與“比例”相關(guān)的數(shù)學(xué)知識的歸納與點(diǎn)撥

國丹丹

【知識歸納】

1.比例：表示兩個比相等的式子.

2.比例的性質(zhì)：在比例里，兩個外項(xiàng)之積等于兩個內(nèi)項(xiàng)之積.

符號語言：若a：b=c：d，則ad=bc；若a/b= c/d，則ad=bc.

3.正比例：若y/x=k（k為常數(shù)），則y與x成正比例.

4.反比例：若滿足xy=k（k為常數(shù)），則y與x成反比例.

5.解比例：求比例中未知項(xiàng)的過程.

6.判斷兩個比是否能成比例的方法：

（1）根據(jù)比例的意義判斷兩個比是否能成比例.

若兩個比的比值相等，則它們成比例，否則不成比例.

（2）根據(jù)比例的基本性質(zhì)判斷兩個比是否能成比例.

若一個比例式的兩個比的外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積，則它們成比例，否則不成比例.

7.根據(jù)比例的意義判斷四個數(shù)是否成比例的步驟：

（1）把四個數(shù)從小到大排序；

（2）第一個數(shù)與第二個數(shù)的比值若等于第三個與第四個數(shù)的比值，則這四個數(shù)成比例，否則不成比例.

8.解比例的方法：

（1）利用除法意義解比例；

（2）利用比例的基本性質(zhì)解比例.

【考題解析】

例1.反比例函數(shù)y=（1-2k）/x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，3），則k的值為（）

A.6B.-6C.7/2D.-7/2

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

分析：把點(diǎn)（-2，3）代入已知函數(shù)解析式，列出關(guān)于k的方程，通過解方程來求k的值.

解答：由題意，得3=（1-2k）/（-2 ），解得，k=7/2.故選C.

點(diǎn)評：本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，經(jīng)過函數(shù)的某點(diǎn)一定在函數(shù)的圖象上.

例2.在一個比例中，兩個比的比值都是3，這個比例的兩個內(nèi)項(xiàng)都是6，寫出這個比例式.

考點(diǎn)：比例的意義和基本性質(zhì).

分析：根據(jù)題意可知，求的是這個比例的兩個外項(xiàng)，也就是第一個比缺少比的前項(xiàng)，就用比值乘上比的后項(xiàng)；第二個比缺少比的后項(xiàng)，就用比的前項(xiàng)除以比值；分別求出后，再寫出比例即可.

解答：第一個比的前項(xiàng)：3×6=18，第二個比的后項(xiàng)：6÷3=2，這個比例式是：18：6=6：2.

點(diǎn)評：解決此題關(guān)鍵是根據(jù)比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值之間的關(guān)系，先分別求得這兩個比的前項(xiàng)或后項(xiàng)，也就是這個比例的兩個外項(xiàng)，進(jìn)而寫出此比例即可.

例3.如果y/4= x/3，，那么x和y成___比例，如果4/y= x/3，那么x和y成___比例.

分析：根據(jù)正比例和反比例的意義：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，即y/x=k（一定），y與x成正比例；那么反比例關(guān)系式用字母表示為：xy=k（一定），y與x成反比例，進(jìn)行解答即可.

解答：如果y/4= x/3，則3y=4x，即y：x=4：3（定值），所以y與x成正比例；如果4/y= x/3，根據(jù)比例的基本性質(zhì)得：xy=12（一定），所以y與x成反比例；故答案為：正，反.

點(diǎn)評：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)成正比例和反比例的意義，進(jìn)行判斷即可.

例4.大小兩瓶油共重2.7千克，大瓶油用去0.2千克，剩下的油與小瓶油的重量比是3：2，求大小瓶子原來分別裝油（）千克

A.1.7，1.0B.1.6，1.1

C.1.5，1.2D.1.4，1.3

分析：設(shè)大瓶原來裝有油x千克，則小瓶原來有油（2.7-x）千克，后來大瓶有油（x-0.2）千克，再由“剩下的油與小瓶的油的重量比是3：2”，列出比例解答即可.

解答：設(shè)大瓶原來裝有油x千克，則小瓶原來有油（2.7-x）千克，則

（x-0.2）：（2.7-x）=3：2

3（2.7-x）=2（x-0.2）8.1-3x=2x-0.4 5x=8.1+0.4 x=8.5÷5 x=1.7

小瓶原來有油：2.7-1.7=1（千克）.

答：大瓶原來裝有油1.7千克；小瓶原來有油1千克.故選：A

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意用未知數(shù)表示出大瓶剩下的油與小瓶的油的重量，列出比例解答即可.

【能力提高】

1.修路隊(duì)修一條960米的公路，前12天修了全場的四分之一，照這樣的速度，再有多少天可以修完？

2.啤酒生產(chǎn)情況記錄表如下：

請同學(xué)們完成下面的問題.

（1）表中（）和（）是相關(guān)聯(lián)的量.

（2）工作總量隨工作時間是如何變化的？

（3）任意寫出三個相對應(yīng)的工作總量和工作時間的比，并算出它們的比值.它們的比值有變化嗎？

（4）比值實(shí)際上表示（），用式子表示它們的關(guān)系.

3.新學(xué)期開學(xué)，小明和小華共買了132支碳素筆，若把小明的碳素筆的五分之一給小華.這樣小明和小華現(xiàn)有碳素筆的支數(shù)比為1：2.

（1）若小明原有a只碳素筆，那么小明和小華現(xiàn)在各有多少支碳素筆？

（2）小明和小華兩人原來各有多少支碳素筆？

4.生產(chǎn)一批零件，計(jì)劃每天生產(chǎn)20個，6天可以完成，實(shí)際每天多生產(chǎn)4個.

（1）多少天可以完成？

（2）實(shí)際每天生產(chǎn)的零件數(shù)比計(jì)劃多百分之幾？

答案：1.解：設(shè)再有x天可以修完. 960×3/4：x=960×1/4：12 720：x=240：12 240x=720×12 240x=8640

x=8640/240=36

2.（1）工作時間、工作總量；

（2）工作總量隨著工作時間的增加而增大，比值不變；

（3）略；

（4）工作效率；工作總量/工作時間=工作效率.

3.解：（1）依題意有

a（1-1/5）：（132-a+a×1/5）=1：2

解得a=55，所以小明現(xiàn)在有55-11=44支碳素筆，小華現(xiàn)在有44×2=88支碳素筆.

（2）由（1）得，小明原來有55支碳素筆，小華原來有132-55=77支碳素筆.

4.解：（1）依題意，零件總量為20×6= 120個，實(shí)際可以120/（20+4）=5天完成.

（2）實(shí)際每天生產(chǎn)比計(jì)劃的多（24-20）/

20×100%=20%.endprint

【知識歸納】

1.比例：表示兩個比相等的式子.

2.比例的性質(zhì)：在比例里，兩個外項(xiàng)之積等于兩個內(nèi)項(xiàng)之積.

符號語言：若a：b=c：d，則ad=bc；若a/b= c/d，則ad=bc.

3.正比例：若y/x=k（k為常數(shù)），則y與x成正比例.

4.反比例：若滿足xy=k（k為常數(shù)），則y與x成反比例.

5.解比例：求比例中未知項(xiàng)的過程.

6.判斷兩個比是否能成比例的方法：

（1）根據(jù)比例的意義判斷兩個比是否能成比例.

若兩個比的比值相等，則它們成比例，否則不成比例.

（2）根據(jù)比例的基本性質(zhì)判斷兩個比是否能成比例.

若一個比例式的兩個比的外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積，則它們成比例，否則不成比例.

7.根據(jù)比例的意義判斷四個數(shù)是否成比例的步驟：

（1）把四個數(shù)從小到大排序；

（2）第一個數(shù)與第二個數(shù)的比值若等于第三個與第四個數(shù)的比值，則這四個數(shù)成比例，否則不成比例.

8.解比例的方法：

（1）利用除法意義解比例；

（2）利用比例的基本性質(zhì)解比例.

【考題解析】

例1.反比例函數(shù)y=（1-2k）/x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，3），則k的值為（）

A.6B.-6C.7/2D.-7/2

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

分析：把點(diǎn)（-2，3）代入已知函數(shù)解析式，列出關(guān)于k的方程，通過解方程來求k的值.

解答：由題意，得3=（1-2k）/（-2 ），解得，k=7/2.故選C.

點(diǎn)評：本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，經(jīng)過函數(shù)的某點(diǎn)一定在函數(shù)的圖象上.

例2.在一個比例中，兩個比的比值都是3，這個比例的兩個內(nèi)項(xiàng)都是6，寫出這個比例式.

考點(diǎn)：比例的意義和基本性質(zhì).

分析：根據(jù)題意可知，求的是這個比例的兩個外項(xiàng)，也就是第一個比缺少比的前項(xiàng)，就用比值乘上比的后項(xiàng)；第二個比缺少比的后項(xiàng)，就用比的前項(xiàng)除以比值；分別求出后，再寫出比例即可.

解答：第一個比的前項(xiàng)：3×6=18，第二個比的后項(xiàng)：6÷3=2，這個比例式是：18：6=6：2.

點(diǎn)評：解決此題關(guān)鍵是根據(jù)比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值之間的關(guān)系，先分別求得這兩個比的前項(xiàng)或后項(xiàng)，也就是這個比例的兩個外項(xiàng)，進(jìn)而寫出此比例即可.

例3.如果y/4= x/3，，那么x和y成___比例，如果4/y= x/3，那么x和y成___比例.

分析：根據(jù)正比例和反比例的意義：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，即y/x=k（一定），y與x成正比例；那么反比例關(guān)系式用字母表示為：xy=k（一定），y與x成反比例，進(jìn)行解答即可.

解答：如果y/4= x/3，則3y=4x，即y：x=4：3（定值），所以y與x成正比例；如果4/y= x/3，根據(jù)比例的基本性質(zhì)得：xy=12（一定），所以y與x成反比例；故答案為：正，反.

點(diǎn)評：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)成正比例和反比例的意義，進(jìn)行判斷即可.

例4.大小兩瓶油共重2.7千克，大瓶油用去0.2千克，剩下的油與小瓶油的重量比是3：2，求大小瓶子原來分別裝油（）千克

A.1.7，1.0B.1.6，1.1

C.1.5，1.2D.1.4，1.3

分析：設(shè)大瓶原來裝有油x千克，則小瓶原來有油（2.7-x）千克，后來大瓶有油（x-0.2）千克，再由“剩下的油與小瓶的油的重量比是3：2”，列出比例解答即可.

解答：設(shè)大瓶原來裝有油x千克，則小瓶原來有油（2.7-x）千克，則

（x-0.2）：（2.7-x）=3：2

3（2.7-x）=2（x-0.2）8.1-3x=2x-0.4 5x=8.1+0.4 x=8.5÷5 x=1.7

小瓶原來有油：2.7-1.7=1（千克）.

答：大瓶原來裝有油1.7千克；小瓶原來有油1千克.故選：A

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意用未知數(shù)表示出大瓶剩下的油與小瓶的油的重量，列出比例解答即可.

【能力提高】

1.修路隊(duì)修一條960米的公路，前12天修了全場的四分之一，照這樣的速度，再有多少天可以修完？

2.啤酒生產(chǎn)情況記錄表如下：

請同學(xué)們完成下面的問題.

（1）表中（）和（）是相關(guān)聯(lián)的量.

（2）工作總量隨工作時間是如何變化的？

（3）任意寫出三個相對應(yīng)的工作總量和工作時間的比，并算出它們的比值.它們的比值有變化嗎？

（4）比值實(shí)際上表示（），用式子表示它們的關(guān)系.

3.新學(xué)期開學(xué)，小明和小華共買了132支碳素筆，若把小明的碳素筆的五分之一給小華.這樣小明和小華現(xiàn)有碳素筆的支數(shù)比為1：2.

（1）若小明原有a只碳素筆，那么小明和小華現(xiàn)在各有多少支碳素筆？

（2）小明和小華兩人原來各有多少支碳素筆？

4.生產(chǎn)一批零件，計(jì)劃每天生產(chǎn)20個，6天可以完成，實(shí)際每天多生產(chǎn)4個.

（1）多少天可以完成？

（2）實(shí)際每天生產(chǎn)的零件數(shù)比計(jì)劃多百分之幾？

答案：1.解：設(shè)再有x天可以修完. 960×3/4：x=960×1/4：12 720：x=240：12 240x=720×12 240x=8640

x=8640/240=36

2.（1）工作時間、工作總量；

（2）工作總量隨著工作時間的增加而增大，比值不變；

（3）略；

（4）工作效率；工作總量/工作時間=工作效率.

3.解：（1）依題意有

a（1-1/5）：（132-a+a×1/5）=1：2

解得a=55，所以小明現(xiàn)在有55-11=44支碳素筆，小華現(xiàn)在有44×2=88支碳素筆.

（2）由（1）得，小明原來有55支碳素筆，小華原來有132-55=77支碳素筆.

4.解：（1）依題意，零件總量為20×6= 120個，實(shí)際可以120/（20+4）=5天完成.

（2）實(shí)際每天生產(chǎn)比計(jì)劃的多（24-20）/

20×100%=20%.endprint

【知識歸納】

1.比例：表示兩個比相等的式子.

2.比例的性質(zhì)：在比例里，兩個外項(xiàng)之積等于兩個內(nèi)項(xiàng)之積.

符號語言：若a：b=c：d，則ad=bc；若a/b= c/d，則ad=bc.

3.正比例：若y/x=k（k為常數(shù)），則y與x成正比例.

4.反比例：若滿足xy=k（k為常數(shù)），則y與x成反比例.

5.解比例：求比例中未知項(xiàng)的過程.

6.判斷兩個比是否能成比例的方法：

（1）根據(jù)比例的意義判斷兩個比是否能成比例.

若兩個比的比值相等，則它們成比例，否則不成比例.

（2）根據(jù)比例的基本性質(zhì)判斷兩個比是否能成比例.

若一個比例式的兩個比的外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積，則它們成比例，否則不成比例.

7.根據(jù)比例的意義判斷四個數(shù)是否成比例的步驟：

（1）把四個數(shù)從小到大排序；

（2）第一個數(shù)與第二個數(shù)的比值若等于第三個與第四個數(shù)的比值，則這四個數(shù)成比例，否則不成比例.

8.解比例的方法：

（1）利用除法意義解比例；

（2）利用比例的基本性質(zhì)解比例.

【考題解析】

例1.反比例函數(shù)y=（1-2k）/x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，3），則k的值為（）

A.6B.-6C.7/2D.-7/2

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

分析：把點(diǎn)（-2，3）代入已知函數(shù)解析式，列出關(guān)于k的方程，通過解方程來求k的值.

解答：由題意，得3=（1-2k）/（-2 ），解得，k=7/2.故選C.

點(diǎn)評：本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，經(jīng)過函數(shù)的某點(diǎn)一定在函數(shù)的圖象上.

例2.在一個比例中，兩個比的比值都是3，這個比例的兩個內(nèi)項(xiàng)都是6，寫出這個比例式.

考點(diǎn)：比例的意義和基本性質(zhì).

分析：根據(jù)題意可知，求的是這個比例的兩個外項(xiàng)，也就是第一個比缺少比的前項(xiàng)，就用比值乘上比的后項(xiàng)；第二個比缺少比的后項(xiàng)，就用比的前項(xiàng)除以比值；分別求出后，再寫出比例即可.

解答：第一個比的前項(xiàng)：3×6=18，第二個比的后項(xiàng)：6÷3=2，這個比例式是：18：6=6：2.

點(diǎn)評：解決此題關(guān)鍵是根據(jù)比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值之間的關(guān)系，先分別求得這兩個比的前項(xiàng)或后項(xiàng)，也就是這個比例的兩個外項(xiàng)，進(jìn)而寫出此比例即可.

例3.如果y/4= x/3，，那么x和y成___比例，如果4/y= x/3，那么x和y成___比例.

分析：根據(jù)正比例和反比例的意義：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，即y/x=k（一定），y與x成正比例；那么反比例關(guān)系式用字母表示為：xy=k（一定），y與x成反比例，進(jìn)行解答即可.

解答：如果y/4= x/3，則3y=4x，即y：x=4：3（定值），所以y與x成正比例；如果4/y= x/3，根據(jù)比例的基本性質(zhì)得：xy=12（一定），所以y與x成反比例；故答案為：正，反.

點(diǎn)評：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)成正比例和反比例的意義，進(jìn)行判斷即可.

例4.大小兩瓶油共重2.7千克，大瓶油用去0.2千克，剩下的油與小瓶油的重量比是3：2，求大小瓶子原來分別裝油（）千克

A.1.7，1.0B.1.6，1.1

C.1.5，1.2D.1.4，1.3

分析：設(shè)大瓶原來裝有油x千克，則小瓶原來有油（2.7-x）千克，后來大瓶有油（x-0.2）千克，再由“剩下的油與小瓶的油的重量比是3：2”，列出比例解答即可.

解答：設(shè)大瓶原來裝有油x千克，則小瓶原來有油（2.7-x）千克，則

（x-0.2）：（2.7-x）=3：2

3（2.7-x）=2（x-0.2）8.1-3x=2x-0.4 5x=8.1+0.4 x=8.5÷5 x=1.7

小瓶原來有油：2.7-1.7=1（千克）.

答：大瓶原來裝有油1.7千克；小瓶原來有油1千克.故選：A

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意用未知數(shù)表示出大瓶剩下的油與小瓶的油的重量，列出比例解答即可.

【能力提高】

1.修路隊(duì)修一條960米的公路，前12天修了全場的四分之一，照這樣的速度，再有多少天可以修完？

2.啤酒生產(chǎn)情況記錄表如下：

請同學(xué)們完成下面的問題.

（1）表中（）和（）是相關(guān)聯(lián)的量.

（2）工作總量隨工作時間是如何變化的？

（3）任意寫出三個相對應(yīng)的工作總量和工作時間的比，并算出它們的比值.它們的比值有變化嗎？

（4）比值實(shí)際上表示（），用式子表示它們的關(guān)系.

3.新學(xué)期開學(xué)，小明和小華共買了132支碳素筆，若把小明的碳素筆的五分之一給小華.這樣小明和小華現(xiàn)有碳素筆的支數(shù)比為1：2.

（1）若小明原有a只碳素筆，那么小明和小華現(xiàn)在各有多少支碳素筆？

（2）小明和小華兩人原來各有多少支碳素筆？

4.生產(chǎn)一批零件，計(jì)劃每天生產(chǎn)20個，6天可以完成，實(shí)際每天多生產(chǎn)4個.

（1）多少天可以完成？

（2）實(shí)際每天生產(chǎn)的零件數(shù)比計(jì)劃多百分之幾？

答案：1.解：設(shè)再有x天可以修完. 960×3/4：x=960×1/4：12 720：x=240：12 240x=720×12 240x=8640

x=8640/240=36

2.（1）工作時間、工作總量；

（2）工作總量隨著工作時間的增加而增大，比值不變；

（3）略；

（4）工作效率；工作總量/工作時間=工作效率.

3.解：（1）依題意有

a（1-1/5）：（132-a+a×1/5）=1：2

解得a=55，所以小明現(xiàn)在有55-11=44支碳素筆，小華現(xiàn)在有44×2=88支碳素筆.

（2）由（1）得，小明原來有55支碳素筆，小華原來有132-55=77支碳素筆.

4.解：（1）依題意，零件總量為20×6= 120個，實(shí)際可以120/（20+4）=5天完成.

（2）實(shí)際每天生產(chǎn)比計(jì)劃的多（24-20）/

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