利用羅爾定理證明命題時(shí)輔助函數(shù)的構(gòu)造方法

王欣 屈娜 吳莎莎

[摘要]對(duì)于利用羅爾定理證明的一些問題，構(gòu)造合適的輔助函數(shù)是問題證明的關(guān)鍵。對(duì)此，總結(jié)了構(gòu)造輔助函數(shù)的積分法和插值函數(shù)法。實(shí)例研究表明：本文方法是構(gòu)造輔助函數(shù)的有效方法。

[關(guān)鍵詞]羅爾定理 輔助函數(shù)

對(duì)利用羅爾定理進(jìn)行證明的命題，構(gòu)造輔助函數(shù)是實(shí)現(xiàn)命題證明的關(guān)鍵，而這種輔助函數(shù)的構(gòu)造是一種創(chuàng)造性活動(dòng)。對(duì)該類問題進(jìn)行深入研究后，發(fā)現(xiàn)構(gòu)造輔助函數(shù)的方法具有一定規(guī)律性。本文分析了一些命題的特點(diǎn)，總結(jié)了構(gòu)造輔助函數(shù)的積分法和插值函數(shù)法。實(shí)例研究表明：本文方法用于構(gòu)造輔助函數(shù)是有效的。

一、不定積分法

很多命題可以歸結(jié)為：在給定條件下，變量、函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成的方程有根。對(duì)于此類問題，列出對(duì)應(yīng)方程，計(jì)算方程相關(guān)部分的不定積分，從而構(gòu)造輔助函數(shù)。這種方法稱為構(gòu)造輔助函數(shù)的不定積分法。下面結(jié)合例題，進(jìn)一步闡明不定積分法。

例1 已知f（0）=f（1）=0，f（x）在[0，1]內(nèi)可導(dǎo)。證明：存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），使得

分析：將等式中ξ用x替換，可得方程

f``（x）（1-x）2-2f`（x）（1-x）=0

對(duì)方程左邊積分得，

f`（x）（1-x）2+c（c為任意參數(shù)）

因此，構(gòu)造函數(shù)g（x）=（1-x）2f`（x），根據(jù)題目條件，可知

f`（ξ1）=0，g（ξ1）=g（1）=0，0<ξ1<1

由羅爾定理可得g`（ξ）=0（ξ1<ξ<1）。由此可得命題結(jié)論。

二、插值函數(shù)法

根據(jù)已知條件，構(gòu)建插值多項(xiàng)式，進(jìn)而得到輔助函數(shù)的方法稱為插值函數(shù)法。拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明都是插值函數(shù)法。下面結(jié)合實(shí)例闡明插值函數(shù)法。

例2 設(shè)函數(shù)f（x）在[-a，a]上連續(xù)，（-a，a）內(nèi)二階可導(dǎo)，f（0）=0。證明至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得

分析：要證明的等式右邊為定積分，不妨假設(shè) ，這時(shí)所要證明等式轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

a3F```（ξ）=3[F（a）-F（-a）]

由于式子右邊出現(xiàn)了三階導(dǎo)數(shù)，插值多項(xiàng)式為三次多項(xiàng)式。不妨設(shè)三次多項(xiàng)式為

p（x）=a3x3+a2x2+a1x+a0

由于構(gòu)造一元三次多項(xiàng)式需四個(gè)條件[3]，令P（x）經(jīng)過點(diǎn)（-a，F(xiàn)（-a））、（0，F(xiàn)（0））、（a，F(xiàn)（a）），且p`（0）=f（0）。令g（x）=F（x）-p（x），則 ，又有

g（-a）=g（0）=g（a）=0，g`（0）=0

由羅爾定理可得

由此可得命題結(jié)論。

例3 設(shè)函數(shù)f（x）在[-a，a]上連續(xù)，（-a，a）內(nèi)二階可導(dǎo)。證明至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得

分析：結(jié)論左邊為函數(shù)f（x）在ξ處的二階導(dǎo)數(shù)，右邊為f（x）在三定點(diǎn)處函數(shù)值的組合。構(gòu)造二次多項(xiàng)式為

p（x）=a2x2+a1x+a0

由于構(gòu)造一元二次多項(xiàng)式需三個(gè)條件，令P（x）經(jīng)過點(diǎn)（a， f（a））、（b，f（b））和（a/2+b/2，f（a/2+b/2））。令

g（x）=f（x）-p（x） ，則

由羅爾定理可得

由此可得命題結(jié)論。

如果利用泰勒中值定理證明例2、3，要求函數(shù)f（x）二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)。而使用插值函數(shù)法證明例2、3，只需要函數(shù)f （x）二階可導(dǎo)。因此，插值函數(shù)法的應(yīng)用范圍更廣。

三、結(jié)束語

利用微分中值定理證明一些命題的關(guān)鍵是構(gòu)造滿足微分中值定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)。對(duì)此，本文總結(jié)了兩種構(gòu)造輔助的方法，為應(yīng)用微分中值定理解決相關(guān)命題的證明奠定了基礎(chǔ)。實(shí)例分析表明，本文方法是構(gòu)造輔助函數(shù)的有效方法。

[參考文獻(xiàn)]

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].高等教育出版社，2010.

[2]周民強(qiáng).數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練[M].科學(xué)出版社，2006.

（作者單位：1.解放軍西安通信學(xué)院 文化基礎(chǔ)教研室 陜西西安，2.解放軍第二炮兵工程學(xué)院 理學(xué)院數(shù)學(xué)與軍事運(yùn)籌教研室 陜西西安，1.解放軍西安通信學(xué)院文化基礎(chǔ)教研室 陜西西安）