對“流體連續(xù)性”困惑的探討

李剛+金丹萍

一、一道高考題所引發(fā)的困惑

2013年浙江高考理綜試卷第25題是以超導(dǎo)磁流體推進(jìn)技術(shù)為背景的物理綜合題，原題如下：

為了降低潛艇噪音，提高其前進(jìn)速度，可用電磁推進(jìn)器替代螺旋槳.潛艇下方有左、右兩組推進(jìn)器，每組由6個相同的用絕緣材料制成的直線通道推進(jìn)器構(gòu)成，其原理示意圖如圖1.在直線通道內(nèi)充滿電阻率ρ=0.2Ωm的海水，通道中a×b×c=0.3m×0.4m×0.3m的空間內(nèi)，存在由超導(dǎo)線圈產(chǎn)生的勻強磁場，其磁感應(yīng)強度B=6.4T、方向垂直通道側(cè)面向外.磁場區(qū)域上、下方各有a×b=0.3m×0.4m的金屬板M、N，當(dāng)其與推進(jìn)器專用直流電源相連后，在兩板之間的海水中產(chǎn)生了從N到M，大小恒為I=1.0×103A的電流，設(shè)該電流只存在于磁場區(qū)域.不計電源內(nèi)阻及導(dǎo)線電阻，海水密度ρm≈1.0×103kg/m3，求：（前兩個小問題此處省略）

（3）當(dāng)潛艇以恒定速度v0=30m/s前進(jìn)時，海水在出口處相對于推進(jìn)器的速度v=34m/s，思考專用直流電源所提供的電功率如何分配，求出相應(yīng)功率的大小.

此題顯然是在實施素質(zhì)教育背景下選拔物理高素質(zhì)學(xué)生的立意新穎試題，袁張瑾[1]已經(jīng)撰文證明了此題在非常理想條件下的電源能量分配轉(zhuǎn)化的正確性和完備性.但高考后有學(xué)生尤其是不少物理教師產(chǎn)生這樣的困惑：題中條件和示意圖右邊放大圖顯示磁推進(jìn)管為矩形管形狀，而磁推進(jìn)管進(jìn)水口與出水口流體速度相對于船有明顯的不同，似乎與流體的流動連續(xù)性原則相矛盾.本文作者無意也無力解決流體工程實際問題，僅想在極端理想的流體模型上用中學(xué)基本物理原理嘗試探討海水流動連續(xù)性問題，目的是拋磚引玉，與同行商討如何更好地解決與之相關(guān)的困惑.

二、磁流體推進(jìn)管幾何形狀的數(shù)學(xué)方程推導(dǎo)

基于中學(xué)階段師生對流體力學(xué)知識理解與掌握的現(xiàn)狀考慮，數(shù)學(xué)推導(dǎo)將建立在流體與推進(jìn)管之間無任何作用的非常理想模型之上，即：管壁除給流體提供電流外，對流體的流動可認(rèn)為無任何約束，管中流體流動如同二維空間內(nèi)的自由穩(wěn)定流動.有動力驅(qū)動時，流線密度會隨著流速增大而相應(yīng)增加，流線因此彎曲并收窄，如圖2. [注1].

建立如下流體模型：假設(shè)①海水為理想流體，即海水完全不可壓縮和完全無粘滯性，同時忽略海水與管壁之間的粘滯阻力作用；②海水通過推進(jìn)管的運動方式為穩(wěn)流運動；③不考慮因海水電解而形成的氣泡對海水流動的影響，不考慮其他引起海水湍流運動的可能因素.

設(shè)船勻速行駛，以船為參照系，船為慣性參照系.設(shè)通過電極的合理設(shè)計，使電流通過推進(jìn)管內(nèi)的海水時各處具有相同的電流密度j= =j0.

圖3所示為磁流體推進(jìn)管的主視圖，設(shè)其上、下管壁以函數(shù)y=f（x）曲線分布，以陰影部分表示的流體微元作為分析對象，流體微元在時間微元Δt內(nèi)完成加速.圖4為磁流體推進(jìn)管側(cè)視圖（為方便分析，假設(shè)截面為矩形）.

通過流體微元的電流強度： ΔI=ΔS·j0=z0·Δx·j0=z0·（x′-x）·j0

流體所受的安培力：F安=BIL=B·z0·Δx·j0·2y=2（B·z0·j0）y·Δx （1）

設(shè)流體微元左右壓力差為零，管壁側(cè)面壓力與流速垂直且相互平衡，則： F合=F安.

1. 分析角度一：流體動量變化

由動量定理得：F安·Δt=ΔP=m·Δv （2）

其中m=2ρyz0Δx （3）

將（1）（3）式代入（2）式得： = （4）

式中：ρ為海水密度，j0為電流密度；B為磁感應(yīng)強度；以上各量均為定值，a= .

因此，（4）式表明海水在推進(jìn)管中做勻加速直線運動的加速度.

2. 分析角度二：流體的連續(xù)性

設(shè)微元流體流過截面s1和s2的速度分別為v1和v2，所用時間為Δt.

由流體的連續(xù)性可得：ρs1v1Δt=ρs2v2Δt， 化簡得s1v1=s2v2，或2yz0v1=2y′z0v2，即yv1=y′v2

令：yv1=y′v2=k （5）k為定值，單位：m2/s.

3. 分析角度三：流體能量變化

由動能定理得：

W安=F安·Δs=2（B·z0·j0）y·Δx·Δs （6）

W安=ΔEk= m - m （7）

∵ =（v1+Δv）2= +2v1·Δv+（Δv）2

∴ΔEk= m（ - ）= m（2v1·Δv+（Δv）2）

因為流體微元運動時間極短，Δv遠(yuǎn)小于v，忽略高階小量（Δv）2后

ΔEk≈mv1·Δv=2ρyz0Δxv1·Δv （8）

（6）（8）式代入（7）式得： ·Δs=-

由幾何關(guān)系得：Δs=Δx，上式化為 · Δx=v1·Δv （9）

取y軸正向的曲線進(jìn)行分析：由（5）式可得v1Δv≈- ，該式代入（9）式得

· Δx=- （10）

由于以上運動在極短時間內(nèi)完成，（10）式可改寫為 dx=- dy （11）

兩邊同時積分，即： dx= - dy

·x= - （12）

式中： k為比例系數(shù)；y0為進(jìn)水口高度的一半，B、j0、ρ、k、y0均為定值.

（12）式為磁流體推進(jìn)管幾何形狀圖2所滿足的曲線方程，對照此式，可以確認(rèn)：推進(jìn)管沿海水流動方向的截面面積逐漸減小.

三、磁流體推進(jìn)管幾何形狀的進(jìn)一步討論

將（12）變形得： - = x （13）

用浙江卷理綜第25題提供的數(shù)據(jù)估算上式右邊項的值，即可得到推進(jìn)管出水口處的高度值，此值應(yīng)為整個磁流體推進(jìn)管高度的最小值.

由題意可得各參數(shù)值j0= = = = ×105A/m2，k=y0v0=0.15×30=4.5m2/s，B=6.4T，endprint

x=a=0.3m， x = ×0.3≈1.58m-2，

ymin=0.1474m，dmin=2ymin=0.2948m≈0.3m.

通過（12）式方程及上述參數(shù)計算，可得推進(jìn)管的管徑數(shù)值分布圖，如圖5所示.

由此可見，推進(jìn)器進(jìn)水口高度（最大值）和出水口高度（最小值）近似相等，整個推進(jìn)管的上、下管壁可近似為平行.

通過上述討論，可以得出的結(jié)論是：在特定的物理條件下，將超導(dǎo)磁流體推進(jìn)器幾何形狀近似為矩形管是一種科學(xué)的近似簡化.

四、困惑的形成與解釋

（4）式表明海水在推進(jìn)管中做勻加速直線運動，加速度a= ，推進(jìn)管內(nèi)流速分布應(yīng)滿足：v2= +2ax，代入相關(guān)數(shù)據(jù)：a= ≈53.3m/s2，v0=30m/s，x=0.3m，得：v=30.5m/s.

此數(shù)據(jù)與題中v=34m/s相差甚遠(yuǎn)，由此可以確定：題中所描述的推進(jìn)管內(nèi)流體完全有可能發(fā)生了湍流運動. 若事實果真如此，那么從加速效果推測：湍流運動應(yīng)相當(dāng)激烈，管壁對流體運動有強約束作用.在工程實踐中，對運動形式極為復(fù)雜的湍流，空間各點的流動描述不僅需要適用的湍流模型，必要時還需調(diào)用相應(yīng)的經(jīng)驗公式、半經(jīng)驗公式并調(diào)整控制參量.總之，湍流運動的連續(xù)性問題是不宜簡單套用穩(wěn)流運動連續(xù)性表達(dá)式s1v1=s2v2.

浙江理綜第25題出于方便計算海水的傳導(dǎo)電阻及相應(yīng)的熱功率考慮，采用了流體充滿推進(jìn)管的一維穩(wěn)態(tài)加速運動模型，袁張瑾[1]的證明也是在此模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而流體連續(xù)性問題屬流體的流動性問題，在理想流體條件下采納二維空間自由加速穩(wěn)流模型更為合理，如（12）式方程.如果用穩(wěn)流運動連續(xù)性表達(dá)式來分析湍流，也就是說，本題中將處理電學(xué)問題所用模型與處理流動問題所用模型相混淆，勢必形成文中所提的師生困惑.鑒于流動問題的高度復(fù)雜性，欲建立適合中學(xué)階段簡單又統(tǒng)包力、電問題的統(tǒng)一模型恐為難事，較為可行的做法是：類似于光的波粒二像性理論運用策略，根據(jù)問題的側(cè)重程度，分別選擇各自合適的物理模型.

參考文獻(xiàn)：

[1] 袁張瑾. 潛艇動力系統(tǒng)總功率的另兩種計算方法[J]. 物理教學(xué)，2013（7）：65-67.

[注1]：當(dāng)流體的黏滯性不考慮時，“空隙”區(qū)域內(nèi)不應(yīng)考慮流動流體的存在，在理想流體模型中，是沒有外力作用在此區(qū)域內(nèi)的流體上，也無法用實驗檢驗之.當(dāng)修正模型考慮流體的黏滯性后，“空隙”區(qū)域就是通常所說的邊界層，起始邊界層比較薄，隨后逐漸變厚，最后趨于穩(wěn)定.邊界層內(nèi)流體存在速度梯度，從管壁接觸處開始流速從零增加并過渡到邊界層，邊界層外速度則均勻分布.endprint

x=a=0.3m， x = ×0.3≈1.58m-2，

ymin=0.1474m，dmin=2ymin=0.2948m≈0.3m.

通過（12）式方程及上述參數(shù)計算，可得推進(jìn)管的管徑數(shù)值分布圖，如圖5所示.

由此可見，推進(jìn)器進(jìn)水口高度（最大值）和出水口高度（最小值）近似相等，整個推進(jìn)管的上、下管壁可近似為平行.

通過上述討論，可以得出的結(jié)論是：在特定的物理條件下，將超導(dǎo)磁流體推進(jìn)器幾何形狀近似為矩形管是一種科學(xué)的近似簡化.

四、困惑的形成與解釋

（4）式表明海水在推進(jìn)管中做勻加速直線運動，加速度a= ，推進(jìn)管內(nèi)流速分布應(yīng)滿足：v2= +2ax，代入相關(guān)數(shù)據(jù)：a= ≈53.3m/s2，v0=30m/s，x=0.3m，得：v=30.5m/s.

此數(shù)據(jù)與題中v=34m/s相差甚遠(yuǎn)，由此可以確定：題中所描述的推進(jìn)管內(nèi)流體完全有可能發(fā)生了湍流運動. 若事實果真如此，那么從加速效果推測：湍流運動應(yīng)相當(dāng)激烈，管壁對流體運動有強約束作用.在工程實踐中，對運動形式極為復(fù)雜的湍流，空間各點的流動描述不僅需要適用的湍流模型，必要時還需調(diào)用相應(yīng)的經(jīng)驗公式、半經(jīng)驗公式并調(diào)整控制參量.總之，湍流運動的連續(xù)性問題是不宜簡單套用穩(wěn)流運動連續(xù)性表達(dá)式s1v1=s2v2.

浙江理綜第25題出于方便計算海水的傳導(dǎo)電阻及相應(yīng)的熱功率考慮，采用了流體充滿推進(jìn)管的一維穩(wěn)態(tài)加速運動模型，袁張瑾[1]的證明也是在此模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而流體連續(xù)性問題屬流體的流動性問題，在理想流體條件下采納二維空間自由加速穩(wěn)流模型更為合理，如（12）式方程.如果用穩(wěn)流運動連續(xù)性表達(dá)式來分析湍流，也就是說，本題中將處理電學(xué)問題所用模型與處理流動問題所用模型相混淆，勢必形成文中所提的師生困惑.鑒于流動問題的高度復(fù)雜性，欲建立適合中學(xué)階段簡單又統(tǒng)包力、電問題的統(tǒng)一模型恐為難事，較為可行的做法是：類似于光的波粒二像性理論運用策略，根據(jù)問題的側(cè)重程度，分別選擇各自合適的物理模型.

參考文獻(xiàn)：

[1] 袁張瑾. 潛艇動力系統(tǒng)總功率的另兩種計算方法[J]. 物理教學(xué)，2013（7）：65-67.

[注1]：當(dāng)流體的黏滯性不考慮時，“空隙”區(qū)域內(nèi)不應(yīng)考慮流動流體的存在，在理想流體模型中，是沒有外力作用在此區(qū)域內(nèi)的流體上，也無法用實驗檢驗之.當(dāng)修正模型考慮流體的黏滯性后，“空隙”區(qū)域就是通常所說的邊界層，起始邊界層比較薄，隨后逐漸變厚，最后趨于穩(wěn)定.邊界層內(nèi)流體存在速度梯度，從管壁接觸處開始流速從零增加并過渡到邊界層，邊界層外速度則均勻分布.endprint

x=a=0.3m， x = ×0.3≈1.58m-2，

ymin=0.1474m，dmin=2ymin=0.2948m≈0.3m.

通過（12）式方程及上述參數(shù)計算，可得推進(jìn)管的管徑數(shù)值分布圖，如圖5所示.

由此可見，推進(jìn)器進(jìn)水口高度（最大值）和出水口高度（最小值）近似相等，整個推進(jìn)管的上、下管壁可近似為平行.

通過上述討論，可以得出的結(jié)論是：在特定的物理條件下，將超導(dǎo)磁流體推進(jìn)器幾何形狀近似為矩形管是一種科學(xué)的近似簡化.

四、困惑的形成與解釋

（4）式表明海水在推進(jìn)管中做勻加速直線運動，加速度a= ，推進(jìn)管內(nèi)流速分布應(yīng)滿足：v2= +2ax，代入相關(guān)數(shù)據(jù)：a= ≈53.3m/s2，v0=30m/s，x=0.3m，得：v=30.5m/s.

此數(shù)據(jù)與題中v=34m/s相差甚遠(yuǎn)，由此可以確定：題中所描述的推進(jìn)管內(nèi)流體完全有可能發(fā)生了湍流運動. 若事實果真如此，那么從加速效果推測：湍流運動應(yīng)相當(dāng)激烈，管壁對流體運動有強約束作用.在工程實踐中，對運動形式極為復(fù)雜的湍流，空間各點的流動描述不僅需要適用的湍流模型，必要時還需調(diào)用相應(yīng)的經(jīng)驗公式、半經(jīng)驗公式并調(diào)整控制參量.總之，湍流運動的連續(xù)性問題是不宜簡單套用穩(wěn)流運動連續(xù)性表達(dá)式s1v1=s2v2.

浙江理綜第25題出于方便計算海水的傳導(dǎo)電阻及相應(yīng)的熱功率考慮，采用了流體充滿推進(jìn)管的一維穩(wěn)態(tài)加速運動模型，袁張瑾[1]的證明也是在此模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而流體連續(xù)性問題屬流體的流動性問題，在理想流體條件下采納二維空間自由加速穩(wěn)流模型更為合理，如（12）式方程.如果用穩(wěn)流運動連續(xù)性表達(dá)式來分析湍流，也就是說，本題中將處理電學(xué)問題所用模型與處理流動問題所用模型相混淆，勢必形成文中所提的師生困惑.鑒于流動問題的高度復(fù)雜性，欲建立適合中學(xué)階段簡單又統(tǒng)包力、電問題的統(tǒng)一模型恐為難事，較為可行的做法是：類似于光的波粒二像性理論運用策略，根據(jù)問題的側(cè)重程度，分別選擇各自合適的物理模型.

參考文獻(xiàn)：

[1] 袁張瑾. 潛艇動力系統(tǒng)總功率的另兩種計算方法[J]. 物理教學(xué)，2013（7）：65-67.

[注1]：當(dāng)流體的黏滯性不考慮時，“空隙”區(qū)域內(nèi)不應(yīng)考慮流動流體的存在，在理想流體模型中，是沒有外力作用在此區(qū)域內(nèi)的流體上，也無法用實驗檢驗之.當(dāng)修正模型考慮流體的黏滯性后，“空隙”區(qū)域就是通常所說的邊界層，起始邊界層比較薄，隨后逐漸變厚，最后趨于穩(wěn)定.邊界層內(nèi)流體存在速度梯度，從管壁接觸處開始流速從零增加并過渡到邊界層，邊界層外速度則均勻分布.endprint