3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度和彈性變形的解析法分析*

葉 勇，康 亮

(重慶電子工程職業(yè)學(xué)院機(jī)電學(xué)院，重慶 401331)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度是機(jī)構(gòu)平臺(tái)在外力作用下，由于彈性元件的變形引起的位移大小的度量，反應(yīng)了機(jī)構(gòu)抵御變形的能力，剛度性能不僅對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性有影響，而且決定了負(fù)載作用下機(jī)構(gòu)的定位精度，更高的剛度允許更高的加工速度［1］。因此在初始設(shè)計(jì)階段，分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度和彈性變形很重要［2-3］。

對(duì)于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度，許多學(xué)者也做了研究。JOSHI等［4］分析和比較了Tricept機(jī)構(gòu)和3-UPU機(jī)構(gòu)的剛度模型。

HUANG等［5］對(duì)一種tripod-based并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了剛度分析。

LI［6］等分析了3-PUU機(jī)構(gòu)的剛度。

韓書葵等［7］用螺旋理論建立了一種新型4自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型。

張勇等［8］建立3自由度可約移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-PPRR的剛度模型。

李劍鋒等［9］對(duì)具有大位置空間的2PUS-PU3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度進(jìn)行了分析。

筆者以3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，通過(guò)解析方法研究分支剛度伴隨矩陣和彈性變形，從而求解機(jī)構(gòu)總的剛度矩陣和彈性變形，并分析機(jī)構(gòu)剛度和位姿、廣義六維力之間的關(guān)系。

1 3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度和彈性變形

1.1 3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其受力情況

圖1所示為3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖及其受力情況圖。

由文獻(xiàn)［4］中并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的約束力位置和方向的約束情況可知3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中既不存在約束力，也無(wú)約束力矩。3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)m、靜平臺(tái)B以及6個(gè)SPS分支構(gòu)成，每個(gè)分支通過(guò)兩個(gè)球副S連接與m和B，分支上有能夠使驅(qū)動(dòng)分支伸長(zhǎng)或縮短的驅(qū)動(dòng)副-移動(dòng)副P副，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖和受力情況如圖1所示。整個(gè)工作載荷被簡(jiǎn)化為作用在動(dòng)平臺(tái)m的，上的廣義六維力(F，T)，(F，T)平衡于機(jī)構(gòu)本身產(chǎn)生的6個(gè)驅(qū)動(dòng)力力Fai(i=1，2，3…6)。驅(qū)動(dòng)力Fai沿著ri作用在ri上的Bi上。設(shè){B}為靜平臺(tái)B中心點(diǎn)O處的坐標(biāo)系O-XYZ。

基于虛功原理，從參考文獻(xiàn)［5］中導(dǎo)出3/6-SPS的靜力學(xué)方程為:

式中:J是一個(gè) 6×6 的雅克比矩陣，δi(i=1，2，3…6)是驅(qū)動(dòng)力方向的單位矢量，方向沿ri，ei是從o到bi的矢量。

圖1 3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖及其受力情況

1.2 3/6-SPS分支r i的伴隨矩陣和彈性變形

為了便于計(jì)算先做如下假設(shè):

(1)連續(xù)性假設(shè):認(rèn)為組成固體的物質(zhì)毫無(wú)間隙地充滿了固體的幾何空間;

(2)均勻性假設(shè):認(rèn)為從構(gòu)件內(nèi)任取一部分，不論體積大小如何，其力學(xué)性能完全相同;

(3)各項(xiàng)同性假設(shè):認(rèn)為固體在各個(gè)方向上的力學(xué)性能完全相同;

(4)彈性小變形條件:固體因外力作用而引起的變形，限于變形的大小遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于構(gòu)件原始尺寸的情況，且在外力解除后又可恢復(fù)原狀;

(5)不考慮各轉(zhuǎn)動(dòng)副處的變形和間隙;

(6)動(dòng)平臺(tái)比各鏈桿的尺寸大很多，其變形遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于桿的變形，為計(jì)算動(dòng)平臺(tái)上中心點(diǎn)變形及協(xié)調(diào)關(guān)系，假定動(dòng)平臺(tái)為剛體。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)中每個(gè)SPS分支只受軸向力作用而產(chǎn)生拉壓彈性變形，因此可以將各個(gè)分支看成是只受拉壓作用的二力桿。設(shè)定如下參數(shù):r1i，B1i，I1i為分支活塞的長(zhǎng)度，截面積和慣性矩;r1i-r1i，B2i，I2i為分支液壓缸的長(zhǎng)度，截面積和慣性矩;Ei為分支ri的彈性模量。當(dāng)每個(gè)驅(qū)動(dòng)力Fai(i=1，2，3)沿著ri作用在驅(qū)動(dòng)分支ri上時(shí)，分支上產(chǎn)生的軸向彈性微變形δai(如圖2所示)為:

圖2 SPS分支在驅(qū)動(dòng)力F a i作用下的軸向變形

kai是SPS分支的軸向剛度，其推導(dǎo)過(guò)程參見文獻(xiàn)［6］。由式(2)可導(dǎo)出分支的力變形方程為:

式中:Kp是3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)分支ri的一個(gè)6×6的伴隨矩陣。

1.3 3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的總剛度矩陣和彈性變形

根據(jù)虛功原理［7-8］有，(Fa1，F(xiàn)a2，F(xiàn)a3，F(xiàn)a4，F(xiàn)a5，F(xiàn)a6)沿并聯(lián)機(jī)構(gòu)變形產(chǎn)生的虛功總量與由廣義六維力(F，T)沿在{B}里的點(diǎn)o的變形產(chǎn)生的虛功之和為0，如式(5)所示。令(d Xo，d Yo，d Zo)為{B}里 m彈性微變形的 3個(gè)線位移分量，(dφx，dφy，dφz)為{B}里m彈性微變形的3個(gè)角位移分量。

結(jié)合式(1)可得:

由式(1)～(6)可得到:

令K= ( - JTKpJ)為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的廣義剛度矩陣，K是6×6對(duì)稱矩陣，則它的逆陣K-1必然存在。當(dāng)給定輸入的外載荷時(shí)，已知機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣J與Kp也就確定下來(lái)，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)處的變形便可由式(8)解得:

2 3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)彈性變形算例對(duì)比分析

在3SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，令初始獨(dú)立姿態(tài)變量(α，β，γ，Xo，Yo，Zo)隨時(shí)間 t變化趨勢(shì)如圖3(a)、(b)所示。設(shè) L=600 mm，l=600 mm，F(xiàn)=［-2，-3，-6］TkN，T=［6，8，10］TN·m，Ei=2.11×1011Pa，EiI1i=EiI2i=26 502 N·m2，B1i=B2i=0.0013 m2。通過(guò)分析相關(guān)方程組，可得到ri的伸長(zhǎng)量、驅(qū)動(dòng)分支的軸向變形、驅(qū)動(dòng)力以及動(dòng)平臺(tái)的最終彈性變形，分別如圖3(c)～(g)所示。

綜合圖3知，機(jī)構(gòu)在10 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程如下:點(diǎn)o水平方向上沿X、Y軸對(duì)角線移動(dòng)，豎直方向上不斷上升，并且動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)在發(fā)生改變，是一個(gè)逐漸遠(yuǎn)離中心位置的過(guò)程;而由圖3(e)知，機(jī)構(gòu)在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)o的位置偏移幅值do在不斷減小，說(shuō)明機(jī)構(gòu)在遠(yuǎn)離中心位置時(shí)，剛度在增大，顯然違背常理。

圖3 3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性分析解

為了弄清機(jī)構(gòu)的剛度變化情況，對(duì)該機(jī)構(gòu)再規(guī)劃一段軌跡，施加同樣的六維力F=［-2，-3，-6］TkN，T=［6，8，10］TN·m，觀察其在這段軌跡的受力和彈性變形情況。令初始獨(dú)立姿態(tài)變量(α，β，γ，Xo，Yo，Zo)隨時(shí)間t變化趨勢(shì)如圖4(a)、(b)所示，可得到ri的伸長(zhǎng)量、驅(qū)動(dòng)力、動(dòng)平臺(tái)的最終彈性變形，分別如圖4(c)～(f)所示。

由圖4(b)所示，機(jī)構(gòu)此段運(yùn)動(dòng)過(guò)程如下:點(diǎn)o水平方向上沿X、Y軸對(duì)角線的負(fù)方向移動(dòng)，與第一次運(yùn)動(dòng)方向相背，豎直方向上不斷上升，并且動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)在發(fā)生變化，也是一個(gè)逐漸遠(yuǎn)離中心位置的過(guò)程;而由圖4(d)～(f)知，機(jī)構(gòu)在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，o點(diǎn)的位置偏移幅值do在不斷增大，角度變化幅值dfo也在不斷增大，符合常理。機(jī)構(gòu)在遠(yuǎn)離中心位置時(shí)，剛度在減小，變形在增大。

圖4 第二種工況下3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性分析解

仔細(xì)對(duì)比兩段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的受力和彈性變形情況，可看到，第一種工況時(shí)機(jī)構(gòu)分支的驅(qū)動(dòng)力幅值基本隨時(shí)間減小，第二種工況時(shí)驅(qū)動(dòng)力的幅值基本隨時(shí)間增大。而驅(qū)動(dòng)力的作用直接影響各個(gè)分支的彈性變形情況，即第一種工況時(shí)各個(gè)分支的變形均隨時(shí)間減小，第二種工況時(shí)各個(gè)分支的變形隨時(shí)間不斷增大，而分支變形又和動(dòng)平臺(tái)的位姿變化密切相關(guān)，分支變形越小，動(dòng)平臺(tái)位姿變化越小，由此可以解釋第一段軌跡不合常理，第二段又符合常理的原因。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)求解3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的驅(qū)動(dòng)分支的彈性變形，導(dǎo)出驅(qū)動(dòng)/約束分支的伴隨矩陣，根據(jù)驅(qū)動(dòng)分支的6×6雅克比矩陣和伴隨矩陣，導(dǎo)出3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的總剛度矩陣和彈性變形。3/6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度隨著動(dòng)平臺(tái)的位姿變化而變化，一般情況下機(jī)構(gòu)在中心位置時(shí)剛度較大，當(dāng)機(jī)構(gòu)逐漸遠(yuǎn)離中心位置時(shí)，剛度會(huì)逐漸減小，動(dòng)平臺(tái)位姿變形會(huì)增大，但并不是對(duì)所有的情況均成立。機(jī)構(gòu)的剛度和機(jī)構(gòu)的位姿、所受廣義六維力有密切關(guān)系，即使是在同一位姿下的同一個(gè)機(jī)構(gòu)，受不同方向的力作用時(shí)，其剛度性能不一致;而受到相同力作用的同一機(jī)構(gòu)，在不同位姿下，其剛度性能也不盡相同。研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性變形，必須理清剛度和位姿、廣義六維力之間的關(guān)系。

此外，用解析法建立本文并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度模型時(shí)，僅考慮連桿和驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)等組件彈性的影響，所建模型缺乏一定的完備性，勢(shì)必會(huì)影響剛度預(yù)測(cè)的精確度，并且所建模型還缺乏對(duì)鉸鏈間隙以及預(yù)應(yīng)力影響的考慮，因此很多研究?jī)?nèi)容還需要進(jìn)一步深入開展。

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