淺談復(fù)變函數(shù)與積分變換的課堂教學(xué)

呂 誠(chéng)，孫秀華

（安徽建筑大學(xué) 數(shù)理系，安徽 合肥 230022）

淺談復(fù)變函數(shù)與積分變換的課堂教學(xué)

呂 誠(chéng)，孫秀華

（安徽建筑大學(xué) 數(shù)理系，安徽 合肥 230022）

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程無(wú)論是概念的理解還是定理的證明都比數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)更加困難，但其與工科相關(guān)的專業(yè)課程有著重要關(guān)聯(lián)，因此為提升課堂教學(xué)的效果，讓學(xué)生更好地掌握該課程，本文從多個(gè)角度探討教學(xué)中應(yīng)注意的方面，以期能夠有效地提高教學(xué)質(zhì)量.

復(fù)變函數(shù)；解析函數(shù)；留數(shù)；泰勒展開(kāi)

在高等院校，一般電子、通信、電氣以及信息計(jì)算科學(xué)等專業(yè)的學(xué)生都要開(kāi)設(shè)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》這一課程，開(kāi)設(shè)時(shí)間大致在大二第一學(xué)期或第二學(xué)期[1,2]，即學(xué)完高等數(shù)學(xué)或工科數(shù)學(xué)分析之后，與其同期開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)課程還有線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì).事實(shí)上，學(xué)完該課程之后，基本上數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)階段也就結(jié)束了，或者說(shuō)自此以后的大學(xué)學(xué)習(xí)不會(huì)再開(kāi)設(shè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)類課程.一方面這門課程是電磁、通信和計(jì)算機(jī)等相關(guān)課程的重要數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，對(duì)后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)極為重要；另一方面該課程的學(xué)習(xí)對(duì)整個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的提高也十分重要，如果學(xué)生能將高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論融會(huì)貫通，用于本門課程的學(xué)習(xí)，并在該課程學(xué)習(xí)中完全掌握大學(xué)數(shù)學(xué)類課程的特點(diǎn)，那么以后學(xué)習(xí)中所要涉及的數(shù)學(xué)方面的知識(shí)就可以自主的補(bǔ)缺補(bǔ)差，乃至繼續(xù)深造研究生時(shí)遇到更為復(fù)雜的矩陣類課程、代數(shù)類課程或計(jì)算方法類課程時(shí)，也可游刃有余的加以應(yīng)對(duì).因此在教授《復(fù)變函數(shù)與積分變換》時(shí)，作為教師應(yīng)當(dāng)更加深入淺出的講解，授學(xué)生以漁，而非授學(xué)生以魚[3].讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)這門課程，理解大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)達(dá)到的高度，從而更加自主地學(xué)習(xí).

1 注重概念的理解

在復(fù)變函數(shù)中有許多概念，而且這些概念都似曾相識(shí)，但又有所不同，比如同樣是三角函數(shù)，但高等數(shù)學(xué)中的正弦函數(shù)與復(fù)變函數(shù)中的正弦函數(shù)卻有著很多不一樣的性質(zhì).因此要特別強(qiáng)調(diào)復(fù)變函數(shù)的教學(xué)一定要注重對(duì)概念的理解.以下就談?wù)剮讉€(gè)具體的概念.

比如在剛涉及“復(fù)變函數(shù)的概念”階段，如果僅僅介紹一下定義，學(xué)生會(huì)把最重要的知識(shí)點(diǎn)忽視掉，而對(duì)之后的學(xué)習(xí)一頭霧水.可以將以下幾個(gè)方面融入課程教學(xué)中講解.

（1）看似是函數(shù)概念的推廣，但與通常理解的函數(shù)卻有所不同，這里因復(fù)數(shù)運(yùn)算不可回避多值問(wèn)題，故定義中只需要存在性與確定性，而不再要求唯一性.

（2）復(fù)變函數(shù)ω=f(z)與高等數(shù)學(xué)中一元函數(shù)y=f(x)看起來(lái)相似，但是差別很大.一元函數(shù)y=f(x)幾何意義是平面曲線，二元函數(shù)u=f(x,y)幾何意義是空間曲面[4]，而復(fù)變函數(shù)ω=f(z)的幾何意義是映照，即能夠?qū)平面的圖形映成ω平面上相應(yīng)的圖形.

（3）實(shí)數(shù)范圍的初等函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)范圍時(shí)，很多性質(zhì)發(fā)生改變.如三角函數(shù)，在實(shí)數(shù)中，sinl表示l弧度角的正弦；而復(fù)數(shù)中，sin(l+i)已經(jīng)無(wú)法表示具體角度相關(guān)的意義了，自然不同于之前的理解，但很多三角函數(shù)的公式仍然適用.當(dāng)然有些性質(zhì)會(huì)變，其中正弦函數(shù)最具代表性的有界性沒(méi)有了，這里的ω=sinz是無(wú)界的.

再有復(fù)變函數(shù)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)——留數(shù)，如果單純介紹概念就直接講解計(jì)算留數(shù)的方法，雖然多數(shù)學(xué)生可以依葫蘆畫瓢，仿照例題進(jìn)行計(jì)算.但心中有很多困惑會(huì)阻礙他們接受這一全新概念.可從如下方面加以講授.

（1）為什么要引入留數(shù)：學(xué)生會(huì)認(rèn)為引入留數(shù)就是為了多一種方式計(jì)算形如的積分.于是自然會(huì)問(wèn)：用柯西積分公式、柯西積分定理和高階導(dǎo)數(shù)公式已經(jīng)可以求解閉合曲線上的定積分，不用留數(shù)如何.其實(shí)雖然用上述方法可以不考慮具體路徑——即曲線C，就可以求解積分，但并非可以解決所有問(wèn)題，如用柯西積分公式便無(wú)法解出.此外留數(shù)用另一種方式告訴我們?yōu)槭裁串?dāng)f(z)在曲線C的內(nèi)部不解析時(shí)，積分有時(shí)為零有時(shí)不為零.

2 將類比的方式貫徹到教學(xué)當(dāng)中

當(dāng)我們接觸一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，一般都會(huì)十分費(fèi)力，但如果可以從以往的學(xué)習(xí)中找到相應(yīng)的一些影子幫助我們接受新概念，則會(huì)輕松很多.同時(shí)復(fù)變函數(shù)與積分變換很多知識(shí)點(diǎn)是由高等數(shù)學(xué)中推廣而來(lái)的，也提供了這樣的機(jī)會(huì)幫助人們類比相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，因此特別提倡將類比的方式貫徹教學(xué)當(dāng)中.

比如解析函數(shù)的概念，剛涉及時(shí)大多數(shù)學(xué)生都會(huì)感到困難，可從以下方面進(jìn)行類比.

（1）將復(fù)變函數(shù)中的解析與可導(dǎo)類比：從定義中可概括“解析”為“局部可導(dǎo)性”.f(z)在一點(diǎn)z0處解析不僅要求在該點(diǎn)z0可導(dǎo)，同時(shí)還要在該點(diǎn)的某鄰域可導(dǎo)，即考察該點(diǎn)處的“局部可導(dǎo)性”.但f(z)在區(qū)域解析與f(z)在區(qū)域可導(dǎo)等價(jià).

（2）將復(fù)變函數(shù)中的解析與高等數(shù)學(xué)的一元函數(shù)可導(dǎo)類比：如果ω=f(z)在z0解析，則在z0任意階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，而一元函數(shù)y=f(x)具有一階導(dǎo)數(shù)，卻未必二階可導(dǎo)；ω=f(z)在z0解析，其任意n階導(dǎo)數(shù)可形式上表為，但一般對(duì)于高數(shù)中求y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)需從一階開(kāi)始求至(n-1)階導(dǎo)數(shù)，才可繼續(xù)求導(dǎo)得n階導(dǎo)數(shù)，并沒(méi)有公式可直接求y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù).

（3）將復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)與高等數(shù)學(xué)的一元函數(shù)的泰勒展開(kāi)進(jìn)行類比：y=f(x)即便n階可導(dǎo)，未必(n+1)階可導(dǎo)，故可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)不一定具有泰勒展開(kāi)，但ω=f(z)只要在某圓盤解析，一定具有泰勒展開(kāi)；y=f(x)即便具有任意階導(dǎo)數(shù)，雖可以形式上寫出泰勒展開(kāi)，但這樣的泰勒級(jí)數(shù)未必收斂，即使收斂也不一定收斂到f(x)，但解析函數(shù)ω=f(z)按各階導(dǎo)數(shù)寫出泰勒級(jí)數(shù)便可得到泰勒展開(kāi).

3 結(jié)束語(yǔ)

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)類課程時(shí)，普遍感覺(jué)難度很大，學(xué)習(xí)動(dòng)力不足.如果教學(xué)時(shí)多注意方式、方法，將數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式和有效的學(xué)習(xí)方法加以結(jié)合，往往可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)[5].

〔1〕蓋云英,包革軍.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

〔2〕蘇變萍，陳東立.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:高等教育出版社,2003.

〔3〕王焱平.關(guān)于復(fù)變函數(shù)與積分變換的幾點(diǎn)注記[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，33(8):1-4.

〔4〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007.

〔5〕李士生，陳仁霞，程?hào)|旭.復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)方法與考核方式[J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2013,35 (6):145-146.

G642.0

A

1673-260X（2014）10-0250-02

安徽省自然基金項(xiàng)目資助(KJ2011z057)