對高三數(shù)學(xué)試卷講評的幾點建議

顧靜華

高中數(shù)學(xué)試卷講評是教學(xué)過程的一個重要環(huán)節(jié)，每次訓(xùn)練、測試后，教師必然要上講評課. 但是目前的講評課不少教師不甚重視，所以筆者對本校師生做了基本的調(diào)查. 針對學(xué)生和教師分別編制了不同的調(diào)查問卷，并輔以個別訪談. 經(jīng)過整理和統(tǒng)計分析，目前試卷講評課存在如下的問題. 首先師生對試卷講評課的滿意度相差甚遠. 在對教師調(diào)查“您對自己目前的試卷講評課還滿意嗎？”一題的回答中，有78%教師是“滿意或非常滿意”. 而在“你對數(shù)學(xué)試卷講評課的總體感覺”一題的回答中，有60%的學(xué)生流露出了不太滿意的心態(tài). 其中15%學(xué)生認為試卷講評課“枯燥乏味”，15%學(xué)生認為“方法單一”，30%學(xué)生認為“氣氛沉悶”. 其次師生對試卷講評課的主體在理解上存在差距. 對于試卷講評課，需要的是教師講得多，還是學(xué)生探究勘誤得多？有50%教師是整節(jié)課在講解. 面對學(xué)生的調(diào)查中，只有不到25%學(xué)生選擇了“全部試題教師講評”，其余絕大部分學(xué)生都希望教師在講解重難點和分析共同錯誤后，能夠自由交流、探究，并完成錯題的更正. 在對教師的訪談中了解到造成差異主要有以下幾個原因：一是學(xué)生自學(xué)能力差，教師不講學(xué)生不會，很多教師明白，學(xué)生聽懂與自己會做是兩回事，就是放心不下. 二是教學(xué)任務(wù)重，時間不夠. 講課省去了學(xué)生思考的過程，那么學(xué)生學(xué)習(xí)的效果自然大打折扣. 三是部分教師不愿意嘗試新的教學(xué)方法. 我認為師生對試卷講評課的教育價值比較單一，教學(xué)是一種意向行為. 課堂教學(xué)目標的設(shè)計，教學(xué)內(nèi)容的取舍，教學(xué)行為的選擇都受到授課教師的價值取向的影響. 針對以上的現(xiàn)狀，筆者認為可以從以下幾方面入手，來取得講評課較好的教學(xué)效果.

一、析錯因

試卷講評的重要目的之一是幫助學(xué)生徹底糾正錯誤，彌補知識缺漏. 要達到此目的，就必須對一些典型錯誤認真剖析. 一線教師經(jīng)常感到困惑的是錯誤反復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象，其原因之一就是教師講評課前，對錯誤的原因分析不夠深入，不能對學(xué)生的錯誤進行糾錯. 所以對錯誤率較高的題目，教師要重點分析其出錯原因，必要時還可以找一些學(xué)生當面交流，以便教師掌握的情況更準確.

案例1 已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e），g（x）=■，其中e是自然對數(shù)的底，a∈R.

（1） 當a=1，求f（x）的單調(diào)性和極值.

（2） 求證：在（1）的條件下，f（x）>g（x）+■.

（3） 是否存在實數(shù)a∈R，使f（x）的最小值為3，如存在，求a；如不存在，說明理由.

本題是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常規(guī)題，在高三試卷中出現(xiàn)較多. 筆者將本題學(xué)生的失分原因分析總結(jié)如下：

（1） 基礎(chǔ)知識掌握不夠扎實，主要表現(xiàn)為（lnx）′=lnx，（■）′=■，主要原因是學(xué)生不求甚解的學(xué)習(xí)習(xí)慣使所學(xué)知識成為一種孤立的、靜態(tài)的、無序的狀態(tài).

（2） 忽略函數(shù)的定義域，一些同學(xué)第一問答案“函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）∪（1，+∞）上單調(diào)遞增”，表面上看是學(xué)生不小心忽視本題條件，實際是學(xué)生缺乏定義域意識，對函數(shù)的概念一知半解所引起的.

（3） 思維定勢束縛. 本題（2）是一道不等式的證明問題，大部分學(xué)生的試卷上都是這樣的答案：

設(shè)F（x）=f（x）-g（x）-■=x-lnx-■-■，x∈（0，e），則F′（x）=1-■-■=■，令F′（x）=1-■-■=■=0. 則x2-x-1+lnx=0. 很多學(xué)生到這一步不知道如何繼續(xù)了，因為上述超越方程在高中階段是無法求其精確解的，也就是無法求出函數(shù)在定義域的最小值. 分析上述失分原因，主要是因為在平時的教學(xué)中，對于這類題型，常常教學(xué)生設(shè)F（x）=f（x）-g（x），然后只要證明F（x）min>0即可，受上述解題思路影響，學(xué)生就給出上述解答.

（4） 數(shù)學(xué)思想的缺失，主要表現(xiàn)：①分類討論的思想. 學(xué)生進行分類討論時碰到最大的問題就是何時分類，如何分類. 從本題第（3）小題的學(xué)生答案看來，很多學(xué)生都能夠得到f′（x）=a-■=■，x∈（0，e），接下去有些同學(xué)直接令f′（x）=0，得到x=■. 這實際上已經(jīng)缺少a=0的討論，有些同學(xué)得到后，就無法列表討論求函數(shù)的最小值了.②數(shù)形結(jié)合的思想. 學(xué)生在整道題目的解答，都沒有想到用函數(shù)圖象來輔助解題. 如果在第（2）（3）小題能夠畫一個草圖的話，可以讓我們更容易找到解題思路. 特別是第（3）小題，如果能夠?qū)′（x）=a-■=■，x∈（0，e）轉(zhuǎn)化為y=ax-1的圖象，則分類討論會更加自然.

所以，教師在準備給學(xué)生上試卷講評課前，要提前分析學(xué)生題目錯誤的原因，對學(xué)生的錯誤要有全面的認識. 這樣才能更好地了解學(xué)生錯誤的根源，正確糾正學(xué)生的錯誤，不至于下次再犯類似的錯誤.

二、備方法

復(fù)習(xí)的目的還是為了最后一搏. 高考題千變?nèi)f化，似乎讓人應(yīng)接不暇，但沉下心來靜思，可循的規(guī)律還是很多的. 憑高三學(xué)生的能力，要他們獨立地，成功地完成方法規(guī)律的發(fā)現(xiàn)總結(jié)，還有一定的難度. 此時教師要適時指引，恰當點撥就能起到畫龍點睛的作用. 在備課中不能就題論題，而是要善于創(chuàng)設(shè)問題，將基礎(chǔ)問題變換發(fā)問角度或一題多問，設(shè)置相應(yīng)的問題鏈，通過引導(dǎo)審題，幫助學(xué)生找到規(guī)律. 學(xué)生一旦掌握了這些規(guī)律就會舉一反三，解題就會更快、更準.

案例2 已知x2+y2=1，求x+y的最大值.

解法1：因為（x+y）2=x2+y2+2xy≤2（x2+y2）=2，x+y≤■，所以x+y的最大值為■.

教師引導(dǎo)學(xué)生反思該問題是否還有其他解法，同學(xué)們通過反思，又得到以下解法：

解法2：條件x2+y2=1可看成是以原點為圓心，半徑為1的圓，問題轉(zhuǎn)化為求圓上動點的橫、縱坐標和的最大值. 因為x2+y2=1，設(shè)x=cosθ，y=sinθ，θ為參數(shù)，所以x+y=cosθ+sinθ=■sin（θ+■）≤■，所以x+y的最大值為■.endprint

解法3： 可設(shè)x+y=m，當且僅當直線l：x+y=m與圓相切時，x+y最大，由點到直線的距離公式得■=1，所以m=±■，所以x+y的最大值為■.

綜上所述，同一道題目，用不同的方法來解題，不但可以對題目本身有更深的了解，而且可以開闊師生的思路和視野，提高師生的思維深度.

三、常反思

《禮記》中說道：“雖有嘉肴，弗食，不知其旨也.雖有至道，弗學(xué)，不知其善也. 是故學(xué)然后知不足，教然后知困. 知不足，然后能自反也；知困，然后能自強也. 故曰：教學(xué)相長也.”只有不斷地反思，才能更善于發(fā)現(xiàn)問題的根源，才能更善于分析問題的本質(zhì)，才能更善于總結(jié)解決問題的經(jīng)驗，才能使自己的教學(xué)行為更有智慧和有效，也只有不斷地反思，才能讓自己永葆職業(yè)激情，遠離職業(yè)懈怠.

案例3 已知拋物線C：y=-x2+mx-1（m∈R），給定兩點A（3，0），B（0，3）. 若拋物線C與線段AB有且只有一個公共點，求m的取值范圍.

解：設(shè)拋物線C與線段AB的公共點為P，并設(shè)點P分線段AB所成的比為λ，則點P坐標為P（■，■），代入拋物線的方程得■=-（■）2+m■-1，即4λ2+（5-3m）λ+10-3m=0.

對λ的解進行討論：

①方程有兩個異號根，保證λ有一正根，交點在線段AB上.Δ=（5-3m）2-16（10-3m）>0，λ1λ2=■<0，解得m>■.

②方程有兩個相同的正根.

Δ=（5-3m）2-16（10-3m）=0，λ1λ2=■>0，λ1+λ2=-■>0，？圳m=3，m=-5，m<■，m>■，？圳m=3.

③方程有一個零根. 則10-3m=0，即拋物線C與線段AB交于A點. 但另一根λ=■>0，不滿足刪去.

所以，滿足拋物線與線段AB有且只有一個公共點的范圍■ m=3或m>■.

教師意識到這種方法比較煩瑣，函數(shù)本身就有參數(shù)m，再引入變量λ，從而使問題更加復(fù)雜. 如何解題更加簡潔？教師經(jīng)過反思，一個思路慢慢形成，即變量分離.

記拋物線C與線段AB的公共點為P（x，y），x+y=3，y=-x2+mx-1消去y，得到x2-（m+1）x+4=0，m=x+■-1， x∈（0，3]圖象，如圖1：

當m=3或m>■時，拋物線C與線段AB有1個交點.

當3■.

綜上所述，教師平時在解題中往往存在思維定勢，在試卷講評課中會不顧學(xué)生的思路，把自己的解法強加給學(xué)生，缺乏有效的溝通. 有時適時反思一下自己的解題思路和方法，會發(fā)現(xiàn)一種更加有效的方法，學(xué)生的解題中也會發(fā)現(xiàn)優(yōu)于教師的方法.

筆者針對本校高三數(shù)學(xué)試卷講評課的現(xiàn)狀做了基本的調(diào)查研究. 經(jīng)過整理歸納，分別羅列以上. 通過教師合理、有效地改變教學(xué)方法，與學(xué)生更多地展開討論和交流，以期達到更加和諧的課堂教學(xué)效果，提高試卷講評的質(zhì)量，為高效教學(xué)打下基礎(chǔ). ■

解法3： 可設(shè)x+y=m，當且僅當直線l：x+y=m與圓相切時，x+y最大，由點到直線的距離公式得■=1，所以m=±■，所以x+y的最大值為■.

綜上所述，同一道題目，用不同的方法來解題，不但可以對題目本身有更深的了解，而且可以開闊師生的思路和視野，提高師生的思維深度.

三、常反思

《禮記》中說道：“雖有嘉肴，弗食，不知其旨也.雖有至道，弗學(xué)，不知其善也. 是故學(xué)然后知不足，教然后知困. 知不足，然后能自反也；知困，然后能自強也. 故曰：教學(xué)相長也.”只有不斷地反思，才能更善于發(fā)現(xiàn)問題的根源，才能更善于分析問題的本質(zhì)，才能更善于總結(jié)解決問題的經(jīng)驗，才能使自己的教學(xué)行為更有智慧和有效，也只有不斷地反思，才能讓自己永葆職業(yè)激情，遠離職業(yè)懈怠.

案例3 已知拋物線C：y=-x2+mx-1（m∈R），給定兩點A（3，0），B（0，3）. 若拋物線C與線段AB有且只有一個公共點，求m的取值范圍.

解：設(shè)拋物線C與線段AB的公共點為P，并設(shè)點P分線段AB所成的比為λ，則點P坐標為P（■，■），代入拋物線的方程得■=-（■）2+m■-1，即4λ2+（5-3m）λ+10-3m=0.

對λ的解進行討論：

①方程有兩個異號根，保證λ有一正根，交點在線段AB上.Δ=（5-3m）2-16（10-3m）>0，λ1λ2=■<0，解得m>■.

②方程有兩個相同的正根.

Δ=（5-3m）2-16（10-3m）=0，λ1λ2=■>0，λ1+λ2=-■>0，？圳m=3，m=-5，m<■，m>■，？圳m=3.

③方程有一個零根. 則10-3m=0，即拋物線C與線段AB交于A點. 但另一根λ=■>0，不滿足刪去.

所以，滿足拋物線與線段AB有且只有一個公共點的范圍■ m=3或m>■.

教師意識到這種方法比較煩瑣，函數(shù)本身就有參數(shù)m，再引入變量λ，從而使問題更加復(fù)雜. 如何解題更加簡潔？教師經(jīng)過反思，一個思路慢慢形成，即變量分離.

記拋物線C與線段AB的公共點為P（x，y），x+y=3，y=-x2+mx-1消去y，得到x2-（m+1）x+4=0，m=x+■-1， x∈（0，3]圖象，如圖1：

當m=3或m>■時，拋物線C與線段AB有1個交點.

當3■.

綜上所述，教師平時在解題中往往存在思維定勢，在試卷講評課中會不顧學(xué)生的思路，把自己的解法強加給學(xué)生，缺乏有效的溝通. 有時適時反思一下自己的解題思路和方法，會發(fā)現(xiàn)一種更加有效的方法，學(xué)生的解題中也會發(fā)現(xiàn)優(yōu)于教師的方法.

筆者針對本校高三數(shù)學(xué)試卷講評課的現(xiàn)狀做了基本的調(diào)查研究. 經(jīng)過整理歸納，分別羅列以上. 通過教師合理、有效地改變教學(xué)方法，與學(xué)生更多地展開討論和交流，以期達到更加和諧的課堂教學(xué)效果，提高試卷講評的質(zhì)量，為高效教學(xué)打下基礎(chǔ). ■

解法3： 可設(shè)x+y=m，當且僅當直線l：x+y=m與圓相切時，x+y最大，由點到直線的距離公式得■=1，所以m=±■，所以x+y的最大值為■.

綜上所述，同一道題目，用不同的方法來解題，不但可以對題目本身有更深的了解，而且可以開闊師生的思路和視野，提高師生的思維深度.

三、常反思

《禮記》中說道：“雖有嘉肴，弗食，不知其旨也.雖有至道，弗學(xué)，不知其善也. 是故學(xué)然后知不足，教然后知困. 知不足，然后能自反也；知困，然后能自強也. 故曰：教學(xué)相長也.”只有不斷地反思，才能更善于發(fā)現(xiàn)問題的根源，才能更善于分析問題的本質(zhì)，才能更善于總結(jié)解決問題的經(jīng)驗，才能使自己的教學(xué)行為更有智慧和有效，也只有不斷地反思，才能讓自己永葆職業(yè)激情，遠離職業(yè)懈怠.

案例3 已知拋物線C：y=-x2+mx-1（m∈R），給定兩點A（3，0），B（0，3）. 若拋物線C與線段AB有且只有一個公共點，求m的取值范圍.

解：設(shè)拋物線C與線段AB的公共點為P，并設(shè)點P分線段AB所成的比為λ，則點P坐標為P（■，■），代入拋物線的方程得■=-（■）2+m■-1，即4λ2+（5-3m）λ+10-3m=0.

對λ的解進行討論：

①方程有兩個異號根，保證λ有一正根，交點在線段AB上.Δ=（5-3m）2-16（10-3m）>0，λ1λ2=■<0，解得m>■.

②方程有兩個相同的正根.

Δ=（5-3m）2-16（10-3m）=0，λ1λ2=■>0，λ1+λ2=-■>0，？圳m=3，m=-5，m<■，m>■，？圳m=3.

③方程有一個零根. 則10-3m=0，即拋物線C與線段AB交于A點. 但另一根λ=■>0，不滿足刪去.

所以，滿足拋物線與線段AB有且只有一個公共點的范圍■ m=3或m>■.

教師意識到這種方法比較煩瑣，函數(shù)本身就有參數(shù)m，再引入變量λ，從而使問題更加復(fù)雜. 如何解題更加簡潔？教師經(jīng)過反思，一個思路慢慢形成，即變量分離.

記拋物線C與線段AB的公共點為P（x，y），x+y=3，y=-x2+mx-1消去y，得到x2-（m+1）x+4=0，m=x+■-1， x∈（0，3]圖象，如圖1：

當m=3或m>■時，拋物線C與線段AB有1個交點.

當3■.

綜上所述，教師平時在解題中往往存在思維定勢，在試卷講評課中會不顧學(xué)生的思路，把自己的解法強加給學(xué)生，缺乏有效的溝通. 有時適時反思一下自己的解題思路和方法，會發(fā)現(xiàn)一種更加有效的方法，學(xué)生的解題中也會發(fā)現(xiàn)優(yōu)于教師的方法.

筆者針對本校高三數(shù)學(xué)試卷講評課的現(xiàn)狀做了基本的調(diào)查研究. 經(jīng)過整理歸納，分別羅列以上. 通過教師合理、有效地改變教學(xué)方法，與學(xué)生更多地展開討論和交流，以期達到更加和諧的課堂教學(xué)效果，提高試卷講評的質(zhì)量，為高效教學(xué)打下基礎(chǔ). ■