PCA法在多變量控制系統(tǒng)中的設(shè)計與應(yīng)用

(陜西理工學(xué)院電氣工程學(xué)院，陜西 漢中 723003)

0 引言

隨著工業(yè)生產(chǎn)過程自動化程度的提高，控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，檢測儀表和執(zhí)行機構(gòu)的使用數(shù)量也越來越多。一個局部故障常會產(chǎn)生鏈?zhǔn)椒磻?yīng)，導(dǎo)致整個自動控制系統(tǒng)的崩潰，這不僅會造成巨大的經(jīng)濟損失，而且會危及人身安全。因此，系統(tǒng)的可靠性是系統(tǒng)安全運行的關(guān)鍵，而提高系統(tǒng)可靠性的重要手段是使系統(tǒng)具有一定的容錯能力[1]。而要實現(xiàn)容錯控制，必須預(yù)先知道系統(tǒng)某環(huán)節(jié)出現(xiàn)了故障，所以系統(tǒng)的故障檢測與診斷又是實現(xiàn)容錯控制的前提。決策者根據(jù)診斷到的故障源和故障類型，作出相應(yīng)決策，以改變或修正系統(tǒng)出現(xiàn)的錯誤和故障[2]。

本文采用主元分析(principal component analysis,PCA)法研究多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)控制系統(tǒng)，實現(xiàn)系統(tǒng)的故障檢測與診斷，為系統(tǒng)實現(xiàn)容錯控制和安全運行打下良好基礎(chǔ)。

1 主元分析法及基本思路

主元分析法(PCA)是多元統(tǒng)計過程控制故障診斷技術(shù)的核心，它是基于原始數(shù)據(jù)空間，通過降低原始數(shù)據(jù)空間的維數(shù)構(gòu)建新的數(shù)據(jù)模型;再從新的映射空間抽取主要的變化信息，以提取統(tǒng)計特征，從而構(gòu)成原始數(shù)據(jù)空間特性。新的映射空間的變量由原始數(shù)據(jù)變量的線性組合構(gòu)成，大大降低了投影空間的維數(shù)。由于投影空間統(tǒng)計特征向量彼此正交，因此消除了變量間的關(guān)聯(lián)性，簡化了原始過程特性分析的復(fù)雜程度。主元分析能對生產(chǎn)過程進行有效故障檢測與診斷。

主元分析法的基本思路是：尋找一組新變量來代替原變量，新變量是原變量的線性組合。從優(yōu)化的角度看，新變量的個數(shù)要比原變量少，并且最大限度地攜帶原變量的有用信息，新變量之間互不相關(guān)。主元分析法的內(nèi)容包括主元的定義和獲取，以及通過主元的數(shù)據(jù)重構(gòu)。

目前，針對主元分析的研究與應(yīng)用綜述比較多，其中大多數(shù)文獻都介紹了其基本原理[ 3-5]，甚至包括主元分析的改進型分析方法[6]。本文對此不再贅述，在此主要說明應(yīng)用主元分析法設(shè)計系統(tǒng)時的主要流程和步驟。

2 主元分析法設(shè)計步驟

根據(jù)主元分析法的概念與設(shè)計思路，主元分析法可按以下步驟完成。

① 系統(tǒng)正常運行時進行采樣，獲得原始數(shù)據(jù)，設(shè)多變量數(shù)據(jù)矩陣為X∈Rm×n，其中每一列對應(yīng)一個變量，每一行對應(yīng)一個樣本。

(1)

④ 計算R=[rij]m×n的特征值與特征向量。

解特征方程|λI-R|=0，并把特征值按大小順序排列，記為λ1,λ2,…,λm，相應(yīng)的特征向量記為p1,p2,…,pm。

⑤ 計算主元：ti=X*pi。

主元ti表示數(shù)據(jù)矩陣X*在這個主元相對應(yīng)的負(fù)荷向量方向上的投影，其長度越大，表示X*在pi方向上的覆蓋程度或變化范圍越大。

若‖t1‖>‖t2‖>…>‖tm‖，則p1表示數(shù)據(jù)X*變化的最大方向，pm表示數(shù)據(jù)變化的最小方向。

⑥ 計算各主元貢獻率及累計貢獻率。

⑦ 繪制統(tǒng)計過程圖，進行故障的檢測與診斷。

3 統(tǒng)計過程控制圖

3.1 診斷模型的建立

PCA統(tǒng)計分析是把過程數(shù)據(jù)向量投影到兩個正交的主元空間和誤差空間上，建立其相對應(yīng)的統(tǒng)計信息并進行假設(shè)檢驗，依此來判斷過程的運行情況。PCA統(tǒng)計分析主要采用多變量統(tǒng)計過程控制圖，常見的有平方預(yù)測誤差(squared prediction error,SPE)圖、Hotelling T2圖、貢獻圖、主元得分圖[7]。

3.2 統(tǒng)計控制圖

建立PCA模型后，要檢測數(shù)據(jù)中是否包含過程的故障信息，可以通過建立統(tǒng)計量進行假設(shè)檢驗，判斷過程數(shù)據(jù)是否背離了主元模型。通常采用的方法是對主元子空間建立的Hotelling T2統(tǒng)計量和平方預(yù)測誤差SP統(tǒng)計量進行統(tǒng)計檢測。若實時數(shù)據(jù)超出平方預(yù)測誤差SPE和Hotelling T2的控制限，則會出現(xiàn)異常狀況。

3.2.1 SPE圖

(2)

式中：ei為誤差矩陣E的第i行；Pk=[p1p2…pk]；I為單位矩陣。

SPE統(tǒng)計量反映了現(xiàn)場數(shù)據(jù)與建模數(shù)據(jù)的差異，說明了某時刻測量值對主元模型的偏離程度，它是衡量模型外部數(shù)據(jù)變化的測度。當(dāng)SPE統(tǒng)計量太大時，說明生產(chǎn)過程出現(xiàn)了異常情況。

當(dāng)檢驗水平為α?xí)r，其SPE的控制限可根據(jù)式(3)來計算。

(3)

3.2.2 Hotelling T2圖

Hotelling T2圖是得分向量的標(biāo)準(zhǔn)平方和，表明每個樣本在變化趨勢和幅度上偏離實際模型的程度。對于第k個時刻主元模型的T2統(tǒng)計量，可定義為：

(4)

T2統(tǒng)計量的控制限可利用F分布按式(5)計算。

(5)

基于Hotelling T2的假設(shè)只能判斷主元子空間中某些變量的變化，因此如果有測量變量沒有體現(xiàn)在主元模型中，則這種變量的故障也就不能通過Hotelling T2圖進行檢測。此時可考慮通過分析平方預(yù)測誤差(SPE)圖進行故障檢測。

3.2.3 主元得分圖

主元得分圖反映了主元模型內(nèi)部各主元跟隨時間波動的情況，其得分向量求解式為：

ti=X*pi

(6)

同樣主元得分向量的控制限為：

(7)

式中：ti,α為置信度為α的得分向量。如果ti>ti,α，則說明此時主元得分分析異常；否則，說明統(tǒng)計正常。

3.2.4 貢獻圖

當(dāng)Q統(tǒng)計量或T2統(tǒng)計量超過其控制限時，則說明過程中出現(xiàn)了異常情況，但并不能從Q統(tǒng)計圖或Hotelling T2圖中找出發(fā)生的故障，必須借助貢獻圖來確定故障源的位置。第i個過程變量對在第k時刻的Q統(tǒng)計量的貢獻可表示為：

(8)

4 具體應(yīng)用

某兩進兩出(2I2O)液位控制系統(tǒng)示意圖如圖1所示。系統(tǒng)要求對兩個水箱的液位進行定值控制，圖1中：1#水箱被控變量為h1，用壓力變送器LT1進行測量，控制變量為q1，通過調(diào)節(jié)信號u1改變其大??；2#水箱被控變量為h2，用LT2進行測量，控制變量為q2，通過調(diào)節(jié)信號u2改變其大小[7-8]。兩容器之間通過閥門相互關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)系數(shù)為f0，另外兩個水箱的自泄流分別為d1、d2。

圖1 兩進兩出液位控制系統(tǒng)示意圖

圖2 SPE統(tǒng)計量圖

圖3 Hotelling T2統(tǒng)計圖

由圖2、圖3可以看出，系統(tǒng)在前半階段運行正常，而到后半階段出現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)超出控制限情況，說明該階段樣本出現(xiàn)了異常，系統(tǒng)某部分出現(xiàn)了故障。通過對得分向量圖進行分析，發(fā)現(xiàn)第1個主元得分向量沒有測量點偏移，而第2個主元得分向量圖中后半階段有多個測量點超過置信限；再通過觀察第2個主元負(fù)荷向量圖發(fā)現(xiàn)，變量u2和變量q2對第2個主元的貢獻率最大，這兩個變量又是控制第2個容器的液位大小的進料情況，由此可判定是第2個控制回路出現(xiàn)故障。經(jīng)查驗確認(rèn)為第2個調(diào)節(jié)閥故障，開度幅度超出系統(tǒng)要求。

5 結(jié)束語

針對多輸入多輸出系統(tǒng)的原始復(fù)雜數(shù)據(jù)信息，采用主元分析(PCA)法實現(xiàn)對復(fù)雜數(shù)據(jù)信息的特征提取，并構(gòu)建了相應(yīng)過程的主元模型。主元模型通過檢驗新的數(shù)據(jù)樣本對主元模型的偏離程度發(fā)現(xiàn)故障信息。仿真結(jié)果與實際運行表明，多變量統(tǒng)計過程能夠根據(jù)過程的變化做出判斷，從而達到檢測與診斷的目的，提高系統(tǒng)的安全可靠性[9-12]。

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