基于財(cái)富效用的產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)的計(jì)算求解和參數(shù)分析

楊忠直，孫皓辰，彭俊偉

(1.上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200052；2.天津大學(xué)管理學(xué)院，天津 300072)

1 引言

有關(guān)財(cái)富效用的起源來(lái)自1738年Bernoulli[1]發(fā)表了題為“一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量新理論的解釋”求解了圣彼得堡悖論。研究的前提是：沒(méi)有理由假設(shè)兩個(gè)人經(jīng)受相同的風(fēng)險(xiǎn)，每個(gè)人都將期望獲得更接近實(shí)現(xiàn)的希求，每個(gè)人所期望的風(fēng)險(xiǎn)一定被認(rèn)為在價(jià)值上相等。他認(rèn)為，每個(gè)人都是根據(jù)個(gè)人的具體財(cái)物條件估計(jì)來(lái)自任何風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)的前景；一項(xiàng)物品的價(jià)值(value)不是基于它的價(jià)格(price)，而是基于它所產(chǎn)生的效用(utility)；物品的價(jià)格僅僅依賴于物品本身，而效用取決于估價(jià)人的特殊環(huán)境；進(jìn)一步舉例說(shuō)：毫無(wú)疑問(wèn)，同樣贏得一千達(dá)克特(ducats)對(duì)于一個(gè)窮光蛋來(lái)說(shuō)要比財(cái)主更有意義；從等量的盈利中一個(gè)窮人要比一個(gè)富人獲得更大的效用。這就是Bernoulli[1]關(guān)于效用的思想：同一物品對(duì)于不同的人，不同的用途和不同的使用環(huán)境有不同的效用，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到人們對(duì)物品的偏好，這就構(gòu)思了效用函數(shù)的結(jié)構(gòu)。文中Bernoulli[1]陳述了期望收益的效用的計(jì)算方法，發(fā)現(xiàn)財(cái)富的任何一個(gè)微小增加都將引起效用增加，而這個(gè)效用增加又反比于已經(jīng)擁有財(cái)富的數(shù)量，這就是效用函數(shù)的重要性質(zhì)：隨著財(cái)富數(shù)量的增加效用值遞增(不滿足定律)，而隨著財(cái)富數(shù)量的增加邊際效用遞減(滿足程度遞減定律)。Bernoulli根據(jù)每個(gè)人固有的生產(chǎn)能力提出了對(duì)應(yīng)于效用等于零的個(gè)人初始貨物擁有量，也是承擔(dān)零風(fēng)險(xiǎn)的財(cái)富現(xiàn)狀，對(duì)應(yīng)的效用值即為等于零的保本效用值(status quo)，并給出了道德期望和期望效用的計(jì)算公式和對(duì)數(shù)曲線。與此不同，消費(fèi)者理論中的效用及效用函數(shù)均是以商品數(shù)量為自變量，但也仍然遵循Bernoulli 1738年提出的不滿足定律和滿足程度遞減定律，之前在國(guó)內(nèi)外經(jīng)濟(jì)類文獻(xiàn)中沒(méi)有看到此類研究報(bào)道。

Stanley[2]最早提出商品交換原理：交換必須使交易雙方的效用增加或至少不減，指出雙方的效用平衡將導(dǎo)致交換。Ysidro[3]利用效用函數(shù)導(dǎo)出了二人商品交換的邊際效用均等條件，即著名的Edgeworth Box模型。von Neumann和Morgenstern[4]系統(tǒng)地陳述了商品交換的協(xié)商博弈理論，尤其是非零和博弈理論為交易人的互惠共贏問(wèn)題的研究打下基礎(chǔ)。Nash[5]用效用函數(shù)建立了二人商品交換的數(shù)學(xué)模型，以描述交易人渴望最大化其在商品交換中的盈利。Nash[6]進(jìn)一步提出了協(xié)商交易中交易人具有威脅(threats)的作用，即交易人各自的保留效用值(status quo)。Harsanyi和Selten[7]提出了不完備信息件下二人協(xié)商博弈的廣義Nash求解模型。Svejnar[8]給出了不一致協(xié)議的憂慮(fear of disagreement)的定義和協(xié)商勢(shì)力(bargaining power)的定義，并進(jìn)一步得到在協(xié)商交易達(dá)到均衡時(shí)滿足的公理?xiàng)l件。Morgenstem[9]和Rubinstein[10]論述和證明了輪番討價(jià)還價(jià)均衡解的形成。Binmore, Swierzbinski, Tomlinson[11]實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了Stahl-Rubinstein Bargaining Model。上述研究均沒(méi)有發(fā)現(xiàn)數(shù)值求解，更沒(méi)有對(duì)協(xié)商交易均衡價(jià)格作參量分析，應(yīng)用案例也沒(méi)有看到。國(guó)內(nèi)作者對(duì)于上述著名文獻(xiàn)并不陌生，但是卻沒(méi)有比較成功的應(yīng)用案例，進(jìn)步性的研究更少。本文作者[12-13]運(yùn)用凸分析方法構(gòu)造了業(yè)主與承包商的投資，質(zhì)量和進(jìn)度變量的多屬性效用函數(shù)，建立了協(xié)商力系數(shù)線性加權(quán)和冪加權(quán)的合同協(xié)商談判模型和求解方程，運(yùn)用數(shù)字模擬求解合同訂立，合同變更，合同索賠和合同仲裁等問(wèn)題。

本文基于上述理論方法，結(jié)合作者[14]產(chǎn)權(quán)交易協(xié)商定價(jià)理論模型，運(yùn)用某國(guó)有科研機(jī)構(gòu)的制藥廠轉(zhuǎn)讓為案例，說(shuō)明產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)的建模與數(shù)值求解。經(jīng)評(píng)估該企業(yè)產(chǎn)權(quán)的資本量現(xiàn)值為700萬(wàn)元人民幣，預(yù)期收益現(xiàn)值1500萬(wàn)元人民幣。設(shè)產(chǎn)權(quán)賣方的交易底價(jià)為1000萬(wàn)元，產(chǎn)權(quán)買方的交易底價(jià)為1300萬(wàn)元。在求解均衡協(xié)商交易價(jià)格的基礎(chǔ)上，分別對(duì)交易雙方的交易底價(jià)，偏好，協(xié)商能力，信息擁有量，以及交易人財(cái)富擁有量對(duì)交易定價(jià)的影響進(jìn)行數(shù)值分析。本文通過(guò)這個(gè)案例研究，說(shuō)明含有多種因素(參量)影響的產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)的建模與模擬求解方法。

2 效用函數(shù)設(shè)計(jì)

財(cái)富效用函數(shù)是指以財(cái)富數(shù)量為自變量的效用函數(shù)，并遵照效用函數(shù)不滿足定律和滿足程度遞減定律。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中財(cái)富效用函數(shù)及其性質(zhì)構(gòu)造產(chǎn)權(quán)賣方的財(cái)富效用函數(shù)為：

(1)

構(gòu)造產(chǎn)權(quán)買方的財(cái)富效用函數(shù)為：

(2)

其中，c表示產(chǎn)權(quán)的成本現(xiàn)值，v表示產(chǎn)權(quán)的預(yù)期收益現(xiàn)值，u=v-c表示產(chǎn)權(quán)的預(yù)期利潤(rùn)空間，α和β分別為交易人對(duì)產(chǎn)權(quán)價(jià)格的偏好指數(shù)，0≤α,β≤1。

根據(jù)案例數(shù)據(jù)，設(shè)c=700,v=1500,u=v-c=800,α=0.5,β=0.5，p為產(chǎn)權(quán)交易價(jià)格變量，于是產(chǎn)權(quán)賣方的財(cái)富效用函數(shù)為：

(3)

產(chǎn)權(quán)買方的財(cái)富效用函數(shù)為：

(4)

3 產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)模型與求解方程

本文構(gòu)造威懾力系數(shù)冪加權(quán)的福利函數(shù)如下：

(5)

其中，λ表示包含交易人的協(xié)商勢(shì)力和信息量在內(nèi)的威懾力系數(shù)加權(quán)指數(shù)，其他參數(shù)同上。

產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易的目標(biāo)是使(5)的福利函數(shù)取最大值，于是對(duì)(5)按照最優(yōu)化原理得到基本求解方程為：

(6)

(7)

表示產(chǎn)權(quán)賣方的加權(quán)邊際效用，而令：

-p,λ)

(8)

表示產(chǎn)權(quán)買方的加權(quán)邊際效用。于是(6)表示：

(9)

這被稱作加權(quán)邊際效用零和方程。從力學(xué)角度看，這符合牛頓力學(xué)第三定律。可以看出，產(chǎn)權(quán)賣方的加權(quán)邊際效用MUs(p-c,λ)包含了產(chǎn)權(quán)買方的影響，而產(chǎn)權(quán)買方的加權(quán)邊際效用MUb(v-p,λ)包含了產(chǎn)權(quán)賣方的影響，說(shuō)明產(chǎn)權(quán)交易雙方的討價(jià)還價(jià)的能力互相影響！

4 對(duì)稱條件下產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易的基本均衡價(jià)格

圖1 對(duì)稱條件下效用函數(shù)與福利函數(shù)的最大值

在圖1中，交易者二人的效用函數(shù)相交(效用值相等)處福利函數(shù)恰好取得最大值，這只在效用函數(shù)的結(jié)構(gòu)對(duì)稱，威懾力對(duì)稱的條件下成立。求解均衡價(jià)格的加權(quán)邊際效用零和方程的計(jì)算圖解如圖2所示：

圖2 對(duì)稱條件下加權(quán)邊際效用零和原理

在效用值域的有效前沿和福利函數(shù)的相切點(diǎn)指示出協(xié)商交易定價(jià)的最優(yōu)解如圖3所示：

圖3 對(duì)稱條件下效用值域的協(xié)商交易均衡價(jià)格的確定

5 參數(shù)變動(dòng)對(duì)均衡價(jià)格的影響分析

5.1 不對(duì)稱偏好對(duì)產(chǎn)權(quán)交易定價(jià)的影響

若交易雙方的偏好不對(duì)稱α≠β,，設(shè)賣方偏好系數(shù)α=0.6，買方偏好系數(shù)為β=0.5，其它條件不變，則解出均衡價(jià)格為1136.36萬(wàn)元。此時(shí)，迫使均衡價(jià)格上移，效用函數(shù)值分別為Us(p=1136.36)=0.6951和Ub(p=1136.36)=0.6742，福利函數(shù)的最大值為W(1136.36)=0.6830，計(jì)算圖解如圖4所示：

圖4 偏好不對(duì)稱的協(xié)商交易定價(jià)圖解

5.2 保留價(jià)格對(duì)產(chǎn)權(quán)交易定價(jià)的影響

圖5 具有保留價(jià)格的協(xié)商交易定價(jià)原理

5.3 威懾力對(duì)產(chǎn)權(quán)交易定價(jià)的影響

設(shè)產(chǎn)權(quán)賣方的威懾力較強(qiáng)，設(shè)λ=0.6,1-λ=0.4，保留價(jià)格為ps=1000,pb=1300，其他參數(shù)不變。由(6)解出均衡價(jià)格為1180.00萬(wàn)元，高于基本均衡價(jià)格1100.00萬(wàn)元，這說(shuō)明產(chǎn)權(quán)賣方比買方具有更強(qiáng)的威懾力，推動(dòng)均衡價(jià)格上移。計(jì)算圖解如圖6所示：

圖6 不對(duì)稱威懾力的協(xié)商交易定價(jià)原理

在均衡價(jià)格1180.00，Us(1180)=0.7746，Ub(1180)=0.6325，福利函數(shù)的增量最大值為W(1180)=0.1496。

5.4 信息不對(duì)稱對(duì)產(chǎn)權(quán)交易定價(jià)的影響

圖7 不對(duì)稱信息的協(xié)商交易定價(jià)原理

5.5 產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)的綜合求解

(10)

由(6)得到均衡價(jià)格的求解方程為：

(11)

解出均衡價(jià)格為p*=1169.17萬(wàn)元，Us(1169.17)=0.7260，Ub(1169.17)=0.6431，福利函數(shù)的增量最大值為W(1169.17)=0.1899。加權(quán)邊際效用零和方程如圖8所示。

圖8 綜合條件下協(xié)商交易定價(jià)原理

6 財(cái)富擁有量變動(dòng)對(duì)均衡價(jià)格的影響

Bernoulli[1]舉例解釋了富人和窮人對(duì)于獲得一單位的增量收益所帶來(lái)的增量效用是不同的。在產(chǎn)權(quán)交易中給定獲利水平，擁有財(cái)富量大的富人每獲得到一單位的增量收益所帶來(lái)的增量效用低于擁有財(cái)富量小的窮人每獲得到一單位的增量收益所帶來(lái)的增量效用，即富人的收益邊際效用小于窮人的收益邊際效用，這就是所謂的財(cái)富效應(yīng)。設(shè)產(chǎn)權(quán)賣方的財(cái)富擁有量大于其買方的財(cái)富擁有量，將會(huì)有以下結(jié)果：

MUs(p-c)≤MUb(v-p)|p=p0

(12)

在產(chǎn)權(quán)交易達(dá)到均衡時(shí)(9)式可以寫(xiě)為：

w×MUs(p-c,λ)+MUb(v-p,λ)=0

(13)

其中，w為財(cái)富系數(shù)，w≥1。(13)式可用來(lái)計(jì)算購(gòu)買方財(cái)富擁有量變動(dòng)或具有不同財(cái)富擁有量的購(gòu)買人與出售方協(xié)商交易的均衡價(jià)格。將(13)轉(zhuǎn)換為(6)就有：

(14)

不妨設(shè)w=1.2，這意味著相對(duì)于賣方的財(cái)富擁有量，買方的財(cái)富擁有量增加為1.2倍。于是將對(duì)稱條件下產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易的基本參數(shù)代入(14)得到產(chǎn)權(quán)交易的均衡價(jià)格為1136.36。這個(gè)均衡價(jià)格比基本均衡價(jià)格1100.00高，說(shuō)明購(gòu)買人用于購(gòu)買標(biāo)底物的財(cái)富量增加，其報(bào)價(jià)或接受價(jià)格傾向于更高，均衡價(jià)格也高?；蛘哒f(shuō)明另一具有更高財(cái)富實(shí)力的競(jìng)買人與出售方的協(xié)商交易產(chǎn)生的一個(gè)更高的均衡價(jià)格。

7 結(jié)語(yǔ)

本文建立了廣義納什協(xié)商交易(generalized Nash bargaining)的產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)模型，導(dǎo)出了加權(quán)邊際效用零和方程(zero-sum equations of weighted marginal utility)，這與Svejnar[8]的研究結(jié)論一致。利用邊際效用零和方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了只有交易人之間的加權(quán)邊際效用之和為零時(shí)才能使交易人的福利函數(shù)取得最大值，解出的均衡價(jià)格即為公允定價(jià)，這與交易人的效用值是否相等沒(méi)有關(guān)系。本文對(duì)交易人的偏好(preference)不對(duì)稱，威脅點(diǎn)(threat points)不對(duì)稱，協(xié)商勢(shì)力(bargaining power)不對(duì)稱和信息(information)不對(duì)稱等境況的協(xié)商交易均衡求解進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。交易人擁有財(cái)富的多寡和購(gòu)買實(shí)力的大小也是影響報(bào)價(jià)與交易價(jià)格的重要因素。本文的計(jì)算采用直接計(jì)算的方法，比運(yùn)用單參量或多參量的解析求解要簡(jiǎn)單得多，也不影響結(jié)果的精確性，其研究結(jié)果為產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易的機(jī)制設(shè)計(jì)提供了科學(xué)依據(jù)。本文是以確定性模型展開(kāi)分析，這并不難將其隨機(jī)化以求解不確定性問(wèn)題，而不確定性問(wèn)題也恰恰是在確定性模型的基礎(chǔ)上將其變量隨機(jī)化的。

在使用中首先要遵循不滿足定律和滿足程度遞減定律構(gòu)造交易人的財(cái)富效用函數(shù)，使財(cái)富效用函數(shù)具有凹性，以使協(xié)商域的凸性，保證均衡解的唯一性。然后通過(guò)理論設(shè)計(jì)或?qū)灰兹诉M(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)定交易人的偏好構(gòu)造交易人的財(cái)富效用函數(shù)。進(jìn)而就要獲取交易人的交易低價(jià)，計(jì)算保留效用值，估測(cè)交易人所掌握的有關(guān)標(biāo)底物的信息量，推斷交易人所具有的協(xié)商勢(shì)力，計(jì)算交易人的威懾力系數(shù)。接著構(gòu)建協(xié)商交易的福利最大化模型，利用加權(quán)邊際效用零和方程試算均衡交易價(jià)格或交易數(shù)量。最后對(duì)參數(shù)及模型進(jìn)行調(diào)整得到最終解決方案。

本文是以一個(gè)案例作為研究方式，旨在解釋如何運(yùn)用財(cái)富效用函數(shù)建立產(chǎn)權(quán)交易定價(jià)模型以求解產(chǎn)權(quán)交易價(jià)格的參考值。其研究結(jié)論可以廣范應(yīng)用于任何物品和資產(chǎn)協(xié)商交易均衡價(jià)格的測(cè)算，包括土地使用權(quán)，房產(chǎn)權(quán)，企業(yè)產(chǎn)權(quán)，開(kāi)礦產(chǎn)權(quán)，工程承包與合同糾紛處理等方面的資產(chǎn)或產(chǎn)權(quán)的交易價(jià)格的測(cè)定，還可用于產(chǎn)權(quán)或各種物品的拍賣價(jià)格的測(cè)定。本文的研究方法還可進(jìn)一步擴(kuò)展到多維變量的建模與模擬求解，可應(yīng)用于工資與福利協(xié)商談判，經(jīng)濟(jì)利益協(xié)商談判，政治事件協(xié)商談判，國(guó)際事務(wù)協(xié)商談判和戰(zhàn)爭(zhēng)軍備協(xié)商談判等；甚至可以推廣到三人以上的協(xié)商博弈問(wèn)題，如網(wǎng)絡(luò)協(xié)商博弈或多邊關(guān)系的協(xié)商求解。

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