相異成本下異質(zhì)產(chǎn)品的多寡頭古諾模型

張數(shù)，盧虎生

摘 要：針對(duì)行業(yè)內(nèi)執(zhí)行產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，生產(chǎn)商可選擇生產(chǎn)各質(zhì)量等級(jí)產(chǎn)品的情形，本文建立了相異成本下異質(zhì)產(chǎn)品的多寡頭古諾模型。在線性反需求函數(shù)下，用數(shù)值方法求解了擴(kuò)展古諾模型，分析了成本對(duì)均衡解和利潤(rùn)的影響。研究表明，在本文針對(duì)的情形下，生產(chǎn)商自身成本降低導(dǎo)致的利潤(rùn)增加大于對(duì)手成本升高；在生產(chǎn)商內(nèi)部，具有成本優(yōu)勢(shì)產(chǎn)品的成本降低導(dǎo)致的利潤(rùn)增加大于不具有成本優(yōu)勢(shì)產(chǎn)品的成本降低。

關(guān)鍵詞：博弈論；異質(zhì)產(chǎn)品；相異成本；古諾模型

0 引言

古諾模型是一個(gè)經(jīng)典的博弈模型，研究雙寡頭壟斷市場(chǎng)及均衡產(chǎn)量問(wèn)題。近年來(lái)，許多學(xué)者在寡頭數(shù)目、相異成本、差異產(chǎn)品等方面擴(kuò)展了古諾模型。張明善研究了多個(gè)生產(chǎn)商下的一般動(dòng)態(tài)古諾模型；張宇波分別討論了線性反需求函數(shù)和非線性反需求函數(shù)下的多寡頭動(dòng)態(tài)古諾模型，還有劉新民討論了雙曲線需求函數(shù)的多寡頭古諾模型；王強(qiáng)討論了在成本信息不完全的情況下差異產(chǎn)品的廠商古諾模型，廖萍康分別討論了成本函數(shù)為線性函數(shù)和非線性函數(shù)情況下的多寡頭古諾模型等等。

在同質(zhì)產(chǎn)品的基礎(chǔ)上，具有一定替代程度的差異產(chǎn)品方面也取得了進(jìn)展。葉和俊借助動(dòng)態(tài)古諾模型，討論同一行業(yè)中兩個(gè)具有一定替代性的差異化產(chǎn)品在不同情況下競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)均衡結(jié)果；方海燕，張薇采用逆向歸納法求出了當(dāng)產(chǎn)品差異程度不同時(shí)，產(chǎn)品市場(chǎng)合作策略與產(chǎn)品市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)策略的優(yōu)劣；王玉靈運(yùn)用過(guò)程創(chuàng)新基準(zhǔn)效益的概念和異質(zhì)產(chǎn)品寡占模型的分析方法，將傳統(tǒng)古諾模型擴(kuò)展到同類異質(zhì)產(chǎn)品三方寡占的古諾模型。但這些異質(zhì)產(chǎn)品的研究不適用執(zhí)行產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的行業(yè)，本文旨在建立相關(guān)模型，用數(shù)值方法求解，分析成本差異對(duì)均衡解的影響。

1 異質(zhì)產(chǎn)品的擴(kuò)展多寡頭古諾模型

本文研究一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的市場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的產(chǎn)量博弈問(wèn)題。行業(yè)內(nèi)執(zhí)行統(tǒng)一的產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，各生產(chǎn)商可選擇生產(chǎn)若干種質(zhì)量等級(jí)的產(chǎn)品。根據(jù)生產(chǎn)成本的差異將生產(chǎn)商分為若干類，每一類生產(chǎn)商的成本函數(shù)非常接近。模型的具體假設(shè)如下：

（1）在完全信息條件下，每個(gè)寡頭都理性地追求利潤(rùn)最大化；

（2）假設(shè)該區(qū)域內(nèi)產(chǎn)品價(jià)格不受其它區(qū)域的影響，即該區(qū)域內(nèi)產(chǎn)品的價(jià)格僅由區(qū)域內(nèi)所有生產(chǎn)商的所有質(zhì)量等級(jí)產(chǎn)品的產(chǎn)量決定；

（3）假設(shè)每個(gè)寡頭都可以生產(chǎn)m種不同質(zhì)量等級(jí)的產(chǎn)品；

（4）按照產(chǎn)品成本的差異，分為n類生產(chǎn)商；

設(shè) 是第 個(gè)生產(chǎn)商的第 種質(zhì)量等級(jí)產(chǎn)品的產(chǎn)量， 是市場(chǎng)上（所有生產(chǎn)商）第種產(chǎn)品的總產(chǎn)量。 是第 種產(chǎn)品的價(jià)格，n個(gè)生產(chǎn)商面臨共同的市場(chǎng)反需求函數(shù)：

其中 ，A是常數(shù)， 是每種產(chǎn)品消費(fèi)者最大支付愿望， 是各質(zhì)量等級(jí)產(chǎn)品對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的影響矩陣，反映不同產(chǎn)品間的替代程度。

假設(shè) 是第 個(gè)生產(chǎn)商的第 種產(chǎn)品的單位成本。各個(gè)生產(chǎn)商的決策目標(biāo)相同，都理性地最大化自身利潤(rùn)，第 個(gè)生產(chǎn)商的得益函數(shù)為：

當(dāng) 時(shí)，上述模型為經(jīng)典的雙寡頭古諾模型。當(dāng) 時(shí)，為多寡頭同質(zhì)產(chǎn)品古諾模型?？梢?jiàn)，本文所建立的模型是經(jīng)典古諾模型的擴(kuò)展。

2 舉例分析

2.1 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)

考慮市場(chǎng)上有3個(gè)生產(chǎn)商，3種質(zhì)量等級(jí)的情況，即n=3，m=3（質(zhì)量等級(jí)按序號(hào)從低到高排列），消費(fèi)者最大支付愿望和替代程度設(shè)置為：

以2#生產(chǎn)商的成本為基準(zhǔn)，1#生產(chǎn)商具有高質(zhì)量等級(jí)產(chǎn)品的成本優(yōu)勢(shì)，3#生產(chǎn)商則具有低質(zhì)量等級(jí)產(chǎn)品的成本優(yōu)勢(shì)。在所有實(shí)驗(yàn)中，2#生產(chǎn)商的產(chǎn)品成本保持不變， 。假設(shè)三個(gè)生產(chǎn)商的2#產(chǎn)品的成本都相同， 。1#生產(chǎn)商1#產(chǎn)品的成本高于2#生產(chǎn)商，范圍為15～20，步長(zhǎng)為1。1#生產(chǎn)商3#產(chǎn)品的成本低于2#生產(chǎn)商，范圍為55～50，步長(zhǎng)為-1。3#生產(chǎn)商1#產(chǎn)品的成本低于2#生產(chǎn)商，范圍為15～10，步長(zhǎng)為-1。3#生產(chǎn)商3#產(chǎn)品的成本高于2#生產(chǎn)商，范圍為55～60，步長(zhǎng)為1。4因素6水平共設(shè)計(jì)了1296次實(shí)驗(yàn)。用數(shù)值解方法求解各個(gè)生產(chǎn)商的均衡產(chǎn)量，利用C++調(diào)用LINGO軟件編程，程序退出條件設(shè)定為誤差小于，每次實(shí)驗(yàn)都經(jīng)過(guò)幾十次甚至上百次的迭代計(jì)算。

2.2 結(jié)果分析

首先，分析自身成本與對(duì)手成本對(duì)于生產(chǎn)商利潤(rùn)的影響。圖1為3個(gè)生產(chǎn)商的利潤(rùn)隨著成本變化的趨勢(shì)。

（1）當(dāng)三個(gè)生產(chǎn)商相應(yīng)產(chǎn)品的成本相等時(shí)（圖1中左上角，1#生產(chǎn)商和3#生產(chǎn)商的1#產(chǎn)品的成本都為15），三個(gè)生產(chǎn)商的利潤(rùn)相等，為467，三種質(zhì)量等級(jí)產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為6.84，9.18，5.84。經(jīng)驗(yàn)證，此均衡解與解析解完全相同。

（2）1#和3#生產(chǎn)商的利潤(rùn)均隨著自身成本降低和對(duì)手成本增加而增加。1#生產(chǎn)商利潤(rùn)等值線朝著斜率為-0.3800的梯度方向逐步增加，增加的幅度越來(lái)越大，自身成本降低一個(gè)單位所導(dǎo)致的利潤(rùn)增加值是對(duì)手成本升高一個(gè)單位所導(dǎo)致利潤(rùn)增加值的2.997倍。3#生產(chǎn)商利潤(rùn)的梯度方向斜率為-1.3077，利潤(rùn)比例為3.015：1。

（3）圖1中2#生產(chǎn)商和3#生產(chǎn)商利潤(rùn)等值線上有明顯的拐點(diǎn)，拐點(diǎn)右側(cè)1#生產(chǎn)商不再生產(chǎn)1#產(chǎn)品，3個(gè)生產(chǎn)商各質(zhì)量等級(jí)產(chǎn)品的產(chǎn)量等值線見(jiàn)圖2。

當(dāng)三個(gè)生產(chǎn)商的成本完全相等時(shí)（a圖的左上角和b圖的右下角），均衡解與圖1相同，三個(gè)生產(chǎn)商的利潤(rùn)均為467。對(duì)于1#生產(chǎn)商，其3#產(chǎn)品具有高質(zhì)量等級(jí)成本優(yōu)勢(shì)，其成本降低1個(gè)單位，利潤(rùn)平均增加13.695，其1#產(chǎn)品不具有成本優(yōu)勢(shì)，其成本降低1個(gè)單位，利潤(rùn)平均增加2.352，前者是后者的5.82倍；對(duì)于3#生產(chǎn)商，其1#產(chǎn)品具有低質(zhì)量等級(jí)成本優(yōu)勢(shì)成本降低1個(gè)單位，利潤(rùn)平均增加16.549，其3#產(chǎn)品不具有成本優(yōu)勢(shì)，其成本降低1個(gè)單位，利潤(rùn)平均增加1.376，前者是后者的12.03倍。

3 結(jié)論

本文建立了成本相異條件下具有多種不同質(zhì)量等級(jí)產(chǎn)品的多寡頭古諾模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)該模型進(jìn)行分析，從而得到使企業(yè)利潤(rùn)最大時(shí)的最優(yōu)解，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得出如下結(jié)論：

1）在執(zhí)行行業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的情況下，生產(chǎn)商自身成本降低比對(duì)手成本升高，對(duì)于利潤(rùn)的貢獻(xiàn)大。就本文算例，比如1#生產(chǎn)商，本生產(chǎn)商成本減少1導(dǎo)致本生產(chǎn)商利潤(rùn)增加了2.352，而對(duì)手生產(chǎn)商成本增加1導(dǎo)致本生產(chǎn)商利潤(rùn)增加了0.79，它們對(duì)生產(chǎn)商利潤(rùn)增加的比例為2.997：1。

2）具有成本優(yōu)勢(shì)的產(chǎn)品的成本降低比不具有成本優(yōu)勢(shì)的產(chǎn)品的成本降低，對(duì)于生產(chǎn)商利潤(rùn)的貢獻(xiàn)大。對(duì)于生產(chǎn)商來(lái)講，自已生產(chǎn)商優(yōu)勢(shì)產(chǎn)品的成本更為重要。就本文算例，比如1#生產(chǎn)商屬于高端產(chǎn)品占成本優(yōu)勢(shì)的生產(chǎn)商，本生產(chǎn)商低端產(chǎn)品成本增加1會(huì)使利潤(rùn)減少2.352，而高端產(chǎn)品成本增加1，使利潤(rùn)減少13.695；3生產(chǎn)商屬于低端產(chǎn)品成本占優(yōu)勢(shì)的生產(chǎn)商，情況正好相反。本生產(chǎn)商低端產(chǎn)品成本增加1會(huì)使利潤(rùn)減少16.549，而高端產(chǎn)品成本增加1，使利潤(rùn)減少1.376。

在執(zhí)行統(tǒng)一產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)、相對(duì)獨(dú)立的市場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，生產(chǎn)商提升利潤(rùn)的途徑為：應(yīng)從降低自身生產(chǎn)成本，尤其是具有比較成本優(yōu)勢(shì)的產(chǎn)品成本。

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