類比方法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

張 莉， 周羚君

(同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200092)

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課之一，是理工科各專業(yè)學(xué)生必修的課程，其重要程度不言而喻.由于線性代數(shù)的抽象性較我國現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)教材要高一個(gè)層次，而且信息量大大超過中學(xué)代數(shù)課程，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，很難在短時(shí)間內(nèi)記住知識要點(diǎn)，無法將相對抽象的概念、定理形象化，考完即忘的情況比較普遍，嚴(yán)重影響了后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí).經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)在講述概念、定理時(shí)，做一些形象的比喻或類比，有助于學(xué)生記憶知識要點(diǎn).我們特別將幾個(gè)深有心得的案例總結(jié)如下，供大家參考.

1 向量組的極大線性無關(guān)組、向量組的秩的類比教學(xué)

向量組的極大線性無關(guān)組、向量組的秩是向量組線性相關(guān)性教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).這一節(jié)的教學(xué)，除了定義之外，還需要講清三個(gè)問題：第一，極大線性無關(guān)組是否一定存在；第二，極大線性無關(guān)組的選取是否唯一；第三，為什么極大線性無關(guān)組的向量個(gè)數(shù)是不變量.假如在教學(xué)中，僅僅重述課本上的內(nèi)容，程度一般的學(xué)生很難想清其中的原委.我們在教學(xué)中，采用類比的方法，化解這一困難.

首先我們提一個(gè)新問題，在教室里的所有學(xué)生這個(gè)集合中，如果一群人中存在兩個(gè)人住在同一間宿舍，那么就稱這一群人相關(guān)，否則就稱這一群人無關(guān)，如此在教室里所有學(xué)生這個(gè)集合中，能否選出一個(gè)“代表團(tuán)”(也就是子集合)，使得“代表團(tuán)” 中的這群人是無關(guān)的，但再添加進(jìn)任何一個(gè)人進(jìn)來之后，這個(gè)人群就相關(guān)了，亦即這個(gè)“代表團(tuán)”是一個(gè)極大無關(guān)組.

對這個(gè)問題，大部分學(xué)生會(huì)很快得出結(jié)論，這樣的極大無關(guān)組是存在的，通常不唯一，但是無論怎么選取，這個(gè)極大無關(guān)組的人數(shù)是不變的，等于教室中所有學(xué)生分布的宿舍總數(shù).于是我們進(jìn)一步問，如何構(gòu)造這個(gè)極大無關(guān)組？大部分學(xué)生也可以在我們的引導(dǎo)下回答：首先任選一個(gè)學(xué)生進(jìn)入“代表團(tuán)”，而與他相關(guān)的學(xué)生離場，然后在剩余的學(xué)生中再選一人進(jìn)入“代表團(tuán)”，與“代表團(tuán)”相關(guān)的人再離場，如此反復(fù)做下去，總有一個(gè)時(shí)刻，教室中除“代表團(tuán)”以外，再無其他成員，此時(shí)這個(gè)“代表團(tuán)”就是要求的極大無關(guān)組.而且根據(jù)這個(gè)構(gòu)造法，學(xué)生也很容易理解為什么這個(gè)極大無關(guān)組通常不唯一(除非所有學(xué)生全體本身就是無關(guān)組)，為什么極大無關(guān)組的元素個(gè)數(shù)是不變量.

然后我們指出，對于向量組為有限集時(shí)的極大線性無關(guān)組，跟人員的極大無關(guān)組是非常相似的，其存在性的結(jié)論和證明與人員問題的結(jié)論和證明幾乎一致.當(dāng)向量組為無限集的情況，此時(shí)極大無關(guān)組的存在性等價(jià)于集合論中的一條公理(也就是Zorn引理)，對非數(shù)學(xué)系的學(xué)生就可以到此為止了，對數(shù)學(xué)系的學(xué)生，可以酌情陳述Zorn引理和選擇公理，并指出它們的等價(jià)性，而選擇公理是顯而易見的.

進(jìn)一步，對極大無關(guān)組的替換原理，我們也可以通過這個(gè)例子類比.我們可以問學(xué)生，假如我們開一個(gè)學(xué)生代表大會(huì)，會(huì)議代表團(tuán)要求是一個(gè)極大無關(guān)組，代表團(tuán)里有一個(gè)學(xué)生臨時(shí)來不了了，應(yīng)該如何選擇替補(bǔ)呢？學(xué)生很容易想到，在與缺席學(xué)生相關(guān)的學(xué)生中選一個(gè)替換.然后再問學(xué)生，對向量組的極大線性無關(guān)組中的向量，是否可以被替換，可以被什么樣的向量替換？此時(shí)我們寫出表達(dá)式

l1α1+l2α2+…+lnαn=β，

這里α1,α2,…,αn是一個(gè)極大線性無關(guān)組.我們指出，如果系數(shù)lj≠0，那么就說明β與αj有關(guān)系(β的線性表示必須用到αj，直觀上容易理解這種“有關(guān)系”)，可以用β替換αj，否則線性表示β用不到αj，那就不能替換.

另外，對向量組線性相關(guān)組的一些定理，也可利用此例類比.例如，任何一個(gè)線性無關(guān)組的子組必定線性無關(guān)，反之，如果一個(gè)向量組的某個(gè)子組線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組線性相關(guān).而這些結(jié)論，如果單靠死記硬背，經(jīng)常會(huì)被記錯(cuò).

2 矩陣相似對角化條件的類比教學(xué)

矩陣相似對角化的條件，是學(xué)生比較難理解與記憶的一個(gè)定理.特別是對非數(shù)學(xué)系的學(xué)生，由于講不到特征子空間、根子空間等知識點(diǎn)(甚至有些數(shù)學(xué)系的學(xué)生，也僅僅通過λ-矩陣得到Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，而繞過特征子空間和根子空間)，不容易體會(huì)代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)的差異.我們在教學(xué)過程中，亦采用類比的方法，幫助學(xué)生理解記憶.

我們將矩陣的特征值比作一個(gè)家庭中的孩子，n個(gè)特征值就是n個(gè)孩子，不同的特征值代表不同年齡的孩子，于是一個(gè)矩陣的特征值就有兩種情況：n個(gè)特征值互不相同，相當(dāng)于n個(gè)孩子年齡互不相同；有相同的特征值，相當(dāng)于n個(gè)孩子中有多胞胎.我們將特征向量比作孩子上學(xué)使用的教材，如此對上述兩種情形，就分別比喻為下述事件：n個(gè)孩子年齡各不相同，那么家庭無論如何也只能為每人各購買1套教材，相當(dāng)于每個(gè)特征值都能分配到1個(gè)線性無關(guān)的特征向量；n個(gè)孩子中有多胞胎，那么對k胞胎，經(jīng)濟(jì)條件好的家庭可以為每個(gè)孩子購買1套新教材，經(jīng)濟(jì)條件差一點(diǎn)的家庭，可以少購買幾套讓這些孩子共同使用，但是至少要為這k胞胎購買1套，類比為k重特征值的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)可能是1到k中的任何一個(gè)數(shù).然后我們指出，一個(gè)n階方陣可以相似對角化，當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)矩陣有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，相當(dāng)于這個(gè)家庭的經(jīng)濟(jì)條件必須要好，可以保證每個(gè)孩子都可以分配到1套新教材.這樣一來，學(xué)生不僅能夠較好的記住這個(gè)結(jié)論，也能比較容易地搞清矩陣可以相似對角化的充分條件和必要條件，而在采用這種方法之前，學(xué)生經(jīng)常會(huì)把矩陣的特征值互不相同混淆為矩陣可對角化的必要條件，或相應(yīng)把矩陣有相同的特征值混淆為矩陣不能相似對角化的充分條件.

3 線性空間的比喻類比教學(xué)

線性空間是線性代數(shù)中最核心的概念，這個(gè)概念的抽象程度超過了之前的所有概念.大部分學(xué)生都會(huì)對為什么要定義這樣一個(gè)抽象對象產(chǎn)生困惑.我們在教學(xué)中做這樣一個(gè)比喻，在生物學(xué)中，生物學(xué)家會(huì)把具有共同特點(diǎn)的生物歸類，比如哺乳動(dòng)物、藻類植物、昆蟲等，而數(shù)學(xué)上，我們也希望把具有共同特點(diǎn)的數(shù)學(xué)對象歸類.為什么要?dú)w類呢？因?yàn)橥惖膶ο笸邢嗨频男再|(zhì)，比如醫(yī)學(xué)中研究一種新藥，在臨床應(yīng)用前，會(huì)先對一些哺乳動(dòng)物做實(shí)驗(yàn)，假如藥物對哺乳動(dòng)物的效果良好，那么對人類很可能也會(huì)有效.數(shù)學(xué)上也是同樣的，我們之前已經(jīng)對矩陣，特別是列向量空間已經(jīng)研究得比較清楚了，那么對列向量這個(gè)數(shù)學(xué)對象具備的一些數(shù)學(xué)性質(zhì)，很可能與它具有同樣性質(zhì)的線性空間也具備，一旦這一結(jié)論得到驗(yàn)證，立刻就會(huì)產(chǎn)生事半功倍的效果.做這樣一個(gè)比喻后，學(xué)生就會(huì)覺得定義線性空間這個(gè)概念是很自然的事情.

在線性空間的概念陳述中，也存在一些難點(diǎn)，比如加法、數(shù)乘、零元、負(fù)元可以不是傳統(tǒng)意義下的加法、數(shù)乘、零元、負(fù)元，最經(jīng)典的例子就是正實(shí)數(shù)集合關(guān)于實(shí)數(shù)乘法和實(shí)數(shù)乘方構(gòu)成線性空間.我們在教學(xué)時(shí)在講解零元、負(fù)元時(shí)也采用一定的比喻手段.我們提出零元的概念后，我們指出零元是線性空間這個(gè)集合中的一個(gè)非常特殊的元素，零元只是我們賦予它的一個(gè)名字，它本身有可能跟傳統(tǒng)意義上的零沒有明顯的聯(lián)系，比如一個(gè)國家，總統(tǒng)是個(gè)特殊的人物，但他的姓名中未必能體現(xiàn)他是總統(tǒng)(比如美國總統(tǒng)叫奧巴馬)，所以線性空間中的零元素有可能是數(shù)字0，有可能是0矩陣，有可能是0常值函數(shù)，也有可能是跟0沒有明顯聯(lián)系的數(shù)學(xué)對象.同樣，對于一個(gè)元素的負(fù)元，也是與它有特殊關(guān)系的一個(gè)對象，其原始表達(dá)式并不見得是在該元素前添加負(fù)號(雖然大部分情況下是)，就好像一個(gè)人與其配偶的關(guān)系，兩個(gè)人的姓名未見得能體現(xiàn)出夫妻關(guān)系(比如在當(dāng)今中國大陸，女性結(jié)婚后就不改變姓氏).有了這樣的鋪墊，學(xué)生對這些抽象概念就能比較準(zhǔn)確地理解.

4 線性變換與一次函數(shù)

線性變換的概念同樣比較抽象.對非數(shù)學(xué)系的本科學(xué)生，線性變換通常是線性代數(shù)課程的最后一部分內(nèi)容，學(xué)完就要期末考試了，留給學(xué)生復(fù)習(xí)體會(huì)的時(shí)間很短；而對數(shù)學(xué)系學(xué)生而言，線性變換幾乎是高等代數(shù)課程最重要的內(nèi)容，是后續(xù)數(shù)學(xué)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，如果不能理解好這一概念，就會(huì)嚴(yán)重影響高等代數(shù)后半以及后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí).我們在這部分的教學(xué)中將線性變換與一次函數(shù)作比較.首先我們問學(xué)生，中學(xué)代數(shù)在對實(shí)數(shù)了解清楚后，提出的新概念是什么？我們引導(dǎo)學(xué)生想到函數(shù)，也就是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的一個(gè)映射.那么最先學(xué)習(xí)的函數(shù)又是什么呢？我們引導(dǎo)學(xué)生想到一次函數(shù)，特別是沒有常數(shù)項(xiàng)的一次函數(shù).那么一次函數(shù)有什么樣的特點(diǎn)呢？我們引導(dǎo)學(xué)生想到保持加法保持?jǐn)?shù)乘.這時(shí)我們指出，現(xiàn)在我們已經(jīng)對線性空間有了清楚地了解，那么接下來應(yīng)該研究的就是線性空間到其自身的映射，而其中最簡單的映射就是保持加法保持?jǐn)?shù)乘的映射，這就是線性變換.在講到線性變換的矩陣時(shí)，學(xué)生就會(huì)聯(lián)想到原來線性變換像與原像之間的關(guān)系

形式上跟沒有常數(shù)項(xiàng)的一次函數(shù)的表達(dá)式是一樣的，于是學(xué)生就會(huì)覺得這些內(nèi)容是很自然的.

在本文的最后，我們指出，我們在文中多次提到類比的方法，這并不代表我們以類比取代嚴(yán)格的敘述和證明，嚴(yán)格的敘述和證明是數(shù)學(xué)的根基，是每一個(gè)數(shù)學(xué)工作者必備的素質(zhì)，也是訓(xùn)練每一個(gè)理工科學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的必須環(huán)節(jié).我們采用類比的手段，僅僅是給學(xué)生增強(qiáng)概念的直觀性，縮短學(xué)生理解抽象概念的時(shí)間，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.在學(xué)生對抽象概念有了一定的理解后，我們依然要回到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，最終引導(dǎo)學(xué)生完成從抽象到形象，從形象再到抽象的學(xué)習(xí)過程.

[參 考 文 獻(xiàn)]

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