數(shù)學(xué)解題應(yīng)體現(xiàn)自然之“真”

作者簡介：王婷（1988-），女，漢族，新疆，新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀研究生二年級，課程與教學(xué)論專業(yè)，中學(xué)數(shù)學(xué)教育方向。

自然界是兼具真、善、美三方面的，“真”也就是老子思想中的“道法自然”[1]，即事物本來的樣子，比如“東施效顰”這個(gè)典故。把這種思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)解題中，也就是從題目本意出發(fā)，抓住問題的本質(zhì)，既不夸張賣弄，也非未到火候，自然而然地解決問題。

1.掌握通法——是“真”

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，前、后知識之間具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，不僅如此，所用的解題方法與解題思想也有相通之處。這就為我們解題帶來了極大的方便，知識間的融會貫通也就更加自然，每一個(gè)步驟是如何聯(lián)想到的，為什么用這種方法，也就都有了合乎情理的解釋，學(xué)習(xí)者對學(xué)科知識的掌握也就會越來越系統(tǒng)。所以，數(shù)學(xué)解題應(yīng)注意通性通法的使用。通法也就是通用的方法，它具有普遍適用性的特點(diǎn)。例如《抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)—用極限方法求漸近線》[2]一文，就是從漸近線的定義出發(fā)，即當(dāng)曲線上的點(diǎn)P（x，f（x））沿曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到漸近線方程y=kx+b的距離d無限趨近于0，得到漸近線方程的斜率k=lim〖DD（X〗x→∝〖DD）〗〖SX（〗f（x）〖〗x〖SX）〗及截距b=lim〖DD（X〗x→∝〖DD）〗（f（x）-kx）的表達(dá)式，從而得出漸近線方程的普適性的求解方法。這種方法從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，從極限的角度探究了漸近線方程的求解過程，思路自然流暢，回歸到定義這一最根源的維度，不僅加深了對漸近線定義的認(rèn)識還方便理解與記憶，大大降低了解題的難度，最重要的是這種方法具有廣泛的適用性，使得題目就變得自然、簡單、有規(guī)律可循了。

另外，通法的使用，一定要找到題目的“源”與“流”之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)與相似之處，理解題源的本質(zhì)內(nèi)容與體現(xiàn)的思想，只有這樣，才能自如地將方法得到普及，真正做到簡化和深化問題，體現(xiàn)自然的規(guī)律。下次遇到一道稍加變化的題目，解題者就會明白題目實(shí)際上考的是什么樣的知識，可能會用到的是什么樣的方法，就不會被題目中的陷阱和圈套所蒙蔽，相反，會對題目本身有更深的認(rèn)識與體會。所以說，解題時(shí)，如果可以用通用的方法解某一類題，題目越做越得心應(yīng)手，學(xué)生對知識的掌握、對解題思想的領(lǐng)悟就會越來越真實(shí)、自然，也只有這樣，才能做到熟能生巧，把知識學(xué)精，并在必要時(shí)遷移到所需要的領(lǐng)域去。

2.活用技巧——求“真”

在很多時(shí)候，我們所見到的題目并非是熟悉并熟練掌握的，因?yàn)檎也坏酱祟}與所熟知的題目或方法之間的聯(lián)系，對題目的本意就理解的不是那么清晰了，通法就失效了，一時(shí)間就使得我們措手不及，不知如何下手。事實(shí)上，一些看起來沒有見過，很復(fù)雜的題目，換個(gè)角度或者換一種心態(tài)去解題，亦或者做一些適當(dāng)?shù)淖冃?，就“變”成熟知的、簡單的題目，思路頓時(shí)就清晰起來了?！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”說的就是這個(gè)意思。這里適當(dāng)?shù)淖冃我簿褪且恍┖唵味鴮?shí)用的技巧了。

在教學(xué)過程中，如果學(xué)生將老師所講的解題方法不經(jīng)過深層次加工的就裝進(jìn)腦子里，也不思考解題過程中蘊(yùn)含的解題思想和思維方法，那他腦子里所儲存的知識一定是一種“惰性知識”，不僅沒有被激活，更不可能有“活水”源源不斷地涌入，因?yàn)樗窘⒉怀觥盎钏迸c“死水”之間的聯(lián)系。

3.濫用技巧——失“真”

簡單、實(shí)用的技巧給我們解題提供了較大的方便，但是，在解題過程中如果一味地追求技巧，節(jié)外生枝，使題目面目全非，把簡單的題目復(fù)雜化，那就不符合自然性的追求了，就有些失真了，這樣的解法不能被提倡和推崇。例如[3]：已知x，y，z∈R〖WTBX〗，x+y+z=xyz，求證：〖SX（〗2x〖〗1-x2〖SX）〗+〖SX（〗2y〖〗1-y2〖SX）〗+〖SX（〗2z〖〗1-z2〖SX）〗=〖SX（〗8xyz〖〗（1-x2）（1-y2）（1-z2）〖SX）〗。左邊的式子各項(xiàng)分母之積就是等號右邊式子的分母，那么很自然的就想到給左邊的式子通分，再將分子整理并運(yùn)用已知所給的條件即可得出等式的右端，即得證。這道題目運(yùn)用初中的知識就可以解決，且簡潔、明了，思路清晰、自然，可是若要用構(gòu)造三角形，運(yùn)用tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC的話，雖然一步就得證可是技巧性太高，學(xué)生根本不清楚這是怎么想到的，方法也不常用，自然也就學(xué)不會，無法掌握其解題本質(zhì)和內(nèi)涵。

對待一題多解的態(tài)度更是如此，雖然對一題多解的訓(xùn)練會對學(xué)生的思維靈活性和廣泛性起到很大的幫助，但是課堂還是要“以學(xué)生為中心”，要結(jié)合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生自然而然地學(xué)會一種新的解法，不能學(xué)習(xí)完一種解法之后，會的人只是“鳳毛麟角”，這也就失去了傳授知識的意義。而且教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的“學(xué)情”，了解哪些方法是大多數(shù)學(xué)生普遍能夠掌握的，而哪些方法只受用于極個(gè)別的學(xué)生。筆者在一些刊物上看到有許多一題多解的文章，有些解法雖然新穎、獨(dú)特，但卻不乏有些做作、夸張的賣弄之嫌。切忌“濫用”一題多解，要知道，世間之事，過猶不及。所以說，人人都喜歡從事自己拿手的事情，在解題過程中，就應(yīng)該從簡單的題做起，從簡單、自然的解法學(xué)起。過分地追求技巧，追求多解，就有些舍近求遠(yuǎn)、本末倒置了，從某種意義上說，就歪曲地理解了題目的本意，使題目失去了它原本的樣子，不僅沒有將題目得到簡化，還違背了自然“真”的一面，事實(shí)上，簡單才是真的真。

4.順“藤”摸“瓜”——索“真”

然而，有些時(shí)候，我們會碰到一些較為復(fù)雜的題目，既找不到有什么樣的通性、通法可以使用，也一時(shí)看不出有可以運(yùn)用簡單技巧的地方，不知道題目出題者的意圖，陷入這樣一種尷尬境地，使我們進(jìn)退兩難，舉棋不定。其實(shí)，大可順應(yīng)自然，題目怎么說的就怎么去做，從已知條件入手，觀察所要求的未知量，并思量已知條件與未知數(shù)據(jù)之間的差距和聯(lián)系，也許做著做著，就可以回歸到通法的使用上來了。例如2012年新課標(biāo)全國卷第21題第2問[4]：已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f′（x）ex-1-f（0）x+〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗x2，若f（x）≥〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗x2+ax+b，求（a+1）b的最大值。初看此題，覺得既含未知元又含有兩個(gè)參數(shù)，給解題帶來了諸多的不便，一時(shí)想不出什么通法、通性來解決之。無奈之下，只好按照題目的已知條件，原原本本、按部就班的來做，深入之后就會發(fā)現(xiàn)，原題就轉(zhuǎn)化為：在滿足ex-（a+1）x≥b對x∈R〖WTBX〗恒成立的條件下，求（a+1）b的最大值這樣一個(gè)不等式恒成立與參數(shù)最值相結(jié)合的問題了。分析至此，思路就開闊起來了，現(xiàn)在當(dāng)務(wù)之急，是要先求g（x）=ex-（a+1）x這個(gè)函數(shù)的最小值，而牽扯到最小值，導(dǎo)數(shù)在這里就起了舉足輕重的作用了，接下來的步驟就好辦多了，出題者的意圖也就明了了，思路自然就捋清了。真的是“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”。其實(shí)，對于許多偏題、難題，這種順著已知條件這根“藤”去尋找問題答案的方法比比皆是，因?yàn)楣峡偸墙Y(jié)在有藤的地方，順著題目所指引的方向去思考，去探索，總能得到你想要的答案。所以，題目怎么說的就怎么解，不必把題目想的很復(fù)雜，把題目讀懂，根據(jù)已知所給出的條件，充分利用之，算著算著，問題的謎團(tuán)就解開了，這樣的方法和思路才是我們一直所推崇的從題目的本意出發(fā)，自然而然的解決問題的思想。

因此，數(shù)學(xué)解題應(yīng)體現(xiàn)自然之“真”，既不矯揉造作，也不故弄玄虛，越自然、越簡單的解法就是越接近學(xué)生思維本能的方法，就是越能被學(xué)生掌握的解法，也就是在教學(xué)中越值得被提倡的方法。讓我們一起在數(shù)學(xué)的解題的過程中去體驗(yàn)自然的真、善、美，領(lǐng)悟大自然教給我們的人生哲理吧。（作者單位：新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

[1]王中江.道與事物的自然：老子“道法自然”實(shí)義考論[J].中國哲學(xué)，2010，（11）：37.

[2]唐勝忠.抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)—用極限方法求漸近線[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011，（3）：45.

[3]張雄，李得虎.數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2010：31.

[4]沈良.2012年新課標(biāo)全國卷第21題的求解與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013，（2）：49.