時間分?jǐn)?shù)階倒向擴散問題的全變分正則化

張維，嚴(yán)春梅

(成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，四川成都610059)

0 引言

近年來，倒向擴散問題引起了許多學(xué)者進行討論.與經(jīng)典的擴散模型進行對比，倒向擴散模型有許多不同的性質(zhì).比如帶有長尾分布的質(zhì)量傳送就不能由經(jīng)典的擴散模型來描述，這時候就需要用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代替經(jīng)典的時間導(dǎo)數(shù)，時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有記憶效應(yīng)的緩慢擴散，緩慢擴散最早是由Adams E.E和Gelhar L[1]提出.因為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是非局部的，倒向擴散問題是不適定的，相對于時間是不可逆的，向前擴散過程的過度光滑作用使其對不連續(xù)的初始狀態(tài)重建困難.Liu J J和Yamamoto M對分?jǐn)?shù)階倒向問題做出了研究[2]，倒向擴散模型在圖像修復(fù)方面有廣泛的應(yīng)用，修復(fù)圖像的核心是用不連續(xù)的圖像灰度描繪圖像邊緣，然而，經(jīng)典的擴散模型忽略了圖像模糊的記憶效應(yīng)，因此我們引進緩慢擴散模型.

考慮一個時間分?jǐn)?shù)階倒向擴散模型

其中r∈(0，1)是關(guān)于時間的分?jǐn)?shù)微分階數(shù)，u0(x)是Ω上的有界凸子集，是初始時刻的值.方程(1)中是Caputo導(dǎo)數(shù)定義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，

倒向問題是由帶噪聲的終端數(shù)據(jù)gδ(x)來反演初值u(x，0)=u0(x)，假設(shè)噪聲數(shù)據(jù)滿足

δ＞0是誤差水平，g(x):=u(x，T)為終點時刻的觀測值.由Parseval等式，對式(1)中x作傅里葉變換有

再對式(4)中t做拉普拉斯變換有

其中r＞0，β∈R是任意常數(shù).

因此，我們由式(5)建立了u(x，0)與u(x，T)之間的關(guān)系式.

Er.1是Mittag-Leffler函數(shù)，定義如下

1 分?jǐn)?shù)階倒向擴散的全變分正則化

我們將式(5)中u0進行全變分正則化表示為

約束條件:

A為一些可容許的近似解.

用拉格朗日公式將式(6)化為無約束的最優(yōu)化問題

本文將式(1)的近似解轉(zhuǎn)換為求解式(7)最優(yōu)化問題，下面我們將討論式(7)解得存在唯一性及穩(wěn)定性.

定理1 存在唯一性.設(shè)A在L1(Ω)上的閉的凸子集，對于?λ＞0，最優(yōu)化問題(7)在A上存在唯一極小元.

證明要證明定理1，需要引進引理[3]，引理如下:假設(shè)C是Lp(Ω)中的一個閉的凸子集，1≤p≤的線性有界算子，假設(shè)K1≠0，1函數(shù)被定義為

在C上存在唯一極小元.定理1的詳細證明見文[4].

定理2 穩(wěn)定性

1)一致BV強制:對任意子列un∈Lp(Ω)，當(dāng)lim‖un‖BV=+∞時，有

2)穩(wěn)定性:在BV有界集中Jn→J一致收斂，等價于給定B＞0，ε＞0，存在N，st當(dāng)n＞N，‖u‖BV≤B時，

證明因為Jn(un)≤Jn()，由式(10)得

因此由式(9)知，子列un是BV有界的，假設(shè)式(11)中=u≠，由J的弱下半連續(xù)性質(zhì)可得:

這與定理1中J存在唯一極小元矛盾，即得證.

2 相關(guān)的迭代方法

本文用兩種計算方法求解問題(7)，分別為Bregman迭代和分離的Bregman迭代方法.

2.1 Bregman迭代

正如上文所述，Bregman迭代最初是由Osher在圖像處理中所介紹的[5]，Bregman迭代求解式(7)近似解時，迭代的次數(shù)少并且對參數(shù)λ是不敏感的，當(dāng)正則化參數(shù)很難選取時，Bregman迭代提供了一個可行的數(shù)值解.

凸函數(shù)J(·)在點u和v的Bregman距離定義如下:

其中p是J(·)在點v處的次梯度.

為了求解最優(yōu)化問題(7)，當(dāng)u0=p0=0時，文[4]給出了詳細的計算過程并進一步得到以下迭代步驟:

當(dāng)然迭代的收斂率也在文[4]中有詳細的敘述，這里就不贅述了.

2.2 分離的Bregman迭代

由Bregman迭代公式我們可以求解(7)的近似解，那么下面我們將用分離的Bregman迭代方法快速地求解式(7)的近似解.

對于式(7)，我們提出分離的Bregman迭代構(gòu)想，

文[6]已經(jīng)證明了式(15)與式(7)是等價的，我們就可以用下面的迭代公式求解最優(yōu)化問題:

這時，我們需要解決以下3個步驟，

第3步:bk+1=bk+J(uk+1)－dk.

首先在第1步中，由于耦合性，這是一個關(guān)于u的最優(yōu)化問題是可微的，那么可以直接用傅里葉變換，Gauss-Seidel，共軛梯度法求解.

在第2步中，可以通過軟閥值算子有效的求解

在第3步中已經(jīng)明確給出了迭代式子，可以直接求解.

通過文[7]我們可以明確得出分離的Bregman迭代方法在計算機中的算法實現(xiàn)，以及收斂率的分析[8].

3 結(jié)論

本文運用全變分正則化將時間分?jǐn)?shù)階倒向擴散問題的不適定性適定化，討論了最優(yōu)化問題解的存在唯一性以及穩(wěn)定性，給出兩種迭代方法對最優(yōu)化問題的解進行數(shù)值計算，并且保證了收斂率.

[1] Liu J J，Yamamoto M.A backward problem for the time-fractional diffusion equation[J].Appl Anal，2010，89(11):1769-1790.

[2] Adams E E，Gelhar L W.Filed study of dispersion in a hetero-geneous aquifer 2 spatial moments analysis[J].Water Resour Res，1992，28(12):3293-3307.

[3] Acar R，Vogel C R.Analysis of bounded variation penalty methods for ill-posed problems[J].Inverse problems，1994，10(6):17-29.

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[5] Osher S，Burger M，Goldfarb D，et al.An iterative regularization method for total variation based image restoration[J].SIAM J Multiscale Modelling Simul，2005，4(2):60-89.

[6] Goldstein T，Osher S.The Split Bregman Method for L1-Regularized problems[J].SIAM J Imaging Sci，2009，2(2):323-342.

[7] 賈小寧.基于傅立葉-全變差正則化的圖像去卷積算法[D].長春:吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，2011.

[8] Cai J F，Osher S，Shen Z.Split Bregman Methods and Framed based Image Restoration[J].SIAM Multiscale Model Simul，2009，8(2):337-369.