基于博奇編碼離軸全息方法的研究

陳 林，許忠保,2,鄔文俊,2，周勝飛，王心怡

(1.湖北工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，湖北 武漢 430068；2.湖北省現(xiàn)代制造質(zhì)量工程重點實驗室，湖北 武漢430068)

引言

隨著數(shù)字計算機與計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們廣泛地使用計算機去模擬、運算、處理各種光學(xué)過程。計算機產(chǎn)生全息圖已有近50年的歷史，與傳統(tǒng)的光學(xué)全息相比較，計算全息具有簡單、靈活、方便的特點[1]，已廣泛應(yīng)用于空間濾波[2-4]、三維顯示[5]、全息干涉、數(shù)字水印[6-7]等領(lǐng)域。歷經(jīng)數(shù)十年的研究發(fā)展，計算全息的編碼方式產(chǎn)生了羅曼編碼[8]、博奇編碼、黃氏編碼、李威漢編碼和迭代算法等多種技術(shù)[9-10]。

原始像與共軛像的混疊現(xiàn)象嚴重影響計算全息的再現(xiàn)像質(zhì)，通常消除再現(xiàn)像混疊現(xiàn)象的方法是加入傾斜參考光與原物光波干涉疊加，并計算出最小傾斜角來使原始像與共軛像完全分離。本文根據(jù)光學(xué)離軸全息和博奇編碼理論，研究了一種基于博奇編碼制作全息圖的方法，將原物抽樣點嵌入比原物大的全零矩陣中代替載頻參數(shù)的計算過程，并建立了一套全息顯示系統(tǒng)用于實驗驗證。該方法消除了原始像與共軛像的混疊現(xiàn)象，并可以通過控制全零矩陣的大小來控制再現(xiàn)時原始像與共軛像的分離程度。

1 基本原理

1.1 光學(xué)離軸全息原理

為了消除同軸全息圖中孿生像的干擾，在制作全息圖時加入傾角為θ的傾斜參考光，設(shè)傳播到記錄介質(zhì)平面的物光波和平面參考光波分別為

f(x,y)=A(x,y)exp[jφ(x,y)]

R(x,y)=Rexp(j2παx)

式中：A(x,y)、R分別表示物光波與參考光波的振幅；jφ(x,y)、j2παx分別是物光波與參考光波的相位；參考光波的空間頻率α=sinθ/λ,λ為參考光波波長。物光波與平面參考光波在記錄平面發(fā)生干涉，得到記錄平面上的總光強分布為

h(x,y)= |f(x,y)+R(x,y)|2=

R2+|f(x,y)|2+Rf(x,y)exp[j2πx]+Rf*(x,y)exp[-j2παx]=

R2+|A(x,y)|2+2RA(x,y)cos[2παx-φ(x,y)]

(1)

當參考光波入射到全息面上時，在像面上會出現(xiàn)分離的原始像和共軛像。并且參考光和全息圖之間的夾角θ越大，則再現(xiàn)的原始像和共軛像與原照明光波分的越開。

1.2 博奇型計算全息編碼原理

光學(xué)離軸全息圖的空間頻率分布如圖1所示，物體在頻域中的帶寬為Bx和By。圖1中，μ=±α的2個矩形代表物波的頻率成分，中間的大矩形是|f(x,y)|2的自相關(guān)頻率成分以及基波的脈沖響應(yīng)函數(shù)R2，為了避免在頻域中這些分量之間的重疊，載頻α≥(2Bx+Bx)/2=1.5Bx。h(x,y)在二維方向的最高頻率分別為2Bx、By，則由抽樣定理可知對其抽樣的間隔為

(2)

可見，直接用(1)式的全息圖透過率函數(shù)計算全息圖，抽樣點數(shù)目多，制作起來不方便。

圖1 全息圖的空頻分布圖Fig.1 Spatial frequency distribution of hologram

由(1)式可以看出，R2+|f(x,y)|2只對偏置分量有貢獻，它使得h(x,y)為實的非負函數(shù)，后一項則是提供了物體的全部信息。但由于存在這種形式的偏置，增加了全息圖記錄時的帶寬要求，同時在再現(xiàn)時會出現(xiàn)多余的衍射像。由于計算機具有靈活性的特點，可以加其他形式的偏置分量來達到使其為實的非負函數(shù)的目的，由此可降低帶寬，減少抽樣點數(shù)，便于制作及提高再現(xiàn)像質(zhì)。因此博奇提出加直流偏置K來代替(1)式中R2+|A(x,y)|2，則重新構(gòu)成的全息函數(shù)為

h(x,y)=K+Rf(x,y)exp[j2πx]+

Rf*(x,y)exp[-j2παx]=K+

2RA(x,y)cos[2παx-φ(x,y)]

(3)

規(guī)一化|A(x,y)|max=1,R=1，則(3)式變?yōu)?/p>

h(x,y)=0.5{1+A(x,y)cos[2παx-φ(x,y)]}

(4)

(4)式的第一項是常數(shù)，第二項是物波的全部信息，此時全息圖的空間頻率分布如圖2所示。h(x,y)缺少了|A(x,y)|2項，頻域中的自相關(guān)成分就不再出現(xiàn)，為避免頻率平面各分量之間的重疊，載頻就只需α=Bx/2。此時，在二維方向的最高頻率分別為Bx、By/2，則由抽樣定理可知對其抽樣的間隔為

(5)

與(2)式比較不難得出，總的抽樣點數(shù)降低為原來的25%。而且由(4)式可知，全息圖再現(xiàn)時的噪聲分量只有中間的平面波分量，在濾波的時候會方便很多。

圖2 博奇型全息圖的空頻Fig.2 Spatial frequency distribution of Borg hologram

2 一種改進的博奇編碼方法

本文研究了一種改進的博奇編碼方式，將原物抽樣點f(x,y)鑲嵌到比原物更大的全零矩陣中，在不計算載頻參數(shù)的情況下分離原始像與孿生像，得到新的矩陣f1(x,y)：

(6)

對f1(x,y)以博奇編碼方式編碼后得到全息函數(shù)h1(x,y)，再對全息函數(shù)進行傅里葉逆變換后再現(xiàn)像為

g1(μ,v)=Kδ1(μ,v)+f1(μ-α,v)+

f1(-(μ+α),-v)

(7)

由上式可知3個大小與f1(x,y)相同的矩陣分別為

(8)

(9)

(10)

在矩陣f1(μ-α,v)、f1[-(μ+α),-v]中，與f*(x,y)、f(x,y)對應(yīng)的元素值為零，故f(x,y)與f*(x,y)不會因(8)式中的三項相加而造成重疊。且控制全零矩陣的大小便可控制再現(xiàn)時原始像與共軛像的分離程度，全零矩陣越大，其分離程度越大。

3 計算全息圖的制作與模擬再現(xiàn)

本文通過計算機讀入一幅圖像，得到一個256×256的矩陣，將此矩陣寫入一個比原物大的全零矩陣中并歸一化。因為由離散傅里葉變換(discrete Fourier transform，DFT)計算物函數(shù)的傅里葉變換譜時，幅值波動范圍很大，如在極小值處，計算機繪制的全息圖光柵寬度將變?yōu)橐粭l細線，縮小后幾乎分辨不出，因而產(chǎn)生再現(xiàn)誤差，故在進行DFT前給每一個單元乘以單位振幅的隨機指數(shù)函數(shù)，用它來平滑傅里葉變換譜，降低其動態(tài)范圍。再現(xiàn)時僅僅只有像的強度可被觀察到，所以引入的隨機指數(shù)函數(shù)并不影響到強度的變化。這種做法實質(zhì)上是模仿了光學(xué)全息中在物體前放置毛玻璃產(chǎn)生漫反射光線的效應(yīng)，使物體上各點成為單一的發(fā)光點，這樣可降低其動態(tài)范圍，而物體的形狀再現(xiàn)時不會發(fā)生改變。比較離散傅里葉變換和連續(xù)傅里葉變換的定義可知，在做DFT時會在x和y方向上發(fā)生平移，按照傅里葉變換的平移定理，必然會在原物函數(shù)中引入一個附加相位因子，從而改變原物函數(shù)的頻譜分布。具體來說，這樣會將物頻譜的低頻成分移到譜平面的邊緣，所以為解決上述問題，應(yīng)用Matlab軟件只需在編碼前用移譜函數(shù)fftshift()將頻譜的低頻成分移到中心即可。然后利用(4)式得到全息圖的數(shù)據(jù)，通過抽樣間隔確定合適的全息圖以及抽樣單元的大小，最后歸一化繪圖，便可得到全息圖。

本文運用Matlab模擬全息圖再現(xiàn)的過程，驗證了將原物抽樣點鑲嵌到不同大小的全零矩陣會得到不同程度的共軛像與原始像的分離，結(jié)果如圖3所示。

首先，設(shè)定載頻參數(shù)α=0，然后將原物抽樣點寫入不同大小的全零矩陣當中，由圖3不難看出，全零矩陣的大小不同使再現(xiàn)像中原始像與共軛像分離的程度不同。圖3(a)表示將原物抽樣點寫入256×256的全零矩陣中，原始像與共軛像完全重疊；圖3(b)表示將原物抽樣點寫入380×380的全零矩陣中，原始像與共軛像部分重疊；圖3(c)表示將原物抽樣點寫入512×512的全零矩陣中，原始像與共軛像剛好分離；圖3(d)表示將原物抽樣點寫入600×600全零矩陣中，原始像與共軛像的分離較開。由實驗結(jié)果可知，被寫入的全零矩陣越大，共軛像與原始像分的越開。然而，理論上來說，將原物抽樣點寫入原來灰度圖像4倍大小的全零矩陣中，便可以得到清晰的再現(xiàn)像。但由于零級像比±1級像的強度大得多，3個衍射像靠的太近，對零級像進行濾波時，會對再現(xiàn)像的像質(zhì)造成影響。因此，被寫入的全零矩陣最好大于原來灰度圖像的4倍。同時，考慮到給圖像引入的冗余數(shù)據(jù)會降低運算速度，全零矩陣并不是越大越好。

圖3 離軸全息的模擬再現(xiàn)Fig.3 Simulation reproduce of off-axis holography

4 實驗驗證

為了驗證本文提出的方法，搭建了一套基于空間光調(diào)制器(spatial light modulator, SLM)的全息顯示系統(tǒng)。系統(tǒng)裝置圖如圖4所示，入射光波經(jīng)過空間濾波，準直后照射到SLM上。選用的SLM(GCI-7701電尋址空降光調(diào)制器)為TFT-LCD透射式液晶屏，分辨率為1 024像素×768像素，像素間距為26 μm。SLM與CCD分別位于傅里葉透鏡的前后焦平面上，用高通濾波器濾除零級光，然后由CCD接收最終圖像。

圖4 全息再現(xiàn)光路Fig.4 Holographic display system

實驗中，將制作好的計算全息圖通過計算機加載到SLM中，由CCD接收再現(xiàn)像，由于CCD視場有限，沒有接收到由空間光調(diào)制器像素結(jié)構(gòu)造成的其他衍射像。實驗結(jié)果如圖5(b)所示，可以看出，將原物抽樣點寫入600×600的全零矩陣中可以實現(xiàn)原始像與共軛像的分離，但再現(xiàn)像的散斑噪聲很大，這是隨機相位因子和實驗硬件光路系統(tǒng)帶來的隨機噪聲所造成的?？刹捎枚喾鶊D平均[11-12]的方法進行降噪處理，即將計算全息圖在二維方向準確地周期平移，這樣用準直激光照明再現(xiàn)像由多幅全息圖合成的新的全息圖時，根據(jù)傅里葉變換的平移不變性，便使單幅全息圖的再現(xiàn)像能準確地疊加在一起，從而進行多幅圖像的平均，達到降低散斑噪聲的目的。但是經(jīng)過周期延拓后的全息圖尺寸會變得很大，而空間光調(diào)制器的尺寸有限，實驗中SLM不能加載平移后的所有全息圖，這里用Matlab來模擬實驗中連續(xù)拍攝的100幅全息圖的再現(xiàn)像疊加過程，來驗證這種方法的可行性。仿真結(jié)果如圖5(c)所示，再現(xiàn)像的散斑噪聲在很大程度上得到了抑制。通過比較圖5(c)與圖3(d)，可直觀地看出，將原物抽樣點鑲嵌到600×600的全零矩陣中后再編碼得到的計算全息圖，以及通過實驗光路系統(tǒng)得到的再現(xiàn)像中原始像和共軛像的分離程度，與模擬仿真結(jié)果相一致。

圖5 實驗結(jié)果Fig.5 Experimental results

5 結(jié)論

本文根據(jù)傅里葉計算全息圖的原理和特點，研究了一種基于博奇型計算全息的編碼方法，即將原物抽樣點鑲嵌到比原物大的全零矩陣中來達到離軸的效果。通過全息再現(xiàn)光學(xué)系統(tǒng)可得到準確的離軸再現(xiàn)像，并控制全零矩陣的大小來控制再現(xiàn)時原始像與共軛像的分離程度。借鑒數(shù)字圖像降噪的方法，采用多幅圖像平均的方法降低再現(xiàn)像的散斑噪聲，提高了CGH的質(zhì)量。實驗結(jié)果表明，該編碼方法再現(xiàn)圖像效果良好。

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