應(yīng)用FFT的高精度FMCW雷達頻率測量算法

(中北大學(xué)電子測試技術(shù)國家重點實驗室,山西 太原 030051)

0 引言

隨著雷達技術(shù)的迅速發(fā)展，采用調(diào)頻連續(xù)波(frequency modulated continuous wave,FMCW)雷達體制的測距測速系統(tǒng)已被廣泛地應(yīng)用于日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中。FMCW雷達測距測速的關(guān)鍵在于測量差頻信號的頻率，差頻信號在理想情況下是單頻的正弦信號，通常采用快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)的方法分析信號頻譜，估計信號的頻率。FFT存在能量泄漏和欄柵效應(yīng)，當(dāng)信號頻譜峰值譜線不能與頻譜主瓣的中心重合時，便會產(chǎn)生頻率測量誤差。為了解決離散頻譜分析誤差較大的問題，目前國內(nèi)外學(xué)者研究并提出了包括能量重心法在內(nèi)的離散頻譜校正理論與技術(shù)[1]。能量重心法能夠通過功率譜主瓣內(nèi)的譜線估計主瓣中心的位置，解決了欄柵現(xiàn)象；但該方法在信號非整周期加窗截斷時，能量泄漏增大，頻率測量精度較低。

為了進一步減小頻率測量誤差，本文提出了一種能量重心法和截斷長度調(diào)整相結(jié)合的頻率估計算法。該算法首先對以默認(rèn)長度截斷的采樣信號做FFT，采用4點能量重心法粗略估計信號頻率；然后根據(jù)估計的結(jié)果調(diào)整截斷長度，以滿足整周期采樣；最后再對信號采用離散頻譜3點能量重心法精確校正頻率。該算法在LabVIEW環(huán)境下進行了編程，編寫了FMCW雷達頻率測量程序，這給信號處理的研究帶來了極大的方便。結(jié)果表明，該算法具有更高的頻率測量精度和更小的測量誤差。

1 離散頻譜能量重心法原理

能量重心法是根據(jù)各種對稱窗函數(shù)離散功率譜的能量重心無窮逼近坐標(biāo)原點的特性進行頻率校正的，其校正精度與窗函數(shù)、參與校正的點數(shù)有關(guān)。對差頻信號采樣序列時域加窗截斷，并進行離散傅里葉變換，可得到信號的離散頻譜Y(k)的表達式為：

(1)

式中：y(n)為差頻信號采樣序列；w(n)為窗函數(shù)序列；N為差頻信號y(n)的序列長度，n∈[0,N-1]；Y(k)為差頻信號y(n)的離散頻譜，k∈[0,N-1]。

信號y(n)的功率譜表達式為：

S(k)=|Y(k)/N|2

(2)

式中:S(k)為信號y(n)的功率譜。

根據(jù)對稱窗的能量特性[2-3]，當(dāng)n→∞時,存在：

(3)

式中：k0為信號離散頻率所在的位置，即功率譜主瓣中心坐標(biāo)；m為功率譜峰值譜線的序號。

由式(3)可知：

(4)

式中：Δk為主瓣中心與峰值譜線序號之間的偏差，也就是能量重心法所求的頻率校正量，Δk=k0-m，0≤|Δk|≤0.5。則信號的真實頻率f0為：

f0=(m+Δk)fs/N

(5)

式中：fs為采樣頻率；N為FFT參與運算點數(shù)。

高血壓性視網(wǎng)膜病變(hypertensive retinopathy，HR)是高血壓患者的視網(wǎng)膜發(fā)生病理性改變，主要表現(xiàn)為視網(wǎng)膜毛細血管狹窄，眼底血管萎縮減少，微循環(huán)障礙，血管管壁增厚且缺乏彈性，視網(wǎng)膜缺血缺氧病變壞死等[1，2]。隨著全國經(jīng)濟的發(fā)展和人民生活水平的提高，高血壓的發(fā)病率逐年攀升，其中超過69%的高血壓患者都有不同程度的視網(wǎng)膜病變[3，4]。

為了提高校正精度，同時減少計算量，在進行能量重心法頻率校正時，通常使用主瓣寬度為4個譜線間隔Δf(Δf=fs/N)且旁瓣衰減很快的Hanning窗，參與運算的譜線均以峰值譜線為中心，一般取3條譜線或5條譜線對信號功率譜進行能量重心法校正。當(dāng)頻率偏差Δk接近于0時，能量主要集中于主瓣內(nèi)幅值最大的3條譜線上，3點、5點能量重心法頻率校正精度較高。但當(dāng)|Δk|接近于0.5時，若采用主瓣內(nèi)3條譜線進行校正，由于忽略了主瓣內(nèi)的一條能量較大的譜線，此時的校正頻率誤差最大[4];若采用5條譜線進行校正,利用了主瓣內(nèi)4條譜線和第一旁瓣的1條譜線，校正精度較采用3條譜線大為提高，但計算量也隨之增加。

考慮到Hanning窗的對稱性且能量主要集中在主瓣內(nèi)4條譜線，可采用主瓣內(nèi)4條譜線進行能量重心法頻率校正，即4點能量重心法[5]。采用3點、4點、5點能量重心法進行頻率測量的歸一化頻率誤差如圖1所示。由圖1可以看出，4點能量重心法頻率校正誤差明顯低于3點能量重心校正法，而與5點能量重心法十分接近。

圖1 歸一化頻率誤差比較圖

加Hanning窗的能量重心法校正頻率的前提是對時域加Hanning窗的信號序列做FFT，但時域加Hanning窗需要構(gòu)造窗函數(shù)，采樣點數(shù)越多，運算量越大，應(yīng)設(shè)法避免。

Hanning窗函數(shù)w(n)的定義為：

w(n)=[1-cos(2πn/N)]/2

(6)

式中：n=0,1,2，…，N-1。

信號序列y(n)加Hanning窗后離散傅里葉變換所得離散頻譜為[6]：

(7)

式中：Yw(k)為信號序列y(n)加Hanning窗后的離散頻譜。

根據(jù)離散傅里葉變換的性質(zhì)可得：

(8)

式中：Y1(k)為信號加矩形窗FFT得出的頻譜序列，k=1，2，…，N-2。

在實現(xiàn)對輸入序列y(n)加Hanning窗的離散傅里葉變換時，可不在時域進行y(n)與w(n)相乘，而可在頻譜序列Y1(k)上進行線性組合來實現(xiàn)。

由式(8)可知，4點能量重心法可由以下步驟實現(xiàn)：首先對信號直接做FFT，找出離散頻譜內(nèi)的峰值譜線，記其序號為m；然后對k=(m-2，m-1，m，m+1，m+2)做頻域組合運算，可得到對應(yīng)5個點的等效加Hanning窗的頻譜序列，并求這5條譜線的功率譜值；接下來比較S(m-1)和S(m+1)的大小，其中較大的譜線就是次大值譜線，由于Hanning窗的頻譜函數(shù)是對稱的，在峰值譜線和次大值譜線兩側(cè)各再增加一條譜線，得到的就是Hanning窗主瓣內(nèi)的4條譜線；最后根據(jù)式(4)和式(5)來校正頻率。3點能量重心校正法只需在峰值譜線兩側(cè)各增加一條譜線，實現(xiàn)相對簡單。

2 截斷長度調(diào)整原理

對信號進行一次能量重心法頻率估計，得到的信號頻率誤差較大。當(dāng)|Δk|接近于0時，能量主要集中在功率譜主瓣內(nèi)峰值譜線附近的3條譜線上，旁瓣上譜線能量接近于0，離散功率譜能量泄漏較小，此時頻率校正精度較高。所以在進行FFT運算前，可調(diào)整序列的截斷長度，以滿足整周期采樣要求，使得調(diào)整后頻譜峰值譜線在主瓣中心附近，|Δk|→0；然后再用能量重心法精確校正頻率[7-8]。

由式(5)可知，存在：

f1/fs=(m+Δk)/N1=m/N2

(9)

式中：f1為首次采用能量重心法測得的信號頻率；N1為第一次序列的截斷長度；N2為調(diào)整后的截斷長度。

則調(diào)整后的采樣點數(shù)長度為：

N2=mN1/(m+Δk)

(10)

直接由式(10)得出的N2可能不是整數(shù)，還應(yīng)對N2做就近取整運算。同時兩次截斷的長度N1、N2應(yīng)小于信號的采樣長度。

3 綜合頻率測量算法

結(jié)合能量重心法和截斷長度調(diào)整的方法來實現(xiàn)頻率估計，可用以下3個步驟來實現(xiàn)：①在默認(rèn)的采樣參數(shù)下采集信號，對序列長度為N1的信號做FFT，采用離散頻譜的4點能量重心法來估計頻率；②根據(jù)首次估計校正的結(jié)果調(diào)整截斷長度，求得N2；③對采樣信號序列重新截取，再做FFT并用3點能量重心法對頻率進行更精確的校正。

按照算法流程編制綜合的頻率測量算法LabVIEW程序界面如圖2所示。該程序采用順序結(jié)構(gòu)分3幀來實現(xiàn)，確保程序按照一定順序執(zhí)行。第一幀包含一些參數(shù)的設(shè)置和4點能量重心法頻率校正，要求采樣頻率必須滿足奈奎斯特采樣定理，由于FMCW雷達差頻信號頻率與目標(biāo)的距離成正比，在系統(tǒng)要求的測距范圍內(nèi)，目標(biāo)距離最遠時對應(yīng)的差頻信號頻率最高，采樣頻率fs必須大于兩倍的距離最遠時對應(yīng)的頻率；第二幀用于調(diào)整截斷長度并傳遞到下一幀；第三幀是信號整周期截斷后頻率估計。其中信號源用于仿真測試，VI-1為4點能量重心法的子程序，VI-2為3點能量重心法的子程序。

圖2 綜合的頻率測量程序界面

4 試驗與分析

將上述綜合頻率測量算法在計算機上進行了頻率測量試驗，用信號源給出接近實際的FMCW雷達差頻信號，設(shè)置信號幅度為1 V，噪聲幅度為0.1 V,采樣頻率為1 MHz，采樣點數(shù)為1 100點，第一次截斷長度為1 000點，在歸一化頻率偏差范圍Δf=[0，0.5]的區(qū)間內(nèi)分別采用4點能量重心法和本文的綜合頻率測量算法進行仿真試驗，其歸一化頻率測量相對誤差曲線如圖3所示。

圖3 歸一化頻率誤差比較圖

由圖1和圖3可以看出，3點能量重心法最大相對誤差接近0.03個頻率分辨率，4點能量重心法最大相對誤差接近于0.001個頻率分辨率，本文算法最大相對誤差小于0.000 2個頻率分辨率。因此，本文提出的算法頻率測量精度最高。這些誤差一方面是由噪聲干擾造成的；另一方面由于能量重心法只能對有限的譜線參與頻率校正運算，同時第二次調(diào)整的截斷長度必須取整，不可能完全整周期截斷，也造成一定的誤差。

5 結(jié)束語

本文提出了一種綜合的頻率測量算法。該算法將能量重心法和截斷長度調(diào)整相結(jié)合來測量FMCW雷達差頻信號的頻率，通過調(diào)整采樣序列的截斷長度，使得序列滿足整周期采樣要求，進一步提高了能量重心法的頻率測量精度。本文算法可借助于FFT得到信號的頻譜，易于實現(xiàn)，同時對FFT結(jié)果作一定的變換運算代替時域加Hanning窗運算，簡化了算法的復(fù)雜度。LabVIEW具有強大的人機界面，程序修改方便，結(jié)合數(shù)據(jù)采集卡可對實際信號進行采集和測量，可應(yīng)用于FMCW雷達測距測速系統(tǒng)。

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