Suziki群與2-（v，17，1）設(shè)計(jì)的自同構(gòu)群

李上釗，廖小蓮，江麗媛

（1.常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500；

2.湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖南 婁底 417000；

3.蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州215006）

Suziki群與2-（v，17，1）設(shè)計(jì)的自同構(gòu)群

李上釗1，廖小蓮2，江麗媛3

（1.常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500；

2.湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖南 婁底 417000；

3.蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州215006）

設(shè)D是一個(gè)2-(v,17,1)設(shè)計(jì)，G是D的一個(gè)區(qū)傳遞、點(diǎn)本原的自同構(gòu)群.如果G不可解，則G的基柱Soc(G)不是Sz(q).

區(qū)傳遞；點(diǎn)本原；設(shè)計(jì)；基柱

1 引言

本文是分類群和區(qū)傳遞2-(v,k,1)設(shè)計(jì)課題的組成部分.一個(gè)2-(v,k,1)的設(shè)計(jì)D=(P,L)是由v個(gè)點(diǎn)的有限集合P（其中的元素稱為點(diǎn)）和P的k-元子集B的集合L（其元素稱為區(qū)組）所構(gòu)成的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，滿足P中任何2-子集恰好包含在一個(gè)區(qū)組里.通常地，我們定義v=|P|和b=|L|.

設(shè)π是D的點(diǎn)集合P上的一個(gè)置換，如果把D的區(qū)仍變?yōu)镈的區(qū)，則稱π是D的一個(gè)自同構(gòu)，D的全體自同構(gòu)組成一個(gè)群，記為Aut(D).設(shè)G≤Aut(D)，如果G作用在D的區(qū)集合（點(diǎn)集合）上是傳遞的，則稱G是區(qū)傳遞（點(diǎn)傳遞）的.如果G作用在D的區(qū)集合（點(diǎn)集合）上是本原的，則稱G是區(qū)本原（點(diǎn)本原）的.我們也稱點(diǎn)區(qū)對(duì)(α,B)（其中α∈B）為D的旗.如果G在D的旗集合上傳遞，則稱G是旗傳遞的.若G是區(qū)傳遞的，則它也是點(diǎn)傳遞的，這是文獻(xiàn)[1]的一個(gè)結(jié)果.

2-(v,3,1)設(shè)計(jì)的分類在30年前完成[2].在文獻(xiàn)[3]中Camina和Siemons成功分類了具有區(qū)傳遞可解自同構(gòu)群的2-(v,4,1)設(shè)計(jì).李慧陵分類了具有區(qū)傳遞的不可解自同構(gòu)群的2-(v,4,1)設(shè)計(jì)[4].童和李分類了具有區(qū)傳遞可解自同構(gòu)群的2-(v,5,1)設(shè)計(jì)[5].韓和李[6]分類了具有區(qū)傳遞不可解自同構(gòu)群的2-(v,5,1)設(shè)計(jì).劉偉俊分類了具有區(qū)傳遞可解自同構(gòu)群的2-(v,k,1)（其中k=7,8,9,10）[7].在文獻(xiàn)[8]中韓和馬分類了具有區(qū)傳遞典型群的自同構(gòu)群的2-(v,11,1)設(shè)計(jì).趙和代分類了具有區(qū)傳遞不可解自同構(gòu)群的2-(v,11,1)設(shè)計(jì)[9].本文我們考慮具有區(qū)傳遞不可解自同構(gòu)群的2-(v,17,1)設(shè)計(jì)并證明下面定理.

主要定理設(shè)D是一個(gè)2-(v,17,1)設(shè)計(jì)，G是D的一個(gè)區(qū)傳遞、點(diǎn)本原的自同構(gòu)群.如果G不可解，則G的基柱Soc(G)不是Sz(q).

在本文中我們需要引進(jìn)以下記號(hào).設(shè)G是D的自同構(gòu)群，B是D的一個(gè)區(qū)組，則GB表示保持B（作為集合）不動(dòng)的G的子群，G(B)表示保持B的每個(gè)點(diǎn)不動(dòng)的G的子群.因此，GB是GB在B上的誘導(dǎo)群，則

GB=GB/G(B).

第二部分我們描述關(guān)于Suzuki群Sz(q)和2-(v,k,1)設(shè)計(jì)的初等結(jié)果，第三部分給出定理的證明.

2 初等結(jié)果

Suzuki群Sz(q)形成李型單群的無限家族，在文獻(xiàn)[10-11]定義為SL(4,q)的子群.Sz(q)的階為q2(q2+1)(q-1)，其中q=22n+1，n≥1.設(shè)a=2n+1，t=2n，T=Sz(q).由文獻(xiàn)[12]第XI章的定理3.10，T有階分別為q+2t+1和q-2t+1的循環(huán)群U1和U2，則U1和U2是T的Hall子群.同樣由文獻(xiàn)[12]第XI章的引理3.1，T有子群F和H，其中F是階為q2的2-群，H同構(gòu)于GF(q)×，即GF(q)的乘法群.

對(duì)于2-(v,k,1)設(shè)計(jì)有兩個(gè)重要的參數(shù)，即區(qū)組的個(gè)數(shù)b和過一個(gè)點(diǎn)的區(qū)組個(gè)數(shù)r.我們有bk=rv，bk(k-1)=v(v-1).這樣r=(v-1)/(k-1).我們可以證明b≥v因而k≤r.如果k=r，則v=k2-k+1；如果r≤k+1，則v≥k2.

我們使用文獻(xiàn)[13]中的方-李結(jié)果，定義參數(shù)：b1=(b,v)，b2=(b,v-1)，k1=(k,v)，k2=(k,v-1).

根據(jù)2-(v,k,1)設(shè)計(jì)的基本方程，我們得到方-李參數(shù)：k=k1k2，b=b1b2，r=b2k2，v=b1k1.

這些結(jié)果在本文中發(fā)揮重要作用.下面我們介紹本文用到的一些基本結(jié)果.

引理1[12]T的每個(gè)極大子群共軛于下列群之一：

（1）Sz(l)，其中l(wèi)i=2n+1，i是素?cái)?shù)；（2）FH；（3）NG(H)；（4）NG(Ui)，i=1,2.

引理2[14]設(shè)T=Sz(q)是域GF(q)上例外李型單群，G滿足T?G≤Aut(T).假設(shè)M是G的不包含T的極大子群，那么下列之一成立：

（1）|M|＜q2|G∶T|；（2）T?M是T的拋物子群.

引理3[15]設(shè)G=T∶x且區(qū)傳遞作用在2-(v,k,1)設(shè)計(jì)D=(P,L)上，則T傳遞的作用在P上.

引理4[16]設(shè)D是2-(v,k,1)設(shè)計(jì)，G是D的區(qū)傳遞、點(diǎn)本原但非旗傳遞自同構(gòu)群，則

（1）v=272b2+1；（2）如果T=Soc(G)是偶數(shù)階且G不可解，則|T|≤137|Tα||G∶T|.

3 定理的證明

當(dāng)a=3時(shí)，|H0|=1或7，那么v-1=64或454.用同樣的方法我們可以得到v-1的所有結(jié)果：v-1=64,454,1024,31774,16384,2080894,262144,1835014,19136584,133956094.

注意到v-1=272b2，即272|v-1，但上面v-1的所有值不滿足這一條件，從而得到矛盾.

情形2：T?Gα是T的拋物子群

在引理1中檢查Sz(q)的極大子群，可以看到Sz(q)的拋物子群同構(gòu)于FH且|FH|=q2(q-1).因此我們有v=|T∶Tα|=q2.由引理4得到，q2=v-1=272b2，從而有272|q2，這顯然是不可能的.因此，我們證明了本文的主要定理.

[1]Block R E.On the orbitsof collineation groups[J].Mathematisches Zeitschrift,1967,96∶33-49.

[2]Clapham PC.Steinersystemswith block transitive automorphism groups[J].Discrete Math,1976,14∶121-131.

[3]Cam ina A R,Siemons J.Block transitive automorphism groupsof2-(v,k,1)design[J].J Combin Theory Ser A,1989,51∶268-276.

[4]LiH L.On b lock-transitive 2-(v,4,1)designs[J].JCombin Theory Ser A,1995,69∶115-124.

由于高血壓并發(fā)癥多、治療周期長，患者除了生活質(zhì)量和生命年的損失外，還伴有沉重的疾病經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)。我國抵御疾病經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)的基本醫(yī)療保險(xiǎn)已形成了由城鎮(zhèn)職工基本醫(yī)療保險(xiǎn)制度、城鎮(zhèn)居民基本醫(yī)療保險(xiǎn)制度和新型農(nóng)村合作醫(yī)療制度構(gòu)成的主干層。重慶市于2012年7月將后兩者合并，稱為“城鄉(xiāng)居民合作醫(yī)療保險(xiǎn)”，城鄉(xiāng)居民參加該醫(yī)療保險(xiǎn)不再以戶籍劃分，并按兩個(gè)檔次的個(gè)人繳費(fèi)水平自主選擇，政府按實(shí)際參保人數(shù)每人每年提供財(cái)政補(bǔ)助。在此醫(yī)療保險(xiǎn)政策背景下，本文研究高血壓(Hypertension, HTN)患者的疾病經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)，討論政策實(shí)施中存在的障礙和局限，并提出相應(yīng)建議。

[5]TongW W,Li H L.Solvable block transitive automorphism groupsof2-(v,5,1)designs[J].Discrete Math,2003,260∶267-273.

[6]Han G G,Li H L.Unsolvable block transitive automorphism groups of2-(v,5,1)designs[J].Journalof Combinatorial Theory,2007, 114∶77-96.

[7]劉偉俊.區(qū)傳遞2-（v，k，1）設(shè)計(jì)[D].杭州：浙江大學(xué)，1998.

[8]韓廣國，馬傳貴.區(qū)傳遞2-（v，k，1）設(shè)計(jì)與典型群[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2010，39：319-330.

[9]Zhao K,Dai S J.The 2-(v,11,1)designswith unsolvable b lock transitive automorphism[J].ISRN Combinatorics,2013,2013∶1-3.

[10]SuzukiM.A new type of simple group of finite order[J].Proc Natl Acad SciU.S.A,1960,46∶868-870.

[11]SuzukiM.On a classofdoubly transitive groups[J].AnnalsofMathematics,1962,75∶105-145.

[12]Huppert B,Blackburn N.Finite Groups III[M].New York∶Spring-Verlag,1982∶1-454.

[13]方衛(wèi)東，李慧陵.Camina-Gagens Theorem的推廣[J].數(shù)學(xué)雜志，1993，13：437-441.

[14]Liebeck MW,Saxl J.On the ordersofmaximal subgroups of the finite exceptionalgroupsof Lie type[J].Proc London Math Soc, 1987,55∶299-330.

[15]LiuWeiJun,LiShangzhao,Gong Luozhong.A lmostsimp le groupswith socle Ree(q)acting on finite lieanerspaces[J].Europ JCombin,2006,27∶788-800.

[16]Dai S J,Zhao K.Block transitive 2-(v,17,1)designs and Ree groups[J].International Electronic Journal of A lgebra,2012,12∶12-16.

[17]Buekenhout F,Delandtsheer A,Doyen J,et al.Linear spaces with flag-transitive automorphism groups[J].Geometriae Dedicata, 1990,36∶89-94.

The Suzuki Groups and Automorphisms of 2-(v,17,1)Designs

LI Shang-zhao1,LIAO Xiao-lian2,JIANG Li-yuan3
(1.School of Mathematics and Statistics, Changshu Institute of Technology, Changshu 215500, China;
2.Department of Mathematics, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology, Loudi 417000, China;
3.School of Mathematics and Science, Soochow University, Suzhou 215006, China)

This paper is a contribution to the study of the automorphism groups of 2-(v,k,1)designs.Let D be a 2-(v,17,1)design and G be a block-transitive and point-primitive automorphism group of D.If G is non-solvable, then Soc(G),the socle of G,is not Sz(q).

block-transitive;point-primitive;design;socle

O152.1；O157.2

A

1008-2794（2014）04-0030-03

2013-12-26

李上釗，講師，博士研究生，研究方向：有限群與代數(shù)組合，E-mail∶lszfd2004@163.com.