一道國際大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題的注記

孫 倩

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

設(shè)P為n次實(shí)系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式，只有實(shí)零點(diǎn).

a)證明對于任意實(shí)數(shù)x，下列不等式成立：

(n-1)(P′(x))2≥nP(x)P″(x).

(1)

b)討論等號成立的情形.

這是第五屆國際大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽(1998年)的一道試題[1]，本文對這道試題做進(jìn)一步討論，得到更為一般的結(jié)果.

設(shè)Pn(x)為n次實(shí)系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式，只有實(shí)零點(diǎn).

(i)設(shè)m=1,2，…,n-1.若x不是Pn(x)的零點(diǎn)，則

(2)

其中等號當(dāng)且僅當(dāng)Pn(x)有n重零點(diǎn)時成立.

(ii)設(shè)m=2,3,…,n-1.若xi(i=1,2,…,n)為Pn(x)的零點(diǎn)，則

(3)

其中等號當(dāng)且僅當(dāng)Pn(x)有n-1重零點(diǎn)時成立.

此結(jié)論的證明如下：

(4)

其中x不是Pn(x)的零點(diǎn).

(5)

(6)

(7)

(6),(7)兩式整理后即得不等式(2)，(3).

由牛頓不等式[2]等號成立條件知.不等式(2)中等號當(dāng)且僅當(dāng)所有的x-xi(i=1,2,…,n)相等，即Pn(x)有n重零點(diǎn)時成立；不等式(3)中等號當(dāng)且僅當(dāng)除xj(i=1,2,…,n；j≠i)相等，即Pn(x)有n-1重零點(diǎn)時成立.

注 當(dāng)m=1時，由(2)可得(1).而此時，若x為Pn(x)的零點(diǎn)，(2)式亦即(1)式顯然成立.又當(dāng)m=n時，(2)為等式.

當(dāng)m=1或m=n時，(3)為等式.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 王麗萍.歷屆國際大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題集[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012:45-46.

[2] 哈代 G H，李特伍德 J E，波利亞 G.不等式[M].北京:科學(xué)出版社，1965:53;113.