分?jǐn)?shù)階微分包含反周期邊值問(wèn)題解的存在性

齊悅

(淮安市高級(jí)職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇淮安223300)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微分方程起源于物理學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)和經(jīng)濟(jì)等研究領(lǐng)域，是人們理解現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)模型的重要工具.因此，分?jǐn)?shù)階微分方程的研究受到數(shù)學(xué)工作者的廣泛關(guān)注.

2012年，Cabada和Wang研究了帶有反周期邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程[4]:

其中0＜p＜1＜q＜2，cDα是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，f是一個(gè)連續(xù)函數(shù).作者利用Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了帶有積分邊值的分?jǐn)?shù)階微分方程(1)的正解的存在性.

受文[4]的啟發(fā)，在本文中，我們研究如下分?jǐn)?shù)階微分包含反周期邊值問(wèn)題:

其中0＜p＜1＜q＜2，cDα是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，F(xiàn):[0，T]×R→P(R)定義在[0，T]上的多值映射.P(R)表示R的所有非空子集.

本文的主要目的是將文[4]的結(jié)果擴(kuò)展到多值情形.我們的結(jié)果包含非線性項(xiàng)是凸和非凸兩種情形.利用不動(dòng)點(diǎn)定理研究帶有邊值條件問(wèn)題的分?jǐn)?shù)階微分包含問(wèn)題(2)的解的存在性.

我們假設(shè)讀者熟知分?jǐn)?shù)階微分方程理論和多值映射理論.為方便起見(jiàn)，給出證明主要結(jié)果所用的一些常規(guī)記號(hào).

對(duì)于賦范空間(X，‖·‖)，令

Pcp(X)={Y∈P(X):Y是緊的}，Pcp，c(X)={Y∈P(X):Y是緊凸的}，對(duì)于每個(gè)y∈C([0，T]，R)，定義F的選擇集合為:

SF，y:={v∈L1([0，T]，R):v(t)∈F(t，y(t))對(duì)于a.e.t∈[0，T]}

令(X，d)是由賦范空間(X，‖·‖)引進(jìn)的度量空間.考慮Hd:P(X)×P(X)→R∪{∞}定義如下:

其中d(A，b)=infa∈Ad(a，b)且d(a，B)=infb∈Bd(a，b).顯然，(Pb，cl(X)，Hd)是度量空間并且(Pcl(X)，Hd)是一個(gè)廣義度量空間[4].

令F:[0，T]×R→P(R)是一個(gè)帶有非空緊值的多值映射，定義與F有關(guān)的一個(gè)多值算子F:C([0，T]×R)→P(L1([0，T]，R))如下:

下面給出4個(gè)引理，它們是證明結(jié)論的主要工具，在證明過(guò)程中起關(guān)鍵作用.

引理1[4](Kakutani映射的非線性選擇定理)令E是Banach空間，C是E的一個(gè)閉凸子集.U是C的一個(gè)開(kāi)子集，且0∈.若F:U→Pc，cv(C)是上半連續(xù)緊的映射，其中Pc，cv(C)表示的一族非空緊凸子集.則或者

(ii)存在一個(gè)u∈?U及λ∈(0，1)使得u∈λF(u).

引理2[5]令X是一個(gè)Banach空間.設(shè)F:[0，T]×R→Pcp，c(X)是一個(gè)L1-Carathéodory multivalued映射且H是一個(gè)由L1([0，T]，X)到C([0，T]，X)線性連續(xù)映射，則算子

是C([0，T]，X)×C([0，T]，X)中的一個(gè)閉圖算子.

引理3[6]令Y是一個(gè)可分的度量空間.設(shè)F:Y→P(L1([0，T]，R))是一個(gè)多值算子，滿足F是下半連續(xù)且有非空閉的可分解值.則F存在一個(gè)連續(xù)選擇，即存在一個(gè)連續(xù)單值函數(shù)f:Y→L1([0，T]，R)使得對(duì)于每個(gè)x∈Y有f(x)∈N(x).

引理4[7]令(X，d)是一個(gè)完備度量空間.若F:X→Pcl(X)是一個(gè)壓縮映射，則不動(dòng)點(diǎn)集F≠φ.

1 主要結(jié)果

列出本文的假設(shè)條件:

(A1)函數(shù)F:[0，T]×R→Pcl(R)是Carathéodory且存在非空緊凸值.

(A2)存在一個(gè)連續(xù)非減函數(shù)ψ:[0，∞)→(0，∞)和一個(gè)函數(shù)p∈L1([0，T]，R+)使得

(A3)函數(shù)F:[0，T]×R→Pcl(R)是一個(gè)非空緊的多值映射使

(i)(t，y)|→F(t，y)is L?B，

(ii)y|→F(t，y)對(duì)于t∈[0，T]是下半連續(xù)的.

引理5[4]假設(shè)2＜α≤3，0＜p＜1＜q＜2，g∈C([0，T]，R)，則以下問(wèn)題

存在唯一解

為方便起見(jiàn)，記

定理1 假設(shè)(A1)～(A2)成立，若存在一個(gè)正數(shù)M＞0使得

則問(wèn)題(2)在[0，T]至少存在一個(gè)解.

證明定義算子T:C([0，T]，R)→P(C[0，T]，R)如下:

對(duì)于f∈SF，y，我們將證明算子T滿足引理1的所有條件.我們將證明分為如下幾步.

步驟1:對(duì)于每個(gè)y∈C([0，T]，R)算子T是凸的.因?yàn)镾F，y是凸的，易證.

步驟2:T映射C([0，T]，R)中的有界集到有界集.

對(duì)于正數(shù)r，令Br={y∈C([0，T]，R):‖y‖≤r}中的有界球，則對(duì)于h∈T(y)，y∈Br，存在f∈SF，y，使得

并且有

因此，我們有

步驟3:T映射C([0，T]，R)中的有界集到等度連續(xù)集.令t'，t∈[0，T]，且t'＜t，y∈Br，其中Br是C([0，T]，R)的一個(gè)有界集，對(duì)于h∈T(y)，我們有

上式右端不等式當(dāng)t→t'時(shí)趨于0，因此由Ascoli-Arzelá定理，T全連續(xù).

步驟4:T存在一個(gè)閉圖.令yn→y*，hn∈T(yn)且hn→h*.然后，我們需證明h*∈T(y*).對(duì)于hn∈T(yn)，存在fn∈SF，yn，使得

接下來(lái)，需證明對(duì)于t∈[0，T]存在f*(s)∈SF，y，

考慮如下連續(xù)線性算子Φ:L1([0，T]，R)→C([0，T]，R)定義如下:

注意到

當(dāng)n→∞.因此，由引理2，Φ?SF是一個(gè)閉圖算子.另外我們有hn(t)∈Φ(SF，yn).當(dāng)yn→y*，我們有

對(duì)于某個(gè)f*∈SF，y*.

步驟5:存在一個(gè)開(kāi)集U?C([0，T]，R)，y∈T(y)對(duì)于λ∈(0，1)，x∈?U令η∈(0，1)，y∈ηT(y).則對(duì)于t∈[0，T]存在f∈L1([0，T]，R)，f∈SF，y使得對(duì)于t∈(0，1)，我們有

類(lèi)似步驟2的討論，我們有

由(4)，存在M使得‖y‖≠M(fèi).令

如下討論，假設(shè)F是非凸情形.主要工具為Bressan and Colombo選擇定理和帶有可分解值的下半連續(xù)映射.

定理2 假設(shè)(A2)和(A3)成立，并且存在r＞0使得式(4)成立，問(wèn)題(2)至少存在一個(gè)解y.

證明由(A2)～(A3)，F(xiàn)是下半連續(xù)型.由引理3，存在f∈C([0，T]，R)→L1([0，T]，R)使得f(y)∈F(y)，對(duì)于所有的y∈C([0，T]，R).考慮相應(yīng)的問(wèn)題

注意到，若y∈C3([0，T]，R)是式(6)的一個(gè)解，則y是問(wèn)題(2)的一個(gè)解.為了將問(wèn)題(2)轉(zhuǎn)化為一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，我們定義算子T如下:

容易驗(yàn)證T是連續(xù)并且是全連續(xù)的.證明余下的步驟類(lèi)似于定理1的證明，在此省略.

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