FR共軛梯度法與泰勒級(jí)數(shù)展開法協(xié)同定位算法

(河北聯(lián)合大學(xué)電氣工程學(xué)院,河北 唐山 063009)

0 引言

在無線定位應(yīng)用廣泛的今天，射頻識(shí)別(radio frequency identification,RFID)由于其非視距識(shí)別以及低成本的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于室內(nèi)定位。通過物理測(cè)量得到標(biāo)簽與讀寫器之間的距離或角度的定位算法包括：到達(dá)時(shí)間法、到達(dá)時(shí)間差法、到達(dá)角法、接收信號(hào)強(qiáng)度法(received signal strength indication,RSSI)。在這四種方法中，到達(dá)時(shí)間法和RSSI比較常用。但由于到達(dá)時(shí)間法硬件要求太高，所以RFID定位系統(tǒng)中多采用RSSI[1]。

基于RSSI的無線射頻識(shí)別技術(shù)(RFID)是在已知發(fā)射功率的情況下，讀寫器測(cè)量接收功率，使用理論或經(jīng)驗(yàn)的信號(hào)傳播損耗轉(zhuǎn)化為距離。在獲得各個(gè)讀寫器到待測(cè)標(biāo)簽的距離之后，根據(jù)標(biāo)簽到各讀寫器的差值建立一組雙曲線方程。由于方程具有非線性，需要將其轉(zhuǎn)化為線性方程后求解[2]。在線性化方程的求解過程中，應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開法，由于其具有很高的定位精度，在初始估計(jì)位置和實(shí)際位置相接近的情況下，可以得到較精確的定位結(jié)果；但在初始位置偏差較大的情況下，算法的收斂性難以保證[3]。為了確保定位結(jié)果的收斂性，本文采用FR共軛梯度法進(jìn)行初始位置的計(jì)算[4]。

1 基于RSSI的定位算法

RSSI定位算法首先需要建立待測(cè)標(biāo)簽環(huán)境的距離-損耗模型，然后設(shè)定已知讀寫器的參考位置。通過測(cè)量對(duì)比信號(hào)發(fā)射端與接收端的信號(hào)衰減情況來計(jì)算兩者之間的距離，設(shè)置多個(gè)讀寫器便可利用三邊或多邊定位法來完成對(duì)待測(cè)標(biāo)簽的定位[5]。

電磁信號(hào)在室內(nèi)空間傳播的過程中，會(huì)受到墻壁、障礙物等影響，產(chǎn)生能量損耗與衰減。這種因外界環(huán)境引起的衰減與電磁波發(fā)射與接收過程中所傳播的距離有直接的關(guān)系。RSSI采用的信號(hào)距離-損耗模型一般為對(duì)數(shù)距離衰減模型，其表達(dá)式為：

(1)

式中：d為發(fā)射機(jī)和接收機(jī)之間的距離；do為參考距離；η為信道衰減指數(shù)，一般取值2～4；Xσ為均值為零、均方差為σ的高斯隨機(jī)噪聲變量；P(do)為距離發(fā)射機(jī)do處的信號(hào)強(qiáng)度；P(d)為距離發(fā)射機(jī)d處的信號(hào)強(qiáng)度；P(do)可以通過經(jīng)驗(yàn)得出，通過信號(hào)強(qiáng)度P(d)求出距離d[6]。

如果四個(gè)讀寫器參與定位，則使用雙曲線模式建立方程組。根據(jù)對(duì)數(shù)距離衰減模型得到待定位標(biāo)簽到各個(gè)讀寫器的距離后，可建立方程：

Di,1=Di-D1

(2)

(3)

如果三個(gè)讀寫器參與定位，則使用圓周模型建立方程：

(4)

式中：(Xi,Yi)為讀寫器坐標(biāo)；(x，y)為待測(cè)標(biāo)簽坐標(biāo)；Ri為讀寫器與標(biāo)簽之間的距離；N為參與定位的讀寫器數(shù)目。

式(2)的求解過程為求解非線性方程組，求解非線性方程組相當(dāng)于無約束非線性最優(yōu)化問題，非線性問題需要進(jìn)行線性化處理[7]。

FR共軛梯度法是由線性問題發(fā)展而來的求解無約束非線性最優(yōu)化問題的方法。其具有二次終止性，計(jì)算量小，因而得到廣泛應(yīng)用。將FR共軛槽度法與泰勒級(jí)數(shù)展開算法相結(jié)合，可有效提高定位精度，保證定位的準(zhǔn)確性[8]。

2 泰勒級(jí)數(shù)展開法

以下為四個(gè)讀寫器參與定位時(shí)，所建立的方程組通過泰勒級(jí)數(shù)展開法求解的過程。

根據(jù)式(2)定義函數(shù)：

假設(shè)(x0,y0)為待定位標(biāo)簽位置坐標(biāo)的初始值：

x=x0+δxy=y0+δy

(5)

采用泰勒級(jí)數(shù)展開，僅保留前兩項(xiàng)可得：

(6)

(7)

式(6)可以寫為：

Aδ=D+e

(8)

令:

(9)

(10)

(11)

(12)

對(duì)于式(8)的加權(quán)最小二乘的解為:

δ=[ATR-1A]-1ATR-1D

(13)

令:

如果δz>10,則算法發(fā)散;如果δz<0.000 1,則算法收斂，停止計(jì)算，輸出定位結(jié)果。

3 FR共軛梯度法

首先將si(x,y)計(jì)算式改寫成：

ψi(x,y)=si(x,y)-di,1+εi,1i=2，…，N

(14)

使用FR共軛梯度法對(duì)式(14)構(gòu)造模函數(shù)：

(15)

FR共軛梯度法將共軛性和最速下降方向相結(jié)合，利用已知迭代點(diǎn)處的梯度方向構(gòu)造一組共軛方向，并沿此方向進(jìn)行搜索，求出函數(shù)極小點(diǎn)。

設(shè)算法中所使用的各估計(jì)點(diǎn)為wk，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(xk,yk)，k=0，1，……。函數(shù)Ψ(x,y)在一點(diǎn)的梯度方向?yàn)镚，-G即為最速下降方向[9]。在FR共軛梯度法中，第一個(gè)搜索方向取最速下降方向，即d0=-G0，其他搜索方向根據(jù)FR共軛梯度法得到：

dk+1=-Gk+1+βkdk

(16)

βk根據(jù)FR法計(jì)算，即：

(17)

設(shè)(x0,y0)為解的一個(gè)近似值，從此點(diǎn)開始進(jìn)行搜索，搜索方向?yàn)樽钏傧陆捣较?，即d0=-G0。計(jì)算Φ在此點(diǎn)的梯度方向：

G0=(g10,g20)T

(18)

(19)

若‖G0‖<ε，則停止，w0為所求極小點(diǎn)；否則繼續(xù)計(jì)算。

若‖G0‖>ε，沿負(fù)梯度方向-G0跨一適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)λ0。步長(zhǎng)的求取方法采用非精確線性搜索法Armijo準(zhǔn)則，即：

(20)

式中：ξ∈(0,1)；σ∈(0,0.5)；gk為梯度方向；dk為搜索方向，令步長(zhǎng)λk=ξmk，其中mk為滿足式(19)的最小非負(fù)整數(shù)。

搜索過程中，由m=0，mk=m開始搜索，wk+1=wk+ξmkdk，如果不等式成立，則停止運(yùn)算；否則m=m+1，繼續(xù)運(yùn)算。

求出的λ0可以使得新的點(diǎn)(x1,y1)為Ψ(x,y)在方向d0上的相對(duì)極小值，即：

Ψ(x1,y1)≈min{Ψ(x0-λ0g10,y0-λ0g20)}

(21)

將λ0代入下式：

wk+1=wk+λkdk

(22)

求得w1之后計(jì)算G1，若‖G1‖<ε，則停止，w1為所求極小點(diǎn)；否則重復(fù)上述過程，直到‖Gk‖足夠小為止。

4 改進(jìn)算法仿真及分析

搜索過程中，首先使用FR共軛梯度法進(jìn)行搜索定位。在位置比較接近之后，得到初步定位結(jié)果。然后使用Taylor級(jí)數(shù)展開算法對(duì)初步定位結(jié)果進(jìn)行精確。

本文使用Matlab進(jìn)行定位仿真[10]，仿真采用四個(gè)讀寫器，讀寫器的分布以及各個(gè)讀寫器大概的讀卡范圍如圖1所示。

圖1 讀寫器分布圖

四個(gè)讀寫器的讀卡范圍分別為R1(5,5)，R2(5,10)，R3(10,5)，R4(10,10)。

每個(gè)讀寫器的識(shí)別距離在10 m以內(nèi)，在仿真區(qū)域的中間部分，四個(gè)讀寫器均參加定位；在比較邊緣的位置，三個(gè)較近的讀寫器參與定位。

為了對(duì)比改進(jìn)效果，本文對(duì)傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法也做了仿真。仿真中協(xié)同定位算法和傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法的仿真精度均取0.000 1。

根據(jù)所有仿真結(jié)果，當(dāng)四個(gè)讀寫器均參加定位的情況下，定位結(jié)果受到初始值是否接近真實(shí)值，以及所得的測(cè)量值是否精確的影響。定位結(jié)果可以分為四類。

① 初始值接近真實(shí)值，所得的測(cè)量值精確，協(xié)同定位算法的結(jié)果與傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法的結(jié)果相同。

② 初始值遠(yuǎn)離真實(shí)值，所得的測(cè)量值精確，協(xié)同定位算法定位結(jié)果準(zhǔn)確，且收斂情況良好，而傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法則不能收斂。

③ 初始值遠(yuǎn)離真實(shí)值，所得的測(cè)量值不精確，協(xié)同定位算法定位結(jié)果較為準(zhǔn)確，且收斂情況良好，而傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法則不能收斂。

④ 特殊情況為所得的測(cè)量值誤差較大，無論初始值是否接近真實(shí)值，協(xié)同定位算法與傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法均不收斂，此時(shí)定位結(jié)果采用FR共軛梯度法的定位結(jié)果。

誤差采用均方根誤差RMSE:

(23)

第二種情況，以真實(shí)點(diǎn)(6.3，7.9)為例，如表1所示，協(xié)同定位算法解決了傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法不收斂的問題。

第四種情況，以真實(shí)點(diǎn)(3.3，6.9)為例，如表2所示，協(xié)同定位算法與傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法均不收斂的問題，采用FR共軛梯度法的定位結(jié)果。

表1 初始值遠(yuǎn)離時(shí)定位結(jié)果

表2 測(cè)量誤差較大時(shí)定位結(jié)果

定位結(jié)果分為以下兩類。

① 初始值接近真實(shí)值，協(xié)同定位算法比傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法更加精確。

② 初始值遠(yuǎn)離真實(shí)值，協(xié)同定位算法定位結(jié)果較為準(zhǔn)確，且收斂情況良好，而傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法則不能收斂。

以上兩種情況均以真實(shí)點(diǎn)(11.7，13)為例，一號(hào)讀寫器不參與定位。

第一種情況如表3所示，協(xié)同定位算法提高了傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法的精度。第二種情況如表4所示，協(xié)同定位算法解決了傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法不收斂的問題。

表3 初始值接近時(shí)定位結(jié)果

表4 初始值遠(yuǎn)離時(shí)定位結(jié)果

5 結(jié)束語

分析仿真結(jié)果可得，F(xiàn)R共軛梯度法與泰勒級(jí)數(shù)展開法協(xié)同定位算法相結(jié)合，有效改進(jìn)了傳統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開法在初始估計(jì)值距離真實(shí)值差距較大的情況下算法難以收斂的問題。當(dāng)三個(gè)基站參與定位時(shí)，協(xié)同定位算法提高了定位精度。當(dāng)三個(gè)基站參與定位、測(cè)量誤差較大的情況下，兩種算法均不收斂，可以采用FR共軛梯度法的定位結(jié)果，使得協(xié)同定位算法具有很強(qiáng)的應(yīng)用性。

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