淺談線性代數(shù)實驗化教學

龔毅

[摘要]本文主要探討了線性代數(shù)教學過程中EXCEL軟件和MATLAB軟件的引入，介紹了若干與線性代數(shù)教學相關(guān)的軟件命令。通過實驗教學，幫助學生提高學習效率，培養(yǎng)用線性代數(shù)知識分析解決實際問題的能力。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù) EXCEL 實驗教學 MATLAB

在現(xiàn)實世界中，相當廣泛的實際問題所建立的數(shù)學模型是線性的或者接近于線性的，即使對于非線性問題，解決問題的一種重要方法也是把問題線性化。隨著計算機的快速發(fā)展，用代數(shù)方法解決實際問題已滲透到現(xiàn)代科學、技術(shù)、經(jīng)濟、管理的各個領(lǐng)域。線性代數(shù)是研究有限維空間中線性關(guān)系的理論和方法的數(shù)學，“線性代數(shù)”課程已成為高等學校理工科類、經(jīng)濟管理類專業(yè)的一門重要的數(shù)學基礎(chǔ)課程。但是，“線性代數(shù)”課程的特點是概念、定理、公式具有高度的概括性、抽象性，學習起來難度較大。因此，必須針對“線性代數(shù)”課程進行教學改革，通過數(shù)學實驗來幫助學生提高學習效率，培養(yǎng)用線性代數(shù)知識分析解決實際問題的能力。

一、 利用Excel軟件進行線性代數(shù)的實驗

Excel軟件是計算機中普遍安裝的常用軟件，Excel軟件的使用也是大學中普遍開設(shè)的計算機基礎(chǔ)課程的內(nèi)容之一。線性代數(shù)以矩陣為主要工具，以矩陣初等變換為主要方法。用矩陣的初等變換可以求解線性方程組和矩陣方程，判定向量組的線性相關(guān)性，求向量組的極大線性無關(guān)組及其秩，進行矩陣變換、求逆等運算，求特征值和特征向量，以及二次型化標準型等。因此，線性代數(shù)課程中幾乎所有的計算都可歸結(jié)為矩陣的初等變換。矩陣就是表格，而Excel軟件是處理表格的專用軟件，用Excel進行線性代數(shù)數(shù)學實驗不但是可行的，而且還具有交互界面直觀友好、操作簡單方便等優(yōu)點。

利用Excel的內(nèi)部函數(shù)可以計算行列式的值、兩個矩陣的乘積、矩陣的逆。如利用MDETERM函數(shù)計算行列式的值，利用MMULT函數(shù)計算兩個矩陣的乘積，利用MINVERSE函數(shù)求矩陣的逆等。

二、 利用MATLAB軟件進行線性代數(shù)的實驗

使用MATLAB實現(xiàn)數(shù)學教學過程中驗證、演示和模擬實驗，可幫助學生理解、認識數(shù)學規(guī)律，例如定理、公式以及空間圖形結(jié)構(gòu)。通過掌握MATLAB 數(shù)學軟件的各種功能和編程，解決線性代數(shù)中的計算問題。

（一）使用MATLAB軟件處理矩陣求逆、求秩和行列式

在線性代數(shù)的教學過程中，學生經(jīng)常會碰到對矩陣進行逆的求解、秩的求解，也會包括一些復雜的行列式的計算。人工進行這些指標的求解，計算量很大，也占用了大量的教學實踐。利用軟件，在教授指標計算的原理及步驟后，只需用INV實現(xiàn)對矩陣求逆，用RANK實現(xiàn)對矩陣求秩，用DET實現(xiàn)對矩陣求行列式，這樣就可以大大縮短計算的時間，并保證結(jié)論的正確性。

（二）使用MATLAB軟件處理線性方程組的求解

線性方程組是重要的代數(shù)方程組。大量的科學技術(shù)問題，最終都要化為求解線性方程組，因此線性方程組的解法在線性代數(shù)中占有重要的地位。在方程的個數(shù)及未知量的個數(shù)較少的時候，可利用矩陣的初等變換來求解線性方程組。但當方程的個數(shù)或者未知量的個數(shù)較多時，人工計算顯然需要花費大量的時間，利用軟件就能快捷、準確地解出解。

對于線性齊次方程組Ax=0，MATLAB提供了根據(jù)系數(shù)矩陣A求基礎(chǔ)解系x 的子程序null.m。對于非齊次方程組Ax=b，MATLAB提供了求特解的方法A＼b。從而，就可以正確的到方程組的全部解。

（三）數(shù)學建模實驗與線性代數(shù)課程的結(jié)合

建立數(shù)學模型來解決實際問題的過程是眾多行業(yè)和科技領(lǐng)域大量需要的，也是學生在走向工作崗位后常常要做的工作。做這樣的事情僅具備一些解數(shù)學題目的能力是遠遠不夠的，而需要綜合的知識與能力。因此，我們應當努力培養(yǎng)和提高學生在這方面的能力。引入數(shù)學建模實驗，由實際問題建模并用數(shù)學軟件求解，將解決簡單的線性應用問題的觀察、假設(shè)、抽象、建模及求解的綜合過程完整地呈現(xiàn)，培養(yǎng)學生運用所學的數(shù)學方法、借助計算機去解決實際問題的能力。其主要內(nèi)容是選擇一些綜合性的題目，讓學生應用所學的數(shù)學軟件，在計算機上求解，這樣既擴大了學生的知識面，又激發(fā)了學生探索的欲望。例如，在線性方程組求解的教學中，介紹投入產(chǎn)出模型；在矩陣運算的教學后，介紹馬爾科夫鏈；在特征值與特征向量的教學中，介紹人口流動模型；在線性變換后，介紹動畫中的圖形變換在內(nèi)積空間介紹后，介紹最小二乘法等。

總之，以國外的經(jīng)驗為借鑒，我們應該利用數(shù)學軟件來輔助線性代數(shù)教學，激發(fā)學生的學習興趣，提高學習積極性，改變“繁”“難”的現(xiàn)狀，達到良好的教學效果。但是具體到每一節(jié)課該怎樣將軟件與線性代數(shù)理論很好的結(jié)合起來，不能太向計算機軟件靠攏，但是也不該像以前一樣排斥數(shù)學軟件，這是一個度的問題。在“線性代數(shù)”的教學中軟件的學習不能完全代替板書，而應將其作為一種重要的輔助手段與板書有機結(jié)合起來，這樣才能達到較好的教學效果，提高教學質(zhì)量。

項目資助：上海海關(guān)學院優(yōu)秀青年教師資助課題（No.2312064）。

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（作者單位：上海海關(guān)學院）