高等數(shù)學(xué)對逆向思維的應(yīng)用分析*

解 武

(運河高等師范學(xué)校，江蘇 邳州 221300)

逆向思維，也叫做反向思維，就是說突破常規(guī)的思維方式，對于常規(guī)的理論知識和事物進行反方向的思考，“反其道而行之”就很好的體現(xiàn)了逆向思維的特點。讓思維向?qū)α⒎较蜻M行發(fā)展，從問題的反面進行思考的研究。比如說“司馬光砸缸”的歷史小故事，正常人的思維就是下水救人，而他選擇了用石頭把缸砸碎，讓人脫離水的逆向思維救了同伴的性命。逆向思維是一種創(chuàng)新型的思維模式，在自然科學(xué)中巧妙的利用逆向思維，經(jīng)常會給人們帶來一些意外的收獲。著名的英國物理學(xué)家法拉第，就利用逆向思維發(fā)現(xiàn)了物理界的電磁感應(yīng)定律。同樣，如果把逆向思維帶入到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，讓學(xué)生運用逆向思維處理和思考問題，也會達到一種很強的效果。尤其是對一些復(fù)雜多樣的數(shù)學(xué)表達式，運用逆向思維就可以很好的找到解答的方法。

一、逆向思維的特點

逆向思維強調(diào)的是思維方式從已知的思路上面進行反方向的探討和研究，從一個反向的角度尋找更合適的解決方案。逆向思維的運用不僅僅是一種簡單快速的解決方案，更重要的是它客服了人類常規(guī)的思維模式，拓展了人類的思維空間，釋放自己的思想。逆向思維在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在“逆推法”上面，就是一切從待論證的結(jié)論為出發(fā)點，一步一步分析問題，逐層遞推，最終得到解題思路的一種方法。這樣的“逆推法”主要的應(yīng)用范圍是在高等數(shù)學(xué)的證明題方面，可以幫助學(xué)生把一堆錯綜復(fù)雜、毫無關(guān)系的已知條件，通過對問題的先剖析，準(zhǔn)確的找到問題的關(guān)鍵所在，從而達到一種教育和應(yīng)用的目的。

二、逆向思維的重要性

無論是高等數(shù)學(xué)的教育和應(yīng)用，還是學(xué)習(xí)和思維的培養(yǎng)，只能牢牢掌握逆向思維的解題方法，才可以讓教師更好的教育學(xué)生，才可以讓學(xué)生更好的克服難度大的數(shù)學(xué)難題。和常規(guī)思維相比較，逆向思維本身就是一種超脫常規(guī)的思維模式，這種和常規(guī)不同的思維模式是高等數(shù)學(xué)中圖形和數(shù)字為最基本的分析對象，運用最基本的數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號，通過一定的反向思維能力推理得到每個題目之間的內(nèi)在關(guān)系。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，一位希臘的數(shù)學(xué)家就曾經(jīng)利用反證法的逆向思維模式證明得到了“無理數(shù)”，讓人們對“數(shù)”的概念從“有理數(shù)”發(fā)展到了“無理數(shù)”。俄羅斯的一位數(shù)學(xué)家也是借鑒古人5次證明歐幾里德定律中失敗的經(jīng)驗，非常大膽的采用了反命題的證明方法，間接性的證明出了“歐幾里德第五公設(shè)”，從而創(chuàng)造出了“羅巴切夫斯基幾何”。通過對逆向思維重要性的描述和實例的間接證明，讓我們認識到熟練的掌握逆向思維可以讓人們看到更多更遠的知識。

三、應(yīng)用的多種方法

高等數(shù)學(xué)中，有很多的定理都有可逆和不可逆的，但是高等數(shù)學(xué)的教材中只給出了少部分的逆定理，很多的逆定理都沒有給出合理的逆向分析。這個方面教師在教育當(dāng)中應(yīng)該有意識的引導(dǎo)學(xué)生考慮這些已經(jīng)給定的命題當(dāng)中，是否具有相對應(yīng)的逆命題。教師可以及時的向?qū)W生提出問題，逆命題怎么判斷？怎么得出的？為什么是假的？這些問題都可以提高學(xué)生逆向思維能力，提高逆向思維能力在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。下面筆者為大家提供幾種高等數(shù)學(xué)中常見的逆向思維能力的應(yīng)用方法。

第一種：逆推法。逆推法是一種非常常見的，而且應(yīng)用范圍很廣的一種逆向思維解題的方法。這個方法根據(jù)前后量的變化得出的結(jié)果，一步步進行逆向的推理，逐層推理出原有的已知條件，從而解決提出的問題，屬于一種“因果型的逆向思維”。比如說在簡單的算法驗算當(dāng)中，運用逆向運算的方法進行驗算。在求面積的問題中，知道圓的面積，求圓的半徑，等等這些用的都是逆推法。在高等數(shù)學(xué)中，用數(shù)列極限的定義證明極限的存在問題當(dāng)中，同樣用的是逆推法，它根據(jù)的原理就是給定任何一個正數(shù)A，然后指出定義中所提到的正整數(shù)B的確存在，最后求證問題的答案。積分和求導(dǎo)是高等數(shù)學(xué)中最為關(guān)鍵的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這兩個內(nèi)容互為逆運算，也就是說相互之間可以驗算，尤其在求復(fù)雜函數(shù)的不定積分的時候，通過對結(jié)論求導(dǎo)就能確保計算的精準(zhǔn)性。

第二種：變量代換法。這個方法是一種非常典型的“轉(zhuǎn)換型逆向思維”，屬于數(shù)學(xué)變量法中的一個分支。它的本質(zhì)就是在研究某一個問題的時候，常規(guī)思維方法受到阻礙以后，轉(zhuǎn)變一定思考角度，把要解決但是很難解決的問題進行等量的代換，轉(zhuǎn)化成為一種容易解決的問題，可以使得問題順利的解決的一種思維模式。一般這個方法都是通過變換問題中的函數(shù)自變量或者因變量。在高等數(shù)學(xué)中，主要的代換方法有很多，其中包括對數(shù)的代換、算式的代換、三角的代換、根式的代換等。代換方法具備一定的多樣性和靈活性的特征，根據(jù)問題的不同可以采用不同的代換方法，把困難的問題簡單化，將問題轉(zhuǎn)化成為一種方便求解的方式。這樣的方法在求導(dǎo)和積分、求極限等方面都有了很好的應(yīng)用。極限的計算就是一個很好的例子，在求解過程中經(jīng)常用的就是等價無窮小的代換，通過恰當(dāng)?shù)牧康淖兓?，將原來困難的問題簡單化。其中不定積分中的換元積分法也是利用這個特點，通過變量的變換，得到一個復(fù)合函數(shù)的積分法。二重積分計算中的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)間的變換、三重積分計算中的球坐標(biāo)、柱面的坐標(biāo)和直角坐標(biāo)間的變換等，都是通過變化代換法完成的。

第三種：反證法。反證法是高等數(shù)學(xué)中一個非常重要的證明方法。和綜合法、分析法相同，這個方法也得到了廣泛的應(yīng)用。不僅體現(xiàn)在初等數(shù)學(xué)的教育中，在高等數(shù)學(xué)的場地中，它更是馳騁疆場。反證法，就是常說的間接證明法，就是從相反面的視角思考問題的證明方法，通過肯定的命題中得出否定的結(jié)論，從矛盾中推理得出的。法國數(shù)學(xué)家阿達瑪對于反證法的本質(zhì)說過這樣的話“如果肯定定理的假設(shè)否定了肯定定理的結(jié)論，就會產(chǎn)生矛盾?！睋Q言之就是說，反證法是通過否定的命題結(jié)論為出發(fā)點，對命題結(jié)論的否定結(jié)論作為推理的已知條件，然后進行邏輯推理，把得到的結(jié)論和已知的結(jié)論進行比較，或者說和正確的命題結(jié)論互相矛盾，就能得到一種假設(shè)不成立的結(jié)果，從而肯定了命題的結(jié)論。這種方法屬于典型的“反轉(zhuǎn)性逆向思維”。在高等數(shù)學(xué)的教育學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生必須證明大量的命題和定理。當(dāng)命題很難順利證明或者直接證明的話，我們必須要轉(zhuǎn)變自己的思維方式，應(yīng)用反證法。

第四種：待定系數(shù)法。這個系數(shù)法是解決和研究數(shù)序問題的一種方法，意思就是在已知答案形式的大前提下，通過引入一定的待定系數(shù)，轉(zhuǎn)化為一組方程組或者多個方程組來解決問題的一種思路，使得原有的問題轉(zhuǎn)化為一種容易解決、簡單的解題方法。待定系數(shù)法的關(guān)鍵所在就是：根據(jù)已知的條件，正確的列出方程式。比如說需要證明變量之間的函數(shù)關(guān)系，可以先假設(shè)出一些未知的系數(shù)，接下來依據(jù)給定的條件確定未知數(shù)的范圍。在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)列求和、因式分解、求復(fù)數(shù)、求函數(shù)等問題都具備一定的數(shù)學(xué)表達式，都可以利用待定系數(shù)法求解方程。在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中，我們也可以利用待定系數(shù)法求解微積分方程、級數(shù)等問題。

除了上述提到的4種解決方法以外，在高等數(shù)學(xué)的其他方面，我們也靈活運用了逆向思維。比如說遞歸法和自然歸納法等。高等數(shù)學(xué)中有很多概念都是通過證明本質(zhì)問題定義的。而在證明的過程中，存在很多的逆概念，比如說常量和變量、函數(shù)和反函數(shù)、有理數(shù)和無理數(shù)等，在學(xué)習(xí)當(dāng)中必須學(xué)會根據(jù)不同的情況運用不同的逆向思維解決問題，往往都會收到很強的效果。

四、高等數(shù)學(xué)的方法和知識的互逆

在熟悉各種各樣的逆向思維的方法之后，我們還需要注意思想方法和知識體系之間的關(guān)系。比如說微積分，它研究的對象就是函數(shù)，研究的內(nèi)容就是積分學(xué)和微分學(xué)，研究的工具就是極限，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程注重各個部分知識的統(tǒng)一，重視各個部分思想方法和知識體系的聯(lián)系，在學(xué)習(xí)中一定會收到想不到的學(xué)習(xí)效果。舉個例子說，積分和導(dǎo)數(shù)就是很強的互逆關(guān)系。從積分和倒數(shù)的計算方面來看，這就是一種互逆運算方式。比如說在一元函數(shù)的計算中，從導(dǎo)數(shù)引出的逆運算就可以得到不定積分。在可積函數(shù)的函數(shù)積分和原函數(shù)之間，也能夠用牛頓—萊布尼茨公式進行等量的轉(zhuǎn)換，由此可見，導(dǎo)數(shù)和積分在問題的計算當(dāng)中的運用，就崛北了相對統(tǒng)一的性質(zhì)和互逆的性質(zhì)。同樣如此，在微積分中求曲線的長度的時候，就應(yīng)該把曲線劃分成為無數(shù)個小段，然后把每個小段定義為直線，通過“以直線代替曲線”的方式得出每個小段的長度，然后通過微積分的計算方法將每個小段的長度加在一起，就可以得到求解曲線長度的目的。這樣的化整體為部分，再把部分化為整體的計算方法在高等數(shù)學(xué)的解題模式當(dāng)中到處都是。這樣的方法就是利用逆向思維在整體和部分之間的轉(zhuǎn)換應(yīng)用。微積分解題的主要目的就是連續(xù)、極限、積分定義、導(dǎo)數(shù)、廣義的積分斂散性和級數(shù)等知識的考察，這所有的知識都是建立在極限的基礎(chǔ)上面。也可以說極限運算就是高等數(shù)學(xué)中微積分計算的核心理念，其內(nèi)涵的思想就包括將無限的問題有限化，再把有限的理念和思想對無限進行論證，由此我們知道有限和無限之間的辨證聯(lián)系。

總結(jié)：在高等數(shù)學(xué)這個領(lǐng)域范圍內(nèi)，積極有效的創(chuàng)新更多的思維方式，可以有效的推進學(xué)生的學(xué)習(xí)，逆向思維就是其中的代表。作為思維模式的創(chuàng)新，一種常規(guī)模式的擴展，在高等數(shù)學(xué)的教育應(yīng)用中，正在強化常規(guī)思維的同時，潛意識的培養(yǎng)逆向思維，通過一個互逆過程的培養(yǎng)，就可以擺脫常規(guī)的思維羈絆，沖破固有的思維模式，有助于學(xué)生克服順向思維下呆板的解決方法。所以老師需要跟上時代的腳步，時刻更新教育理念，帶領(lǐng)學(xué)生運用逆向思維。我們需要打破常規(guī)的思維模式，注重逆向的思維培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成一種從不同角度解決和分析問題的能力，提高學(xué)生的思維靈活性和敏捷性，達到把握知識的最終目的。

參考文獻：

[1]林嵐.逆向思維在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].價值工程，2011，(12)：216～218.

[2]孫紅霞.例說高等數(shù)學(xué)中的逆向思維[J].中國科技信息，2008，(11)：270～274.

[3]梁娜,來祥戍.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的逆向思維[J].咸寧學(xué)院學(xué)報，2011，(12)：121～124.