等比數(shù)列中的函數(shù)思想

周虎

數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，在平時(shí)的教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的深入理解，如果我們從函數(shù)的角度去研究數(shù)列，加強(qiáng)函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用教學(xué)，使學(xué)生理解數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，它可以看作是以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的函數(shù)，數(shù)列與函數(shù)之間是特殊到一般的關(guān)系.通過(guò)對(duì)數(shù)列中的函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，可以使學(xué)生對(duì)函數(shù)思想有更深刻的認(rèn)識(shí)和理解，使所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，有效地提高學(xué)生的思維能力.

一、在等比數(shù)列中建立恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

在等比數(shù)列求和中，通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)利用待定系數(shù)法使解題過(guò)程更加簡(jiǎn)便，同時(shí)避開(kāi)了繁瑣的計(jì)算過(guò)程.

例1：在等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本題的常規(guī)解法是用等比數(shù)列求和公式Sn=■列出關(guān)于a1和q的方程組，解出a1和q，但計(jì)算繁瑣.若考慮到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn= ■=■-■.qn，設(shè)A=-■，則可以考慮建立目標(biāo)函數(shù) Sn=Aqn-A（A為待定系數(shù)），從而優(yōu)化了解題過(guò)程.

解：設(shè) Sn=Aqn-A，則S2=Aq2-2，∴Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， ∴Aq4-A=15 （2）

列方程組解（1）（2）得，A=1，q=±2

∴Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

評(píng)述：此題如果注意到等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn可寫(xiě)成Sn=Aqn-A（A為待定系數(shù)）的形式，解題方法顯得巧妙一些.通過(guò)對(duì)這道題的仔細(xì)講解讓學(xué)生理解函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用，在今后解數(shù)列題時(shí)要巧妙的使用函數(shù)方法.

函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題，不僅是解決數(shù)列問(wèn)題的重要途徑，也是提高數(shù)學(xué)解題能力的重要一環(huán).用函數(shù)思想解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，不僅要用到函數(shù)的形式，更重要的是應(yīng)用函數(shù)的思想方法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，借助與函數(shù)性質(zhì)及圖像來(lái)解決問(wèn)題，會(huì)有事半功倍的效果.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)解決等比數(shù)列問(wèn)題

利用函數(shù)的單調(diào)性解決數(shù)列中的問(wèn)題，會(huì)使得一道難題變得更簡(jiǎn)單.利用函數(shù)的一些性質(zhì)解答數(shù)列題中同樣如此.所以在解數(shù)列題時(shí)要思維活躍，多鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，不斷的去探索數(shù)列與函數(shù)的異同點(diǎn).

例2：已知數(shù)列a■的通項(xiàng)a■=（n+1）· （■）■（n∈N*），試問(wèn)該數(shù)列a■有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，若沒(méi)有說(shuō)明理由.

解題思路：由于該數(shù)列不是直接與等比數(shù)列相關(guān)的數(shù)列，形式看起來(lái)比較復(fù)雜，但若從函數(shù)角度，可利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■

當(dāng)n<9時(shí)，a■n+1-a■>0，即a■n+1>a■

當(dāng)n=9時(shí)，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

當(dāng)n>9時(shí)，a■n+1-a■<0，即a■n+1

故a1a11>a12>…這說(shuō)明數(shù)列a■中存在最大項(xiàng)，為第9項(xiàng)或第10項(xiàng).

評(píng)述：本題也可以化歸為解不等式組a■>a■a■≥a■來(lái)解決，但計(jì)算繁瑣，而利用函數(shù)的單調(diào)性更能發(fā)現(xiàn)數(shù)列的變化趨勢(shì)，顯得更簡(jiǎn)捷.利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題，降低了試題的難度，通過(guò)對(duì)這些題的研究，讓學(xué)生更加理解了函數(shù)與數(shù)列的特殊關(guān)系.

在解題中巧妙地使用函數(shù)思想會(huì)大大地降低解題難度，尤其是在一些比較復(fù)雜的數(shù)列題中。如果聯(lián)想到了題目考查函數(shù)的某些性質(zhì)，那解題就是很容易的事，經(jīng)常讓學(xué)生去探索它們的聯(lián)系，不僅提高了學(xué)生的解題速度，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力.要告訴學(xué)生，不能夠?yàn)榻忸}而解題，要多去思考探究中學(xué)數(shù)學(xué)中各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，要挖掘各知識(shí)點(diǎn)之間的異同點(diǎn)，達(dá)到對(duì)所學(xué)內(nèi)容融會(huì)貫通真正的把所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中.

責(zé)任編輯 羅 峰

數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，在平時(shí)的教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的深入理解，如果我們從函數(shù)的角度去研究數(shù)列，加強(qiáng)函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用教學(xué)，使學(xué)生理解數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，它可以看作是以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的函數(shù)，數(shù)列與函數(shù)之間是特殊到一般的關(guān)系.通過(guò)對(duì)數(shù)列中的函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，可以使學(xué)生對(duì)函數(shù)思想有更深刻的認(rèn)識(shí)和理解，使所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，有效地提高學(xué)生的思維能力.

一、在等比數(shù)列中建立恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

在等比數(shù)列求和中，通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)利用待定系數(shù)法使解題過(guò)程更加簡(jiǎn)便，同時(shí)避開(kāi)了繁瑣的計(jì)算過(guò)程.

例1：在等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本題的常規(guī)解法是用等比數(shù)列求和公式Sn=■列出關(guān)于a1和q的方程組，解出a1和q，但計(jì)算繁瑣.若考慮到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn= ■=■-■.qn，設(shè)A=-■，則可以考慮建立目標(biāo)函數(shù) Sn=Aqn-A（A為待定系數(shù)），從而優(yōu)化了解題過(guò)程.

解：設(shè) Sn=Aqn-A，則S2=Aq2-2，∴Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， ∴Aq4-A=15 （2）

列方程組解（1）（2）得，A=1，q=±2

∴Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

評(píng)述：此題如果注意到等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn可寫(xiě)成Sn=Aqn-A（A為待定系數(shù)）的形式，解題方法顯得巧妙一些.通過(guò)對(duì)這道題的仔細(xì)講解讓學(xué)生理解函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用，在今后解數(shù)列題時(shí)要巧妙的使用函數(shù)方法.

函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題，不僅是解決數(shù)列問(wèn)題的重要途徑，也是提高數(shù)學(xué)解題能力的重要一環(huán).用函數(shù)思想解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，不僅要用到函數(shù)的形式，更重要的是應(yīng)用函數(shù)的思想方法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，借助與函數(shù)性質(zhì)及圖像來(lái)解決問(wèn)題，會(huì)有事半功倍的效果.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)解決等比數(shù)列問(wèn)題

利用函數(shù)的單調(diào)性解決數(shù)列中的問(wèn)題，會(huì)使得一道難題變得更簡(jiǎn)單.利用函數(shù)的一些性質(zhì)解答數(shù)列題中同樣如此.所以在解數(shù)列題時(shí)要思維活躍，多鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，不斷的去探索數(shù)列與函數(shù)的異同點(diǎn).

例2：已知數(shù)列a■的通項(xiàng)a■=（n+1）· （■）■（n∈N*），試問(wèn)該數(shù)列a■有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，若沒(méi)有說(shuō)明理由.

解題思路：由于該數(shù)列不是直接與等比數(shù)列相關(guān)的數(shù)列，形式看起來(lái)比較復(fù)雜，但若從函數(shù)角度，可利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■

當(dāng)n<9時(shí)，a■n+1-a■>0，即a■n+1>a■

當(dāng)n=9時(shí)，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

當(dāng)n>9時(shí)，a■n+1-a■<0，即a■n+1

故a1a11>a12>…這說(shuō)明數(shù)列a■中存在最大項(xiàng)，為第9項(xiàng)或第10項(xiàng).

評(píng)述：本題也可以化歸為解不等式組a■>a■a■≥a■來(lái)解決，但計(jì)算繁瑣，而利用函數(shù)的單調(diào)性更能發(fā)現(xiàn)數(shù)列的變化趨勢(shì)，顯得更簡(jiǎn)捷.利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題，降低了試題的難度，通過(guò)對(duì)這些題的研究，讓學(xué)生更加理解了函數(shù)與數(shù)列的特殊關(guān)系.

在解題中巧妙地使用函數(shù)思想會(huì)大大地降低解題難度，尤其是在一些比較復(fù)雜的數(shù)列題中。如果聯(lián)想到了題目考查函數(shù)的某些性質(zhì)，那解題就是很容易的事，經(jīng)常讓學(xué)生去探索它們的聯(lián)系，不僅提高了學(xué)生的解題速度，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力.要告訴學(xué)生，不能夠?yàn)榻忸}而解題，要多去思考探究中學(xué)數(shù)學(xué)中各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，要挖掘各知識(shí)點(diǎn)之間的異同點(diǎn)，達(dá)到對(duì)所學(xué)內(nèi)容融會(huì)貫通真正的把所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中.

責(zé)任編輯 羅 峰

數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，在平時(shí)的教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的深入理解，如果我們從函數(shù)的角度去研究數(shù)列，加強(qiáng)函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用教學(xué)，使學(xué)生理解數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，它可以看作是以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的函數(shù)，數(shù)列與函數(shù)之間是特殊到一般的關(guān)系.通過(guò)對(duì)數(shù)列中的函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，可以使學(xué)生對(duì)函數(shù)思想有更深刻的認(rèn)識(shí)和理解，使所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，有效地提高學(xué)生的思維能力.

一、在等比數(shù)列中建立恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

在等比數(shù)列求和中，通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)利用待定系數(shù)法使解題過(guò)程更加簡(jiǎn)便，同時(shí)避開(kāi)了繁瑣的計(jì)算過(guò)程.

例1：在等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本題的常規(guī)解法是用等比數(shù)列求和公式Sn=■列出關(guān)于a1和q的方程組，解出a1和q，但計(jì)算繁瑣.若考慮到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn= ■=■-■.qn，設(shè)A=-■，則可以考慮建立目標(biāo)函數(shù) Sn=Aqn-A（A為待定系數(shù)），從而優(yōu)化了解題過(guò)程.

解：設(shè) Sn=Aqn-A，則S2=Aq2-2，∴Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， ∴Aq4-A=15 （2）

列方程組解（1）（2）得，A=1，q=±2

∴Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

評(píng)述：此題如果注意到等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn可寫(xiě)成Sn=Aqn-A（A為待定系數(shù)）的形式，解題方法顯得巧妙一些.通過(guò)對(duì)這道題的仔細(xì)講解讓學(xué)生理解函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用，在今后解數(shù)列題時(shí)要巧妙的使用函數(shù)方法.

函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題，不僅是解決數(shù)列問(wèn)題的重要途徑，也是提高數(shù)學(xué)解題能力的重要一環(huán).用函數(shù)思想解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，不僅要用到函數(shù)的形式，更重要的是應(yīng)用函數(shù)的思想方法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，借助與函數(shù)性質(zhì)及圖像來(lái)解決問(wèn)題，會(huì)有事半功倍的效果.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)解決等比數(shù)列問(wèn)題

利用函數(shù)的單調(diào)性解決數(shù)列中的問(wèn)題，會(huì)使得一道難題變得更簡(jiǎn)單.利用函數(shù)的一些性質(zhì)解答數(shù)列題中同樣如此.所以在解數(shù)列題時(shí)要思維活躍，多鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，不斷的去探索數(shù)列與函數(shù)的異同點(diǎn).

例2：已知數(shù)列a■的通項(xiàng)a■=（n+1）· （■）■（n∈N*），試問(wèn)該數(shù)列a■有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，若沒(méi)有說(shuō)明理由.

解題思路：由于該數(shù)列不是直接與等比數(shù)列相關(guān)的數(shù)列，形式看起來(lái)比較復(fù)雜，但若從函數(shù)角度，可利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■

當(dāng)n<9時(shí)，a■n+1-a■>0，即a■n+1>a■

當(dāng)n=9時(shí)，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

當(dāng)n>9時(shí)，a■n+1-a■<0，即a■n+1

故a1a11>a12>…這說(shuō)明數(shù)列a■中存在最大項(xiàng)，為第9項(xiàng)或第10項(xiàng).

評(píng)述：本題也可以化歸為解不等式組a■>a■a■≥a■來(lái)解決，但計(jì)算繁瑣，而利用函數(shù)的單調(diào)性更能發(fā)現(xiàn)數(shù)列的變化趨勢(shì)，顯得更簡(jiǎn)捷.利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題，降低了試題的難度，通過(guò)對(duì)這些題的研究，讓學(xué)生更加理解了函數(shù)與數(shù)列的特殊關(guān)系.

在解題中巧妙地使用函數(shù)思想會(huì)大大地降低解題難度，尤其是在一些比較復(fù)雜的數(shù)列題中。如果聯(lián)想到了題目考查函數(shù)的某些性質(zhì)，那解題就是很容易的事，經(jīng)常讓學(xué)生去探索它們的聯(lián)系，不僅提高了學(xué)生的解題速度，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力.要告訴學(xué)生，不能夠?yàn)榻忸}而解題，要多去思考探究中學(xué)數(shù)學(xué)中各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，要挖掘各知識(shí)點(diǎn)之間的異同點(diǎn)，達(dá)到對(duì)所學(xué)內(nèi)容融會(huì)貫通真正的把所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中.

責(zé)任編輯 羅 峰