng)向D點(diǎn)靠近，由圖易知，當(dāng)An越向D點(diǎn)靠近，△AnBnCn的面積越大，故{Sn}是遞增的.

此法用于題目2，亦可快速得出f（x）的最大值.

每年高考試題豐富多彩，形式各樣，而且都是原創(chuàng)題，但是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查及解法卻是大同小異，有些高考題更是可看成是平時(shí)一些模擬題的變式提高，關(guān)鍵是能不能發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系.下以兩題為例.

一、原題展示

題目1 （2013年高考新課標(biāo)1（理）第12題）設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，…，若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，則（ ）.

A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

題目2 （2012武漢模擬）如圖，線段AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)D.設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）.則f（x）的定義域?yàn)?；f（x）的最大值為 .

二、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系

粗一看這兩道題一個(gè)問的是數(shù)列問題，一個(gè)問的是函數(shù)問題，兩者沒什么關(guān)系.可細(xì)一看，不難發(fā)現(xiàn)，兩者都涉及到三角形的面積.

再細(xì)分析條件 對(duì)于題目1

因?yàn)閍n+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，所以an=a1，

所以bn+1+cn+1=an+bn+cn2=a1+bn+cn2，

所以bn+1+cn+1-2a1=bn+cn-2a12，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1.

于是，在△AnBnCn中，邊長BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長度之和bn+cn=2a1為定值.

對(duì)于題目2

由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，邊長DC為定值，另兩邊CP+DP=6為定值.

可見兩題本質(zhì)相同，實(shí)是考查同一知識(shí)：已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.

三、解法探究

因?yàn)閮深}本質(zhì)相同，故可用相同方法求解.常用方法有以下幾種：

方法一：

因?yàn)槿切沃荛L為定值，故可用海倫公式求解

題目1：可得Sn=p（p-an）（p-bn）（p-cn）=p（p-a1）（p2-2a1p+bncn），

其中p是半周長，各三角形半周長相等，bn+1cn+1=a2n+（bn+cn）an+bncn4=3a21+bncn4，所以bn+1cn+1-bncn=3a21-3bncn4>0，即{bncn}是遞增的，故{Sn}是遞增的.選B

題目2中：由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x.

因?yàn)椤鰿PD中，兩邊之差小于第三邊及兩邊之和大于第三邊，所以得x∈（2，4），三角形的周長是一個(gè)定值8，

故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=4（4-x）（4-6+x）2=-8x2+48x-64，

易得x=3時(shí)，f（x）max=22.

方法二：

由于海倫公式在有些教材是作為閱讀材料補(bǔ)充的，可能較多學(xué)生不會(huì)記憶，也可用三角形余弦定理求解.以題目2為例，由余弦定理有

cos∠DCP=DC2+CP2-DP22DC·CP=4+x2-（6-x）24x=3x-8x

，

所以sin∠DCP=1-（3x-8x）2=-8x2+48x-64x（2

，則f（x）=12DC·CP·sin∠DCP，可得f（x）=-8x2+48x--64，下同法一.

方法三：

設(shè)∠DCP=α，由方法二cos∠DCP=3x-8x，可得x=83-cosα，則S△DCP=12DC·CP·sin∠DCP=8sinα3-cosα（0<α<π）.可求得最大值22.

以上三種方法都是圍繞解三角形而來，而方法二與方法三在解題目2時(shí)易于想到，對(duì)于題目1卻難以聯(lián)想.而且對(duì)于這樣一道選擇題，對(duì)海倫公式不熟練的同學(xué)，也是想不到此公式的.那么，有沒有更易于想到且計(jì)算更快的方法呢？由上分析已得知：題目1和題目2都是已知三角形三邊中一邊長為定值，另兩邊長之和為定值，求三角形面積問題.以上三法都是從三邊出發(fā)而得，實(shí)際也可看成是三角形三頂點(diǎn)中兩點(diǎn)固定，另一頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng).筆者經(jīng)過進(jìn)一步的分析思考，得到方法四.

方法四：

題目1中，因?yàn)閍n+1=an=a1=BnCn，bn+cn=AnCn+AnBn=2a1>a1=BnCn所以An在以Bn，Cn為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)（不與E，F(xiàn)重合），如圖.同方法一中，因?yàn)閎n+1-cn+1=cn+an2-bn+an2=-12（bn-cn），所以bn-cn=（-12）n-1（b1-c1）.

當(dāng)n→+∞時(shí)，有bn-cn→0，即bn→cn，所以An在橢圓頂點(diǎn)D兩邊擺動(dòng)向D點(diǎn)靠近，由圖易知，當(dāng)An越向D點(diǎn)靠近，△AnBnCn的面積越大，故{Sn}是遞增的.

此法用于題目2，亦可快速得出f（x）的最大值.