基于改進的粒子群優(yōu)化算法確定河流水質(zhì)參數(shù)

袁 華，劉元會，郭建青，張洪波，付 翠

(長安大學 a 理學院，b 環(huán)境科學與工程學院，陜西 西安 710064)

河流水質(zhì)參數(shù)是河流水質(zhì)模型應用的基礎(chǔ)，其值的正確與否直接決定了河流水質(zhì)狀態(tài)預測和預報的準確性。進行河流水團示蹤試驗，分析示蹤劑濃度隨時間的變化是確定河流水質(zhì)參數(shù)的主要方法。目前，針對一維河流水團示蹤試驗的數(shù)據(jù)分析方法較多，如單站法、雙站法、相關(guān)系數(shù)極值法[1]、演算優(yōu)化方法[2]、單純形加速法[3]、拋物方程近似擬合法[4]、粒子群優(yōu)化算法[5]、單純形-模擬退火混合算法[6]和有限差分-單純形法[7]等。但有關(guān)分析二維河流水團示蹤劑試驗數(shù)據(jù)，確定河流橫向擴散系數(shù)的方法較少，目前常用的主要有改進矩法[8]、經(jīng)驗公式法、相關(guān)系數(shù)極值法[9]和人工神經(jīng)網(wǎng)絡法[10]等，這些方法在求解實際問題時都有各自的缺點[11]。

粒子群作為一種高效運算的優(yōu)化方法，能夠有效地應用于求解非線性、多峰值和不可微的復雜函數(shù)優(yōu)化問題。因此，其在實際問題中的應用得到了快速的發(fā)展，但是該算法在計算過程中易陷入局部最優(yōu)。鑒于此，本研究對基本的粒子群優(yōu)化算法進行了改進，并將其應用于分析一維及二維河流水團示蹤試驗數(shù)據(jù)及求解河流縱向離散系數(shù)、綜合排放參數(shù)、斷面平均流速、河流橫向擴散系數(shù)和污水排放點的函數(shù)優(yōu)化問題，通過數(shù)值實驗初步分析了改進粒子群優(yōu)化算法的可靠性；針對一維問題，對比分析了初始粒子數(shù)減少時改進前后2種算法的收斂性；針對二維問題，討論了待估參數(shù)的初始取值范圍對收斂速度的影響，并與基本的粒子群優(yōu)化算法的計算精度、收斂性和運算速度進行了比較。本研究旨在為改進的粒子群優(yōu)化算法在河流水質(zhì)參數(shù)確定中的應用提供參考。

1 改進的粒子群優(yōu)化算法

1.1 基本的粒子群優(yōu)化算法(PSO算法)

粒子群優(yōu)化算法是1995年Kennedy等[12]通過對鳥類和魚類覓食行為的模擬而提出的一種群體優(yōu)化算法。其基本步驟為：在一定范圍內(nèi)初始產(chǎn)生粒子群體，每個粒子的Pbest坐標位置就是當前位置，計算出每個粒子的適應度并進行比較，將群體中適應度最好粒子的坐標位置記為gbest，并記錄該粒子的序號。判斷個體當前值是否優(yōu)于歷史值，若優(yōu)于則替代之；再判斷個體當前值是否優(yōu)于全局最優(yōu)值，若優(yōu)于則替代之；更新粒子的位置和速度，判斷是否滿足算法終止條件，若滿足則跳出循環(huán)，輸出結(jié)果。

1.2 改進的粒子群優(yōu)化算法(CPSO算法)

鑒于基本的粒子群優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)，本研究在以下幾個方面對其進行了改進：

1)基于混沌序列的種群初始化[13]。初始化的混沌序列具有隨機性與遍歷性，能夠使初始種群最大程度地不重復遍歷整個解空間，進而改善粒子群優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)的不足。

2)縮小解空間。粒子群搜索過程中已找到一個非常接近最優(yōu)解的點，為了提高計算結(jié)果的精度，加入局部搜索性能好的單純形搜索，在局部搜索前按照下式縮小解空間，以提高收斂速度。

(1)

3)局部搜索。在算法最后加入了局部搜索速度快且計算結(jié)果精度較高的單純形算法，以搜索提高求解的精度。

改進的粒子群優(yōu)化算法的具體步驟如下：

步驟1：通過Logistic映射產(chǎn)生初始粒子種群，將粒子種群Xn,m+1轉(zhuǎn)化為用于優(yōu)化的粒子種群，初始化每個粒子的速度。

步驟2：計算每個粒子的適應度，每個粒子的Pbest坐標為其當前位置，種群中適應度最好的粒子記為全局最優(yōu)，記錄其序號，并將gbest設置為最好粒子的當前位置。

步驟3：計算每個粒子的適應度。

步驟4：對每個粒子，將其適應度與個體極值比較，若較優(yōu)，則替代之。

步驟5：對每個粒子，將其適應度與全局最優(yōu)值比較，若較優(yōu)，則替代之。

步驟6：根據(jù)下式更新每個粒子的位置和速度：

(2)

式中：vik為粒子速度;ωik為慣性權(quán)重系數(shù);c1、c2為加速因子，取c1=c2=2.0；rand1、rand2為在[0，1]區(qū)間內(nèi)變化的隨機函數(shù);pik為個體極值;xik為粒子當前位置;pgk為全局最優(yōu)值;xgk為當前最好粒子的位置；t為迭代次數(shù)。

步驟7：若2次求得的最優(yōu)值之差小于設定的極小值ε或迭代次數(shù)達到最大，轉(zhuǎn)到步驟8，反之轉(zhuǎn)到步驟2。

步驟8：縮小解空間。

步驟9：進行單純形搜索[14]。

2 河流水質(zhì)模型及目標函數(shù)

2.1 一維河流水質(zhì)模型

在確定河流斷面平均流速V、縱向離散系數(shù)DL與綜合排放參數(shù)時，一般采用瞬時投放示蹤劑情況下的一維河流水團示蹤試驗示蹤劑質(zhì)量濃度的解析解表示，其解析式為：

(3)

式中：c為示蹤劑質(zhì)量濃度，mg/m3；M0為瞬時投放示蹤劑的質(zhì)量，mg；A為河流的橫斷面積，m2；DL為河流縱向離散系數(shù)，m2/s；t為時間，s；x為投放點與采樣點的距離，m；V為河流斷面的平均流速，m/s。

2.2 二維河流水質(zhì)模型

在河流岸邊連續(xù)投放含有惰性污染物的污水，設水流方向為x軸，垂直水流方向為y軸，污水投放點的坐標為(x0,y0)，在構(gòu)建二維河流水質(zhì)模型時假設污染物在沿水深方向很快均勻混合，忽略污水在河流中的縱向彌散作用，并將河流對岸看成無限遠邊界，在此情況下，穩(wěn)定的二維河流水團示蹤劑試驗解析模型的基本方程式[15]為：

(4)

式中：c(x,y)為在空間坐標(x,y)處的污染物質(zhì)量濃度，mg/m3；q為投放污水的流量，m3/s；lq為投放污水的質(zhì)量濃度，mg/m3；h為河流斷面的平均深度，m；u為河流的平均流速，m/s；Dy為河流的橫向擴散系數(shù)，m2/s；x、y為污染物質(zhì)量濃度實測點的坐標，m；x0、y0為污水排放點的位置坐標，m。

為保證文中算法能夠得到正確的使用，要求示蹤試驗時，在污水排放點下游布設縱向坐標分別為x=x1和x=x2的2個橫斷面，測量其沿河流寬度方向分布的2組污染物的質(zhì)量濃度。

2.3 目標函數(shù)

應用改進的粒子群優(yōu)化算法預估河流水質(zhì)參數(shù)時，待估參數(shù)值需使河流水團示蹤劑質(zhì)量濃度觀測值與計算值的離差平方和的平均值最小。

一維模型的目標函數(shù)表示為:

(5)

二維模型的目標函數(shù)表示為:

(6)

3 實例計算與分析

3.1 算例數(shù)據(jù)來源

實例1：一維河流水質(zhì)模型引自參考文獻[16]，在參數(shù)真值為θ=DL=3 000 m2/min、θ2=V=30 m/min、A=20 m2和x=500 m時，已知M0=10 kg，θ3=M0/A=0.5 kg/m2，對應不同時刻的河流水團示蹤劑質(zhì)量濃度的實測數(shù)據(jù)見文獻[16]。

實例2：二維河流水質(zhì)模型引自文獻[9]，河流寬度B=60 m，平均水深h=12.0 m，污水投放點的坐標x0=-200 m，y0=5.0 m，污水的排放流量q0=0.6 m3/s，河流平均流速u=0.5 m/s，投放污水污染物的質(zhì)量濃度lq=8.0×107mg/m3，橫向擴散系數(shù)Dy=0.04 m2/s，2個橫向觀測斷面位置x1=300 m，x2=600 m，y1、y2為觀測斷面的縱向坐標(y1=y2) ，2個觀測斷面污染物質(zhì)量濃度c1和c2見表1。

表1 實例2中2個觀測面上污染物的質(zhì)量濃度比較

根據(jù)算法流程，采用MATLAB編寫的程序進行數(shù)值試驗。

3.2 計算結(jié)果及分析

3.2.1 一維河流水質(zhì)模型參數(shù)的優(yōu)化 在初始粒子數(shù)為100，最大迭代次數(shù)為50次，給定待估參數(shù)初值范圍為真值20倍的情況下，進行數(shù)值試驗100次，并求參數(shù)平均值。利用CPSO算法估算得河流縱向離散系數(shù)、斷面平均流速和綜合排放參數(shù)分別為DL=3 001.8 m2/min、V=30.01 m/min和M0/A=0.5 kg/m2。將參數(shù)計算結(jié)果與其真值相比較，可知3個參數(shù)的相對誤差最大值為0.06%。由此可知，CPSO算法的計算結(jié)果是可靠的。與文獻[16]中直線圖解法求得的DL=3 078.8 m2/min、V=29.6 m/min對比可知，CPSO算法在計算精度上有很大程度的提高。

當每個參數(shù)預估值與真值的相對誤差均小于0.3%時，認為算法收斂成功，反之則認為算法收斂失敗。定義收斂成功次數(shù)與試驗總次數(shù)之比為收斂率。取粒子數(shù)分別為30，60，100和200，在最大迭代次數(shù)為1 000的情況下，進行數(shù)值試驗100次，計算結(jié)果見表2。由表2可以看出，隨著粒子數(shù)的減少，PSO算法運算過程中收斂失敗的次數(shù)呈遞增趨勢，而CPSO算法卻沒有出現(xiàn)收斂失敗的情況，且在粒子數(shù)很少時也能達到理想的收斂結(jié)果，這表明CPSO算法很好地彌補了PSO算法在計算一維河流水質(zhì)模型參數(shù)時易陷入局部最優(yōu)的不足，并且在粒子數(shù)較多時也可以保證算法的收斂性，這與文獻[5]的結(jié)論一致。

表2 求解一維河流水質(zhì)模型參數(shù)時PSO和CPSO收斂率的比較

3.2.2 二維河流水質(zhì)模型參數(shù)的優(yōu)化 當每個參數(shù)預估值與真值的相對誤差均小于2.5%時，認為算法收斂成功，反之則認為算法收斂失敗。在初始化粒子數(shù)為300，最大迭代次數(shù)為50次的情況下，給定待估參數(shù)初值介于參數(shù)真值的2～15倍時的4種方案，分別進行數(shù)值試驗100次并求平均值，計算結(jié)果見表3。由表3可以看出，CPSO算法的優(yōu)化結(jié)果非常接近參數(shù)真值，這表明CPSO算法是可靠的；隨著參數(shù)初值的增大，CPSO算法的平均運行時間呈遞增趨勢，但優(yōu)化結(jié)果基本一致，這表明CPSO算法收斂性良好。

由表3中的計算結(jié)果還可以得到，在相同條件下，隨著參數(shù)初值的增大，PSO算法收斂失敗次數(shù)明顯增多。相比之下，CPSO算法收斂失敗的次數(shù)較少。由此可知，CPSO算法很好地彌補了PSO算法在計算河流水質(zhì)參數(shù)時易陷入局部最優(yōu)解的不足；由于在PSO算法中添加了單純形算法，CPSO算法的運行時間稍長，但隨著參數(shù)初值的增大，CPSO算法預估的參數(shù)平均值與真值的相對誤差最大為7%，而PSO算法預估的參數(shù)平均值與真值的相對誤差最大為35%，顯然PSO算法計算的參數(shù)精度大大低于CPSO算法。這表明在計算河流水質(zhì)參數(shù)時，CPSO算法在提高PSO算法收斂率的同時還提高了其運算結(jié)果的精度。

表3 CPSO算法與PSO算法求解二維河流水質(zhì)模型參數(shù)在參數(shù)初值不同時計算結(jié)果的比較

4 結(jié) 論

通過對以上數(shù)值試驗結(jié)果的分析可以得出如下結(jié)論：CPSO算法能夠有效地應用于一維及二維河流水質(zhì)模型參數(shù)的優(yōu)化問題；CPSO算法估算的一維及二維河流水質(zhì)參數(shù)值是可靠的；河流水質(zhì)參數(shù)初值的取值范圍對CPSO算法的收斂速度有一定影響；CPSO算法能夠有效地彌補PSO在估計河流水質(zhì)參數(shù)時易陷入局部最優(yōu)的不足，且計算精度較高。

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