一款廣義范德蒙行列式的值*

黎羅羅

(中山大學(xué)新華學(xué)院，廣東 廣州 510520)

相當(dāng)多的理論與應(yīng)用問題中出現(xiàn)形式各異的廣義范德蒙(Vandermonde)矩陣及其行列式[1-3]。

組合數(shù)學(xué)方法在討論線性常系數(shù)齊次遞推關(guān)系“初值問題”解的存在與唯一性時，具有理論支撐意義的也是一款廣義范德蒙矩陣的行列式。設(shè)b1,b2,…,bk為給定數(shù)且bk≠0，則遞推關(guān)系

an+b1an-1+…+bkan-k=0(n≥k)

的通解為

(1)

其中λi為遞推關(guān)系的特征多項式的mi重根。Qi(n)是n的不超過mi-1次的多項式。當(dāng)給定dt(t=0,1,…,k-1)按at=dt(t=0,1,…,k-1)確定滿足“初值”的特解時，出現(xiàn)關(guān)于lij的線性方程組，文[3][4]詳細地給出了該方程組系數(shù)矩陣A的結(jié)構(gòu)。A為k×k分塊矩陣

A=[A1,A2,…,As]

其中Ai為k×mi階子塊：

(2)

文[3-5]等不加證明地采用如下公式描述其行列式的值

(3)

文[6]在給出如(1)所示的通解表達式后，指出關(guān)于lij的線性方程組的矩陣的行列式的值為

(4)

用簡單的例子即不難驗證這兩個表達式都是錯誤的。由式(1)導(dǎo)致式(4)的說法至少可上溯到上世紀70年代[7]，而在至今期間出版的教科書中沿用[6,8]。實在有訂正的必要。

由于這些結(jié)論不加證明也沒有給出出處，本文先以如下定理給出上述廣義范德蒙行列式detA的正確的值，然后對教材編寫提出修改的建議。

定理1 設(shè)廣義范德蒙矩陣A=[A1,A2,…,As]如上，則

(5)

注2 ①若存在i≠j使得λi=λj，則式(5)已經(jīng)成立；②若某mi>1而λi=0，式(5)也已經(jīng)成立。兩種情況下行列式的值為零。否則按式(5)，行列式值不為零。下面的討論中，均假定這兩種情況不發(fā)生。

證明對范德蒙子塊的個數(shù)s作數(shù)學(xué)歸納法。

s=1時，m1=k，

A=

容易計得

(最后一步用經(jīng)典范德蒙行列式的結(jié)論)，也就是

可見定理結(jié)論在范德蒙子塊數(shù)s=1時成立。

歸納假設(shè)：定理結(jié)論在矩陣含s-1個范德蒙子塊時成立，由上面的約定，其值不為零。

今有k階廣義范德蒙矩陣含s個范德蒙子塊，記為A[s]。滿足注2中的約定。

先設(shè)ms>1。視detA[s]為λs的多項式，則由行列式基本性質(zhì)知λ1,λ2,…,λs-1及0均為該多項式的根。于是

(6)

其中μj與βj(j=1,2,…,r)是該多項式可能有的、異于λ1,λ2,…,λs-1及0的根及其重數(shù)。

觀察detA[s]的結(jié)構(gòu)。依其最后ms列作拉普拉斯展開，即知上述λs之多項式的最高次數(shù)為

(k-1)+(k-2)+…+(k-ms)=

(7)

λs的這一冪次由A[s]右下角的ms階子式提供，注意該子式的余子式恰是一個含s-1個子塊的廣義范德蒙行列式(其矩陣記之為A[s-1])，由歸納假設(shè)，它不為零。因此，λs最高次項的系數(shù)為

Ks=detA[s-1]×

detA[s-1](ms-1)!(ms-2)!…2!

(8)

(最后一式由古典范德蒙行列式的結(jié)論得)。另外，據(jù)式(6)及式(7)，冪次數(shù)的關(guān)系為

(9)

也就是

(10)

現(xiàn)計算諸αi(i=1,2,…,s-1)。先視detA[s]為λ1的多項式，按其前m1列作拉普拉斯展開，知λ1的最高次項由A[s]左下角的m1階子式

與其代數(shù)余子式提供。該代數(shù)余子式非零(因為它是含s-1個子塊的廣義范德蒙行列式，或至多差一個正負號)。同時注意上式中λ1的因子全提出后余下的數(shù)字行列式不等于零(經(jīng)典范德蒙行列式結(jié)論)，因此該λ1的多項式的最高冪次數(shù)為

(k-m1)+(k-m1+1)+…+(k-1)=

(11)

另一方面，由式(6)、式(8)及歸納假設(shè)，λ1的次數(shù)為

(12)

式(11)應(yīng)與式(12)相等，故知

α1=m1ms

(13)

完全類似地可以獲得

αi=mims(i=2,3,…,s-1)

(14)

將式(13)與式(14)代入式(9)知

最后，由式(6)，式(8)及歸納假設(shè)得

即式(5)成立。

最后，ms=1 情形的證明類似。為節(jié)約篇幅，略去。由歸納法原理，定理被證明普遍成立。

小 結(jié)

1)式(5)才是A的行列式值。

2)如果將an的通解式改寫為

(15)

Bi=

(16)

[1] LORING W TU.A partial order on partitions and the genernalized Vandermonde determinant [J]. Journal of Algebra, 2004, 278: 127-133.

[2] 葛謂高,李翠哲,王宏洲. 常微分方程與邊值問題[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2008:195-196.

[3] 潘永亮,徐俊明. 組合數(shù)學(xué)[M]. 北京:科學(xué)出版社,2006: 12-13.

[4] 胡端平,魯曉成. 組合數(shù)學(xué)[M]. 武漢: 武漢大學(xué)出版社, 2001:239-240.

[5] 孫世新,張先迪. 組合原理及其應(yīng)用[M]. 國防工業(yè)出版社, 2006:149-150.

[6] 許胤龍,孫淑玲. 組合數(shù)學(xué)引論 [M]. 2版.合肥:中國科技大學(xué)出版社, 2011:149-150.

[7] BRUALDI R A. Introductory Combinatorics [M]. Elsevier North-Holland,1977:104-105.

[8] 王天民. 組合數(shù)學(xué)教程[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 1990: 103-104.