提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的策略

李金興

高三學(xué)生學(xué)得辛苦，他們訂閱大量復(fù)習(xí)資料，不知疲倦地聽題、讀題、解題，但很多考生高考時(shí)卻“發(fā)揮失?！?，名落孫山. 究其原因，是這種依靠“題海戰(zhàn)術(shù)” 的復(fù)習(xí)方式方法過于落后，不適應(yīng)現(xiàn)階段高考“能力立意”的要求. 具體表現(xiàn)為“基礎(chǔ)不實(shí)、徒勞無功；能力不強(qiáng)、難取高分；不善反思、事倍功半”.為了實(shí)現(xiàn)“輕負(fù)高質(zhì)”，筆者根據(jù)自己多年教學(xué)經(jīng)歷，歸納出“基礎(chǔ)要整合、能力靠探究、反思提效率”的復(fù)習(xí)策略，并在歷屆高三復(fù)習(xí)實(shí)踐中取得了較好成效. 本文介紹這些策略的實(shí)施方法，以此拋磚引玉.

一、教會(huì)學(xué)生整合基礎(chǔ)的方法

任何知識(shí)都不是片段、孤立存在著的，它既有生活實(shí)踐為基礎(chǔ)，同時(shí)也與其他知識(shí)相關(guān)聯(lián)，結(jié)構(gòu)化的知識(shí)是基礎(chǔ)知識(shí)存在的主要形態(tài). 所謂整合基礎(chǔ)，即通過結(jié)構(gòu)化整理使知識(shí)形成整體.

1. 回歸課本，重溫核心概念的形成、發(fā)展和獲得過程

回歸課本不是簡(jiǎn)單地再翻看一遍教材，而是以各章節(jié)的“核心概念、主干知識(shí)”為紐帶，以“問題串”的形式，重新梳理數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、提煉思想方法、提高綜合應(yīng)用能力. 比如圍繞橢圓概念，可梳理如下：

（1）橢圓的概念如何表述？平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓；這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).

（2）為進(jìn)一步研究橢圓，課本采取什么措施？合理建立坐標(biāo)系，獲得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（■+■=1或Ax2+By2=1）.

（3）除了標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓方程還有其他形式嗎？

■+■=2a；■=■=e；x=acosθ，y=bsinθ，（θ為參數(shù)）也都表示橢圓.

（4）在不同的幾何情景中你能使用橢圓概念嗎？如人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（選修2-1）》第49頁(yè)A組第7題： 圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP所在的直線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

再如將該教科書第80頁(yè)A組題3適當(dāng)改編后得到下例： 圓F1：（x+2）2+y2=36，F(xiàn)2：（x-2）2+y2=1，動(dòng)圓C內(nèi)切于定圓F1、又與定圓F2外切，求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程.

又如，用“雙球證明”能說明為何平面截圓錐或圓柱側(cè)面也能得到橢圓.

課本對(duì)概念的形成、發(fā)展過程有很好的設(shè)計(jì)，重溫這一過程比單純解題訓(xùn)練更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更能加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握程度.

2. 縱向聯(lián)系，尋找貫穿章節(jié)內(nèi)容的知識(shí)主線

有時(shí)候?qū)W生對(duì)問題無從下手，但稍加提示便恍然大悟. 究其原因，是解題時(shí)缺乏有效的線索. 每個(gè)章節(jié)的內(nèi)容都由若干知識(shí)主線串成一個(gè)整體，這些知識(shí)主線能夠提供解題線索.

例如針對(duì)課題“向量的運(yùn)算”，筆者設(shè)計(jì)以下四條知識(shí)主線.

主線1：恰當(dāng)?shù)睾铣上蛄炕蚍纸庀蛄浚?/p>

主線2：坐標(biāo)使向量運(yùn)算代數(shù)化且更具操作性；

主線3：關(guān)注向量運(yùn)算的幾何意義、領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想方法；

主線4：靈活選擇坐標(biāo)法或數(shù)量積定義作數(shù)量積運(yùn)算.

并針對(duì)性地選擇問題串（盡量引用高考題）來幫助學(xué)生理解落實(shí). 如：

（1）設(shè)A1，A2，A3，A4是平面上給定的4個(gè)不同點(diǎn)，則使■+■+■+■=0成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

（2）已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC

=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則■+3■的最小值為__________.

（3）若a，b，c均為單位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，則 a+b-c的最大值為（ ）

（A）■-1 （B）1 （C） ■ （D）2

（4）若點(diǎn)O和點(diǎn)F（-2，0）分別是雙曲線■-y2=1（a>0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則■·■的取值范圍為（ ）

（A）[3-2■，+∞） （B）[3-2■，+∞）

（C）[-■，+∞） （D） [■，+∞）

（5）已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點(diǎn)，那么■·■的最小值為（ ）

（A）-4+■ （B） -3+■

（C）-4+2■ （D） -3+2■

（6）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量■和■，它們的夾角為120°. 如圖1所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧 ■上變動(dòng). 若■=x■+y■，其中x，y∈R則x+y的最大值是________.

前三題分別對(duì)應(yīng)前三條主線，而第（4）（5）（6）題對(duì)應(yīng)第四條主線. 教師引導(dǎo)學(xué)生盡可能尋找既貫穿章節(jié)內(nèi)容、覆蓋面又較完整的知識(shí)主線，從而有效提高解題應(yīng)變能力.

3. 研究高考考綱，有的放矢地整合基礎(chǔ)

研究考綱是高考復(fù)習(xí)必要的環(huán)節(jié). 教師應(yīng)以具體生動(dòng)的示例來詮釋考綱，從而引導(dǎo)學(xué)生深入領(lǐng)會(huì)考綱精神. 例如，考綱要求考生“善于借助長(zhǎng)方體模型直觀感知、操作確認(rèn)，乃至論證計(jì)算”. 可歸納下列題型具體說明：

（1）借助長(zhǎng)方體模型，直觀判斷空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系. （例子略）

（2）利用長(zhǎng)方體三組面對(duì)角線分別相等的特性.

例 一個(gè)四面體棱長(zhǎng)均為■，四點(diǎn)在同一球面上，則球面面積S= .

分析：等同于求邊長(zhǎng)為1的正方體的外接球面積，所以直徑為■，S=3π.

（3）利用長(zhǎng)方體共點(diǎn)的三條棱（三個(gè)面）兩兩垂直的特性.

例 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為■，則其外接球的表面積是 .

（4）構(gòu)造長(zhǎng)方體解決三視圖問題.

例 某幾何體的一條棱長(zhǎng)為■，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為■的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則a+b的最大值為（ ）endprint

（A）2■ （B）2■ （C）4 （D）2■

（5）以長(zhǎng)（正）方體為載體建立空間直角坐標(biāo)系來論證、計(jì)算.

例 到兩條互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（ ）

（A） 直線 （B） 橢圓 （C） 拋物線 （D） 雙曲線

基礎(chǔ)知識(shí)不等于簡(jiǎn)單知識(shí). 只有將基礎(chǔ)打扎實(shí)了，才能以不變應(yīng)萬變. 結(jié)構(gòu)化的知識(shí)是能力形成的基礎(chǔ)，整合后的基礎(chǔ)知識(shí)具有較強(qiáng)的粘合力、較嚴(yán)密的邏輯性、較豐富的關(guān)聯(lián)度，可以較好地為知識(shí)的靈活運(yùn)用服務(wù). 因此，基礎(chǔ)的整合水平直接影響到學(xué)生綜合運(yùn)用的能力.

二、培養(yǎng)學(xué)生自主探究的意識(shí)

高考逐步由知識(shí)測(cè)量型向能力測(cè)量型轉(zhuǎn)變，更加注重考查繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能、基礎(chǔ)文化素質(zhì)和創(chuàng)新能力. 近年高考命題，也經(jīng)歷了由“經(jīng)驗(yàn)型命題方式”向“科研型命題方式”的轉(zhuǎn)化. 高三復(fù)習(xí)也要由“經(jīng)驗(yàn)型復(fù)習(xí)方式”向“科研型復(fù)習(xí)方式”轉(zhuǎn)化.

能力的內(nèi)涵非常豐富，知識(shí)技能的獲得并不等于能力的形成、發(fā)展. 南京師范大學(xué)的鄭君文、張恩華教授歸納了形成和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的四條基本途徑：（1）注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，（2）重視一般科學(xué)思想方法的訓(xùn)練，（3）知識(shí)的精練與其應(yīng)用相結(jié)合，（4）發(fā)展良好的個(gè)性品質(zhì). 本文中提到的“能力靠探究”特指：為應(yīng)對(duì)能力立意的數(shù)學(xué)高考題，切實(shí)提高學(xué)生解決新穎問題的能力，在高三復(fù)習(xí)階段堅(jiān)持學(xué)生自主探究（一般科學(xué)思想方法的訓(xùn)練）是一項(xiàng)有效可行的做法.

1. 挖掘探究素材，培養(yǎng)學(xué)生自主探究意識(shí)

“探究”在高中數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)成為一種編排結(jié)構(gòu). 除了教材中的“思考”和“探究”，教師應(yīng)從書本知識(shí)入手，鼓勵(lì)學(xué)生多想、多問. 如“等差數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn=■”，反之，“若數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn=■，那么它一定是等差數(shù)列嗎？”從逆命題角度問一問，便是一道高考題. 又如， 2010年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第20題“設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項(xiàng)都不為0. 證明：an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何n∈N，都有■+■+…+■=■”. 這些問題都是依靠逆向思維做探究.

除了逆向提問，深入挖掘問題背景也是探究的有效方式. 如選修2-1 第50頁(yè)B組：如圖2，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，R′，S′，T′是線段CF的四等分點(diǎn). 請(qǐng)證明直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點(diǎn)L，M，N都在橢圓■+■=1上.

本題的背景是圓錐曲線在矩形中的統(tǒng)一. 問題可推廣為：“矩形ABCD中，AB=2a，BC=2b，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，設(shè)Pk（k=1，2，…，n-1）是線段OF的n等分點(diǎn)，Qk（k=1，2，…，n-1）是線段CF的n等分點(diǎn)，直線EPk和GQk交于點(diǎn)Mk（k=1，2，…，n-1），求證：點(diǎn)Mk（k=1，2，…，n-1）都在橢圓■+■=1上.” （證明略）

2. 通過變式題組，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力

張奠宙先生在“建設(shè)中國(guó)特色的數(shù)學(xué)教育理論”一文中指出“變式練習(xí)是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的一個(gè)創(chuàng)造”，并強(qiáng)調(diào)重復(fù)需要變式；張教授還提到“實(shí)行有效的嘗試教學(xué)”也是中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的一大特征，嘗試教學(xué)還可延伸為“探究，發(fā)現(xiàn)”. 在習(xí)題教學(xué)中，教師可設(shè)計(jì)題組讓學(xué)生變式演練，鼓勵(lì)學(xué)生積極觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)、探索適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，并給出解釋或證明，即進(jìn)行數(shù)學(xué)探究以發(fā)展能力.

例 某種鮮花進(jìn)價(jià)每束2.5元，售價(jià)每束5元，若賣不出，則以每束1.6元的價(jià)格處理掉. 某節(jié)日需求量X（單位：束）的分布列為

若進(jìn)鮮花500束，求利潤(rùn)Y的均值.

解：E（X）=340，而Y=3.4X-450，所以E（Y）=3.4×340-450=706.

提出新問題（1）：若進(jìn)鮮花400束，求利潤(rùn)Y的均值.

略解：設(shè)銷售量S（單位：束），則E（S）=325，而Y=3.4Z-360，所以E（Y）=3.4×325-360=745.

反思：可能出現(xiàn)供不應(yīng)求的局面，所以重新設(shè)置變量S.

提出新問題（2）：因?yàn)镋（X）=340，店家是否進(jìn)340束花獲利的均值最大？

略解：此時(shí)E（Y）=3.4×298-306=707.2，因?yàn)?07.2<745，所以進(jìn)340束花獲利的均值不是最大.

反思：概率統(tǒng)計(jì)所反映的事實(shí)與直觀判斷并不吻合.

提出新問題（3）：進(jìn)多少束花可使獲利的均值最大？

略解：設(shè)進(jìn)n（n≤500）束花，則

E（Y）=2.5n（n≤200），1.82n+136（200

易知n=400時(shí)，E（Y）取最大值745.

如何變式編題近年有不少教師都做了深入研究. 通過變式，對(duì)知識(shí)換個(gè)角度加以呈現(xiàn)和組合，有助于發(fā)展學(xué)生分析問題、轉(zhuǎn)化問題的能力；變式演練更大的作用是在潛移默化中鼓勵(lì)學(xué)生提出新問題，探究新知識(shí)，從而切實(shí)提高應(yīng)對(duì)高考“能力立意”新題的能力，為獲取高分提供了可能. 學(xué)生的天生潛質(zhì)是不可改變的，但具體的能力是可以培養(yǎng)、引導(dǎo)發(fā)掘的.

三、提高學(xué)生反思的實(shí)效

在學(xué)習(xí)過程中或?qū)W習(xí)后的反思，往往起到事半功倍的效果，其重要性不言而喻. 那么，反思什么？如何反思呢？波利亞將解題后的反思用系列問題的方式給出，如“你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？你能用不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？你能應(yīng)用這個(gè)結(jié)果嗎？你能從已知數(shù)據(jù)中得出有用的東西嗎？你能重新敘述這道題目嗎？你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？……” 同樣高三復(fù)習(xí)中，在解題訓(xùn)練后反思一題多解、挖掘習(xí)題蘊(yùn)含的教育功能、反思造成一錯(cuò)再錯(cuò)的根本原因等都是提高反思實(shí)效的策略.

1. 反思習(xí)題蘊(yùn)含的教育功能

例 集合{1，-3，5，-7，9，-11，…}用描述法可表示為_____________.

解法1：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={■=（-1）k+1·（2k-1），k∈N*}；

解法2：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={…，-11，-7，-3，1，5，9，…}={■=4k+1，k∈Z}

分析：本題通過一題多解展示了“集合元素?zé)o序性”這一概念的核心. 如果只采用解法1，是無法領(lǐng)會(huì)其中妙處的，也不能充分發(fā)揮該題的教育功能.

2. 反思錯(cuò)解的成因，避免一錯(cuò)再錯(cuò)

錯(cuò)誤解法如果得不到根本性的糾正，將一犯再犯. 例如，“求y=x2+■，（x>0）的最小值. ”不少學(xué)生做出如下錯(cuò)誤解答“因?yàn)閤2+■≥2■，當(dāng)x2=■即x=■時(shí)等號(hào)成立，所以y=x2+■的最小值為2■”，并且在改變情景后經(jīng)常犯類似錯(cuò)誤. 針對(duì)這種現(xiàn)象，教師可以從正反兩面引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤成因：

（1）從反例來辨別

先仿此做法，舉出一例：“對(duì)于函數(shù)y=x2+1（x>0），因?yàn)閤>0時(shí)，x2+1≥2x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，所以x=1時(shí)ymin=2.” 這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的. （明確展示這種做法是錯(cuò)誤的. ）

（2）分析反例錯(cuò)因

在同一坐標(biāo)系中比較y=x2+1（x>0）和y=2x的圖象，可知“x2+1≥2x”只說明y=x2+1（x>0）的圖象始終在y=2x圖象的上方，“當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立”只說明兩圖象相切于點(diǎn)x=1處，切點(diǎn)并非圖象的最低點(diǎn)（如圖3），y=2也并非函數(shù)y=x2+1（x>0）的最小值.

（3）反思錯(cuò)解成因

再借助幾何畫板在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x2+■和函數(shù)y=2■的圖象（如圖4）. 類似的分析如下：x>0時(shí)x2+■≥2■恒成立只說明函數(shù)y=x2+■，（x>0）的圖象恒在函數(shù)y=2■圖象的上方；x=■時(shí)x2+■=2■只反映了點(diǎn)P（■，2■）恰是函數(shù)y=x2+■，（x>0）和函數(shù)y=2■圖象的切點(diǎn). 從圖中可看出點(diǎn)P（■，2■）并非函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，所以2■并不是最小值.

教師以更高的視角幫助學(xué)生進(jìn)行反思，那么便能提高學(xué)生學(xué)后反思的實(shí)效. 當(dāng)然，解題教學(xué)不是高三復(fù)習(xí)唯一的方式，因此，除了解題后反思外，學(xué)生也應(yīng)對(duì)自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)、探究策略、合作手段等進(jìn)行反思.

四、結(jié)語

教無定法，教有定律. 讓學(xué)生跳出“題?！鲍@得更好的發(fā)展是教師的教學(xué)追求. 有效的教學(xué)不僅是幫助學(xué)生獲得高考高分，數(shù)學(xué)的教育價(jià)值也不限于數(shù)學(xué)學(xué)科. 高三復(fù)習(xí)是一項(xiàng)教師集體行為， “輕負(fù)高質(zhì)”也要求在提高教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)減輕教師的工作負(fù)擔(dān)，讓教師個(gè)人更好地發(fā)展. ■endprint

1. 反思習(xí)題蘊(yùn)含的教育功能

例 集合{1，-3，5，-7，9，-11，…}用描述法可表示為_____________.

解法1：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={■=（-1）k+1·（2k-1），k∈N*}；

解法2：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={…，-11，-7，-3，1，5，9，…}={■=4k+1，k∈Z}

分析：本題通過一題多解展示了“集合元素?zé)o序性”這一概念的核心. 如果只采用解法1，是無法領(lǐng)會(huì)其中妙處的，也不能充分發(fā)揮該題的教育功能.

2. 反思錯(cuò)解的成因，避免一錯(cuò)再錯(cuò)

錯(cuò)誤解法如果得不到根本性的糾正，將一犯再犯. 例如，“求y=x2+■，（x>0）的最小值. ”不少學(xué)生做出如下錯(cuò)誤解答“因?yàn)閤2+■≥2■，當(dāng)x2=■即x=■時(shí)等號(hào)成立，所以y=x2+■的最小值為2■”，并且在改變情景后經(jīng)常犯類似錯(cuò)誤. 針對(duì)這種現(xiàn)象，教師可以從正反兩面引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤成因：

（1）從反例來辨別

先仿此做法，舉出一例：“對(duì)于函數(shù)y=x2+1（x>0），因?yàn)閤>0時(shí)，x2+1≥2x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，所以x=1時(shí)ymin=2.” 這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的. （明確展示這種做法是錯(cuò)誤的. ）

（2）分析反例錯(cuò)因

在同一坐標(biāo)系中比較y=x2+1（x>0）和y=2x的圖象，可知“x2+1≥2x”只說明y=x2+1（x>0）的圖象始終在y=2x圖象的上方，“當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立”只說明兩圖象相切于點(diǎn)x=1處，切點(diǎn)并非圖象的最低點(diǎn)（如圖3），y=2也并非函數(shù)y=x2+1（x>0）的最小值.

（3）反思錯(cuò)解成因

再借助幾何畫板在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x2+■和函數(shù)y=2■的圖象（如圖4）. 類似的分析如下：x>0時(shí)x2+■≥2■恒成立只說明函數(shù)y=x2+■，（x>0）的圖象恒在函數(shù)y=2■圖象的上方；x=■時(shí)x2+■=2■只反映了點(diǎn)P（■，2■）恰是函數(shù)y=x2+■，（x>0）和函數(shù)y=2■圖象的切點(diǎn). 從圖中可看出點(diǎn)P（■，2■）并非函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，所以2■并不是最小值.

教師以更高的視角幫助學(xué)生進(jìn)行反思，那么便能提高學(xué)生學(xué)后反思的實(shí)效. 當(dāng)然，解題教學(xué)不是高三復(fù)習(xí)唯一的方式，因此，除了解題后反思外，學(xué)生也應(yīng)對(duì)自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)、探究策略、合作手段等進(jìn)行反思.

四、結(jié)語

教無定法，教有定律. 讓學(xué)生跳出“題海”獲得更好的發(fā)展是教師的教學(xué)追求. 有效的教學(xué)不僅是幫助學(xué)生獲得高考高分，數(shù)學(xué)的教育價(jià)值也不限于數(shù)學(xué)學(xué)科. 高三復(fù)習(xí)是一項(xiàng)教師集體行為， “輕負(fù)高質(zhì)”也要求在提高教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)減輕教師的工作負(fù)擔(dān)，讓教師個(gè)人更好地發(fā)展. ■endprint

1. 反思習(xí)題蘊(yùn)含的教育功能

例 集合{1，-3，5，-7，9，-11，…}用描述法可表示為_____________.

解法1：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={■=（-1）k+1·（2k-1），k∈N*}；

解法2：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={…，-11，-7，-3，1，5，9，…}={■=4k+1，k∈Z}

分析：本題通過一題多解展示了“集合元素?zé)o序性”這一概念的核心. 如果只采用解法1，是無法領(lǐng)會(huì)其中妙處的，也不能充分發(fā)揮該題的教育功能.

2. 反思錯(cuò)解的成因，避免一錯(cuò)再錯(cuò)

錯(cuò)誤解法如果得不到根本性的糾正，將一犯再犯. 例如，“求y=x2+■，（x>0）的最小值. ”不少學(xué)生做出如下錯(cuò)誤解答“因?yàn)閤2+■≥2■，當(dāng)x2=■即x=■時(shí)等號(hào)成立，所以y=x2+■的最小值為2■”，并且在改變情景后經(jīng)常犯類似錯(cuò)誤. 針對(duì)這種現(xiàn)象，教師可以從正反兩面引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤成因：

（1）從反例來辨別

先仿此做法，舉出一例：“對(duì)于函數(shù)y=x2+1（x>0），因?yàn)閤>0時(shí)，x2+1≥2x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，所以x=1時(shí)ymin=2.” 這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的. （明確展示這種做法是錯(cuò)誤的. ）

（2）分析反例錯(cuò)因

在同一坐標(biāo)系中比較y=x2+1（x>0）和y=2x的圖象，可知“x2+1≥2x”只說明y=x2+1（x>0）的圖象始終在y=2x圖象的上方，“當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立”只說明兩圖象相切于點(diǎn)x=1處，切點(diǎn)并非圖象的最低點(diǎn)（如圖3），y=2也并非函數(shù)y=x2+1（x>0）的最小值.

（3）反思錯(cuò)解成因

再借助幾何畫板在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x2+■和函數(shù)y=2■的圖象（如圖4）. 類似的分析如下：x>0時(shí)x2+■≥2■恒成立只說明函數(shù)y=x2+■，（x>0）的圖象恒在函數(shù)y=2■圖象的上方；x=■時(shí)x2+■=2■只反映了點(diǎn)P（■，2■）恰是函數(shù)y=x2+■，（x>0）和函數(shù)y=2■圖象的切點(diǎn). 從圖中可看出點(diǎn)P（■，2■）并非函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，所以2■并不是最小值.

教師以更高的視角幫助學(xué)生進(jìn)行反思，那么便能提高學(xué)生學(xué)后反思的實(shí)效. 當(dāng)然，解題教學(xué)不是高三復(fù)習(xí)唯一的方式，因此，除了解題后反思外，學(xué)生也應(yīng)對(duì)自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)、探究策略、合作手段等進(jìn)行反思.

四、結(jié)語

教無定法，教有定律. 讓學(xué)生跳出“題海”獲得更好的發(fā)展是教師的教學(xué)追求. 有效的教學(xué)不僅是幫助學(xué)生獲得高考高分，數(shù)學(xué)的教育價(jià)值也不限于數(shù)學(xué)學(xué)科. 高三復(fù)習(xí)是一項(xiàng)教師集體行為， “輕負(fù)高質(zhì)”也要求在提高教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)減輕教師的工作負(fù)擔(dān)，讓教師個(gè)人更好地發(fā)展. ■endprint