無漂移算術(shù)布朗運(yùn)動下股指期貨套期保值連續(xù)出清策略

唐衍偉，陳 剛，劉喜華

(青島大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，山東 青島 266071)

1 引言

在出清資產(chǎn)時，交易員不僅要考慮收益和風(fēng)險，還要面對市場和自身的不確定性。股指期貨套期保值涉及股票市場和股指期貨市場，一般情況下，這兩種資產(chǎn)是高度正相關(guān)的，而通過套期保值的反向操作則構(gòu)造了兩種高度負(fù)相關(guān)資產(chǎn)。對于已進(jìn)行套期保值的股票現(xiàn)貨，在出清股票頭寸時，為了避免現(xiàn)貨頭寸風(fēng)險暴露過大，應(yīng)該保持現(xiàn)貨與期貨出清量以套期保值比例同步，從而確保持有頭寸可以時時通過期貨套期保值達(dá)到規(guī)避市場總體風(fēng)險的目的。期貨采用保證金交易制度，在進(jìn)行期貨出清時，衡量的是最終實(shí)現(xiàn)的出清成本，而不需要考慮其杠桿效應(yīng)，而且股指期貨可以認(rèn)為是股票指數(shù)的近似替代，因此，可以將股票與股指期貨同步出清問題納入投資組合的框架下進(jìn)行研究。

國外出清策略研究主要有：Lawrence和Robinson[1]利用均值-方差理論，通過融合市場風(fēng)險的最優(yōu)資產(chǎn)出清策略；Jarrow和Subramanian[2]引入流動性折扣因子和交易執(zhí)行滯后時間函數(shù)，假定變現(xiàn)時間和出清量是外生給定的，通過最大化資產(chǎn)出清收益來決定持有期限，推導(dǎo)出最優(yōu)資產(chǎn)出清策略；Bertsimas和Lo[3]采用隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃法推導(dǎo)了最大化出清收益條件下的買入大部位投資組合的動態(tài)交易策略，證明了在市場沖擊和交易量存在線性關(guān)系、資產(chǎn)價格過程是隨機(jī)游走過程時，以一個常速率出售資產(chǎn)是最優(yōu)選擇；Almgren和Chriss[4-5]假定市場沖擊分為瞬時沖擊和永久沖擊且都是線性的，通過均值-方差理論，提出了推導(dǎo)資產(chǎn)最優(yōu)出清策略的框架，并提出融合流動性風(fēng)險的VaR方法，研究表明最優(yōu)執(zhí)行策略是時間的雙曲正弦和雙曲余弦的線性組合形式；Huberman和Stanzl[6]在投資者的效用函數(shù)中引入執(zhí)行成本的方差，利用隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃方法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)策略的求解；Berkowitz[7]從需求彈性入手，用向下傾斜的需求曲線表示變現(xiàn)活動對市場價格的沖擊，假定變現(xiàn)時間是外生變量，得到最優(yōu)策略；Almgren[8]在沖擊函數(shù)為多項(xiàng)式時，討論了變現(xiàn)時間為可變時的最優(yōu)變現(xiàn)策略；Dubil[9-10]延伸了Almgren和Chris[4]提出的模型來確定最終的出清期，假定交易以恒定速率進(jìn)行，市場沖擊函數(shù)為廣義冪指數(shù)和與價格線性相關(guān)兩種形式；M?[11]在考慮日內(nèi)市場流動性特性，采用指數(shù)價格沖擊函數(shù)，建立了投資者指令重建的大部位投資組合的最優(yōu)資產(chǎn)出清策略；Subramanian[12]在投資者風(fēng)險偏好和資產(chǎn)價格運(yùn)動的廣泛假設(shè)下，建立了大宗資產(chǎn)投資者出清問題的優(yōu)化模型，并證明大宗資產(chǎn)投資者在具有較強(qiáng)效用函數(shù)時能得到最優(yōu)出清策略。Kim和Boyd[13]考慮時間不均勻線性價格沖擊與波動、流動性與波動周期情況下，建立持有頭寸預(yù)期資產(chǎn)價值與收益方差最大化的連續(xù)出清問題，通過求解第二類Fredholm積分方程或TPBVP問題求得出清軌跡。

國內(nèi)研究主要有：林輝[14]在收益率為正態(tài)分布，相對價差和中間價格相互獨(dú)立的前提下，研究了La-VaR模型，并將確定性等價效用和風(fēng)險偏好引入多期La-VaR模型，采用勻速率出清逼近的方法，得到最優(yōu)出清策略和La-VaR；胡小平[15]假定價格沖擊函數(shù)為線性和隨機(jī)，資產(chǎn)價格服從幾何布朗運(yùn)動，考慮離散和連續(xù)出清的情況，運(yùn)用動態(tài)規(guī)劃方法得到最優(yōu)出清策略。儲小俊等[16]對價格沖擊模型作了一般性拓展，在交易對價格的影響為更接近于市場一般情況的隨機(jī)、非線性價格沖擊，建立了隨機(jī)非線性價格沖擊模型；以投資者的頭寸變化作為交易策略的反映，結(jié)果表明在隨機(jī)條件下考慮非線性價格沖擊時，投資者的變現(xiàn)速度明顯地受到限制，在變現(xiàn)期的絕大部分時間內(nèi)以恒定速度變現(xiàn)，同時對最優(yōu)策略進(jìn)行了參數(shù)的敏感性分析：價格波動系數(shù)、風(fēng)險厭惡系數(shù)越大，則前期變現(xiàn)速度越大、資產(chǎn)頭寸減少越快；價格沖擊系數(shù)、及瞬時價格沖擊波動率的增加，變現(xiàn)頭寸的減少越接近于直線的形式；劉宣會等[17]將隨機(jī)LQ控制模型推廣到系統(tǒng)狀態(tài)為跳躍-擴(kuò)散過程的隨機(jī)LQ模型,采用隨機(jī)Lagrange方法得到最優(yōu)反饋控制,然后運(yùn)用該框架去處理數(shù)理金融中的套期保值問題,最后得到了最優(yōu)套期保值策略；唐衍偉等[18]假定股票和期貨服從有漂移項(xiàng)的算術(shù)布朗運(yùn)動，投資者效用為均值-方差形式，價格沖擊為線性，在離散時間框架下，求解單只股票與股指期貨套期保值同步出清問題，得到出清軌跡。

本文在Almgren和Chriss[4-5]研究框架下納入期貨套期保值，保持出清期間內(nèi)套期保值比不變，假定資產(chǎn)價格服從無漂移項(xiàng)的算術(shù)布朗運(yùn)動、永久和暫時價格沖擊均為線性的情況下，研究單只股票與股指期貨同步連續(xù)出清問題。

2 套期保值變現(xiàn)問題

考慮一名投資者在初始零時刻持有一種證券的頭寸為X，計劃在T時間內(nèi)連續(xù)賣出全部股票，投資者在持有期第T個交易日結(jié)束時持有股票頭寸為0。

定義在t時刻，t∈[0,T]，投資者持有的頭寸為x(t)，證券的價格為St，則有：

x(0)=X,x(T)=0

(1)

變現(xiàn)速度為：

(2)

假設(shè)市場價格運(yùn)動缺乏趨勢性，認(rèn)為市場價格服從如下無漂移項(xiàng)的幾何布朗運(yùn)動：

dS=SσdW(t)

(3)

dS=σdW(t)

(4)

投資者變現(xiàn)交易引起的對市場不利影響分為永久沖擊與瞬時沖擊。所謂的永久沖擊是指投資者的變現(xiàn)交易 (賣) 對市場價格的不利影響一直持續(xù)整個變現(xiàn)期[0,T]，而瞬時沖擊只是在時間(t-dt,t)使內(nèi)投資者的實(shí)際成交價格偏離市場的均衡價格。永久沖擊響應(yīng)和瞬時沖擊響應(yīng)都是變現(xiàn)速度的函數(shù)，考慮線性沖擊響應(yīng)：

(5)

由Almgren和 Chriss[5]知，由于永久沖擊響應(yīng)的存在，市場價格運(yùn)動中漂移項(xiàng)變?yōu)?g(v(t))，市場價格變?yōu)椋?/p>

(6)

由于瞬時沖擊響應(yīng)h(v(t))的存在，投資者真正實(shí)現(xiàn)的交易價格為：

(7)

投資者的執(zhí)行成本為：

(8)

其中：

(9)

將(9)代入(8)：

(10)

因?yàn)椋?/p>

(11)

(12)

EC的數(shù)學(xué)期望為：

(13)

EC的方差為：

(14)

同理，假定股指期貨價格服從如下算術(shù)布朗運(yùn)動：

dSf=σfdW(t)

(15)

市場的永久沖擊系數(shù)和暫時沖擊系數(shù)分別為γf>0、ηf>0，套期保值的交易方向同股票交易方向相反，若股票為賣出變現(xiàn)，則期貨為買入變現(xiàn)。

為了保持股票和期貨的同步，股票和期貨頭寸應(yīng)按套期保值比φ進(jìn)行同步變現(xiàn)：

(16)

期貨執(zhí)行成本為：

(17)

股指期貨套期保值股票和期貨同步執(zhí)行成本為：

(18)

因此，執(zhí)行成本的期望和方差可分別求得為：

(19)

式中，ρ為股票和期貨價格的相關(guān)系數(shù)，由于股票和期貨的操作方向相反，因此在計算方差時ρ取負(fù)號，φ為套期保值比。

令

(20)

上式可寫為：

(21)

3 變現(xiàn)策略求解

投資者選擇策略(x(t),v(t))，使得下式取最小值：

U=E(EC)+λV(EC)

(22)

λ是資者的風(fēng)險偏好，λ<0時，投資者偏好風(fēng)險；當(dāng)λ=0時投資者風(fēng)險中性；當(dāng)λ>0時，投資者風(fēng)險厭惡。以下僅討論風(fēng)險厭惡的理性投資者。

令:

(23)

則x*(t)最小值使得U取得最小值，等價于x*(t)使得指標(biāo)泛函J(x(t))取得最小值。

令:

(24)

為使J(x(t))取得最小值，F(xiàn)(x(t))應(yīng)滿足如下形式的歐拉方程：

(25)

(26)

將式(24)代入上式并化簡得到：

(27)

當(dāng)λ>0時，利用邊界條件x(0)=X，x(T)=0可得方程(27)的通解為：

(28)

期貨出清軌跡為xf(t)=φx(t)。

4 參數(shù)分析

投資者初始持有股票頭寸為x(0)=X=107股，計劃在T=5天內(nèi)出清，股票的方差為σs=0.045，永久沖擊系數(shù)為：γs=4.5×10-7，暫時沖擊系數(shù)為：ηs=1.50×10-7，股指期貨的方差為σf=0.025，永久沖擊系數(shù)為：γf=2.5×10-8，暫時沖擊系數(shù)為：ηf=5.5×10-8，套期保值比為φ=0.5，股票和期貨相關(guān)系數(shù)為ρ=0.8，假定投資者的風(fēng)險厭惡系數(shù)為λ=10-4，參數(shù)計算結(jié)果如下表：

表1 出清參數(shù)計算

(一)風(fēng)險厭惡系數(shù)對出清軌跡的影響

當(dāng)風(fēng)險厭惡程度較大時，投資者傾向于在出清初期出清較大規(guī)模的頭寸，以降低后期的風(fēng)險，而當(dāng)風(fēng)險厭惡程度較小時，投資者傾向于更小的出清頭寸，也更接近勻速率出清，如圖1所示。

圖1 不同風(fēng)險厭惡程度的出清軌跡

圖2 不同組合標(biāo)準(zhǔn)差的出清軌跡

(二)組合標(biāo)準(zhǔn)差對出清軌跡的影響

組合標(biāo)準(zhǔn)差越大，則出清軌跡下移，投資者在出清初期更傾向于出清更多的頭寸以降低波動風(fēng)險；當(dāng)組合標(biāo)準(zhǔn)差變小，出清軌跡上移，投資者更傾向于更緩慢出清，如圖2所示。

(三)相關(guān)系數(shù)不變，不同套期保值比的出清軌跡

(1)ρ=0時或φ=0時，出清過程退化為不考慮期貨套保的情況，即純粹的股票出清；

(2)當(dāng)ρ>0且φ>0，隨套期保值比的增加，出清軌跡向上移動，即隨套期保值比的增加，每次的出清量逐漸減少，投資者更傾向于緩慢的出清過程，如圖3所示。

(3)當(dāng)ρ<0且φ>0，隨套期保值比的增加，出清軌跡向下移動，即隨套期保值比的增加，每次的出清量逐漸增加，投資者傾向于更快速的出清過程，如圖4所示。

圖3 ρ=0.8時不同套期保值比的出清軌跡

圖4 ρ=-0.8時不同套期保值比的出清軌跡

(四)套期保值比不變，不同相關(guān)系數(shù)的出清軌跡(圖5)

(1)當(dāng)φ>0且ρ>0，隨相關(guān)系數(shù)的增加，出清軌跡向上移動，即隨相關(guān)系數(shù)的增加，每次的出清量逐漸減少，出清量與相關(guān)系數(shù)呈反向變化，且隨套期保值比的增加，其差異越大。

(2)ρ<0時，φ>0，隨相關(guān)系數(shù)的增加，出清軌跡向下移動，即隨相關(guān)系數(shù)絕對值的增加，每次的出清量逐漸減增加，出清量與相關(guān)系數(shù)絕對值呈同向變化，且隨套期保值比的增加，其差異越大。

圖5 不同相關(guān)系數(shù)的出清軌跡

5 結(jié)語

假定股票和期貨服從無漂移項(xiàng)的算術(shù)布朗運(yùn)動，投資者效用為均值-方差形式，價格沖擊為線性沖擊，在連續(xù)時間框架下，求取了單只股票與股指期貨套期保值在給定出清時間內(nèi)的同步出清問題，得到出清軌跡。

參數(shù)分析表明：當(dāng)風(fēng)險厭惡程度較大時，投資者傾向于在出清初期出清較大規(guī)模的頭寸，以降低后期的風(fēng)險；組合標(biāo)準(zhǔn)差越大，則出清軌跡下移，投資者在出清初期更傾向于出清更多的頭寸以降低波動風(fēng)險；當(dāng)ρ>0，隨套期保值比的增加，投資者更傾向于緩慢的出清過程，當(dāng)ρ<0則相反；在給定套期保值比的情況下，出清速率與相關(guān)系數(shù)呈反向變化。

由于采用股指期貨進(jìn)行套期保值，使得組合標(biāo)準(zhǔn)差降低，起到平抑組合波動的作用，因而可以采取比無套期保值情況下更為緩慢的出清過程。

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