相似比不嚴格成比例情況下振動臺模型設計

張 琳, 邱文亮, 姜 濤

(大連理工大學 橋梁工程研究所, 遼寧 大連 116024)

評價橋梁結(jié)構(gòu)的抗震性能及地震作用下的破壞機理一直是學術界關注的問題.隨著計算機和工程結(jié)構(gòu)的發(fā)展,各種橋梁分析軟件應運而生.但由于問題復雜,計算分析有其局限性,如材料的本構(gòu)關系沒有很好地解決;計算分析時對原型橋梁簡化的合理性有待商榷,對同一問題的分析不同研究者可能給出不同的結(jié)果.橋梁抗震性能評價的另一有效方法是振動臺的模型試驗.由于振動臺設備承載能力及實驗室空間的限制,大型橋梁一般進行縮尺模型.因而,如何正確地設計模型并確定相似比尺以期獲得原橋的地震反應相當關鍵.文獻[1]給出了采用一般材料時,模型與原型的相似關系.文獻[2]給出了原型與模型采用同種材料時,模型在不同配重下與原型動力的相似關系.文獻[3]給出了不同試驗目的時,相似關系如何換算.但迄今為止沒有涉及當模型不嚴格滿足相似比尺(如剛度變化)時的相似比例關系.本文根據(jù)相似原理及結(jié)構(gòu)力學相關理論進行推導,并以某大跨拱橋主橋振動臺模型試驗為例,驗證了給出的相似關系的正確性.

1 相似原理

本文利用相似定理推導出來的相似關系進行模型的設計與制作.相似三定理[4]如下.

相似定理1 兩個系統(tǒng)互相相似,那么其單值條件和相似判據(jù)相同.

相似定理2 某物理現(xiàn)象各物理量之間的關系式均可以用相似準數(shù)間的函數(shù)關系式來表示.相似準數(shù)通常用π表示,故又稱為π定理.

相似準數(shù)的函數(shù)關系式如下:

fx1,x2,x3,…=gπ1,π2,π3,….

π定理作為量綱分析的普遍定理,為模型的設計提供了可靠的理論基礎.

相似定理3 凡具有同一特性的現(xiàn)象, 若單值條件彼此相似且由單值條件的物理量所組成的相似判據(jù)在數(shù)值上相等, 則這些現(xiàn)象必定相似.

由3個相似定理可知,相似定理1和相似定理2均是給出已知相似,而后求相似的某些性質(zhì);而相似定理3則通過現(xiàn)象的最少外部特征來判斷其是否相似,是確定現(xiàn)象是否相似的充要條件,這樣就構(gòu)成了一個完整的系統(tǒng).

基于3個相似定理,可利用方程分析和量綱分析來確定相似關系.

1.1 方程分析

利用方程分析法時,先對所研究的問題提出明確的物理方程,根據(jù)物理方程、單值條件及相似常數(shù)確定相似條件[5].如結(jié)構(gòu)動力學基本方程為

(1)

將質(zhì)量、加速度、速度、阻尼、剛度、位移的相似常數(shù)代入式(1)得

(2)

根據(jù)量綱協(xié)調(diào)原理,以密度、長度、加速度、彈性模量的相似常數(shù)替換,則式(2)變?yōu)?/p>

式中:Sρ為密度的相似比;Sl為長度的相似比;Sa為加速度的相似比;SE為彈性模量的相似比.

整理可得此模型試驗需要滿足的相似常數(shù)之間的關系,如下所示:

(4)

進而可得

式中,ST為周期的相似比;Sf為頻率的相似比.

1.2 量綱分析

當各參數(shù)之間的函數(shù)關系不能確定所研究的問題時,用量綱分析法比較方便.量綱分析法遵循相似定理1和相似定理2.首先將有關的物理參數(shù)列出來,根據(jù)相似定理得到模型設計的相似條件,從而確定所研究的各物理量的相似常數(shù).一般選三個量綱為基本量綱導出其他物理量的量綱[6-7].

量綱分析法得出的結(jié)構(gòu)抗震動力模型相似常數(shù)均是在嚴格按照長度比尺的前提下推導出來的.以受壓構(gòu)件為例,實際情況下,當模型比尺不是嚴格按照相似比尺時,頻率比尺不僅與長度比尺、加速度比尺有關,還與剛度有關.

由式(1),得

如邊長為a×b、厚度為t的箱型截面,其抗壓剛度[8]為

(10)

當長度、厚度均為原型的1/n時,抗壓剛度為

(11)

當長度為原型的1/n時,由于實際原因,當厚度為原型的q/n時,抗壓剛度為

從而,剛度比為

由式(12)知

(14)

2 應 用

本文以某大跨拱橋主橋抗震模型試驗為例, 研究當相似比尺不嚴格成比例時, 由于實際條件改變, 厚度比尺對周期、頻率等相似常數(shù)的影響.

該大跨拱橋主跨理論跨徑200 m,矢高為61.54 m,矢跨比為l/3.25,設計拱軸線采用懸鏈線.拱肋是箱型截面,分變高段和等高段兩部分,采用Q345qE鋼材.變高段截面尺寸由拱頂?shù)?.0 m×3.0 m 漸變到拱腳附近的3.0 m×4.5 m,其余拱段為等高段.主梁為鋼-混凝土組合梁結(jié)構(gòu),由邊縱梁、橫梁、小縱梁組成縱橫體系.其上設混凝土橋面板.吊桿采用環(huán)氧涂層鋼絞線成品吊桿.全橋立面布置圖如圖1所示.

圖1 全橋立面布置圖(單位:cm)

2.1 確定模型的相似關系

采用1∶50的比尺進行縮尺,選擇有機玻璃做模型材料.利用方程分析和量綱分析可以得出本實驗的相似關系如表1所示.

表1 本試驗模型的相似常數(shù)Table 1 Similarity constant of the test

2.2 建立模型

按照上述相似關系,采用有限元軟件Midas/Civil建立模型.主梁利用剛度相等,將鋼-混凝土組合梁截面等效為工字型鋼截面,進而依照相似比尺換算為工字型截面.由長度相似比可知,拱肋從拱頂?shù)焦澳_由60 mm×60 mm變?yōu)?0 mm×90 mm的箱型截面.而在實際情況下,往往模型的材料不嚴格遵照相似比尺,故建立兩個模型.模型1的拱肋厚度為1 mm,嚴格按照相似比尺;模型2的拱肋厚度為2 mm. 模型截面圖如圖2所示.通過模型1和模型2的振動特性和實橋模型相比較,由于實際條件有限,當厚度不嚴格遵照相似比尺時,可以得出原型和模型之間的振動頻率的關系.

圖2 模型截面圖(單位: mm)Fig.2 The sectional view of the model (Unit: mm)

2.3 配 重

通過計算得實橋模型的拱肋自重為29 571.24 kN,則通過相似比得模型的拱肋自重需為153.77 kN,而模型1的自重為49.44 kN,模型2的自重為89.00 kN,故模型1和模型2的配重分別為104.32 kN,64.80 kN. 將配重按照均布載荷添加到拱肋上.

2.4 反應譜分析

根據(jù)《公路橋梁抗震設計細則》(JTG/TB 02-01—2008),對實橋模型和縮尺模型1、2進行反應譜分析.前五階陣型模態(tài)如圖3～圖7所示.實橋模型和縮尺模型1、2的頻率比(前五階模態(tài))如表2、表3所示.

圖3 一階陣型Fig.3 Model shape 1

圖4 二階陣型Fig.4 Model shape 2

圖5 三階陣型Fig.5 Model shape 3

圖6 四階陣型Fig.6 Model shape 4

圖7 五階陣型Fig.7 Model shape 5

模態(tài)實橋的頻率Hz模型1的頻率Hz模型1與實橋的頻率比10.7465.5637.45721.0026.1736.16131.2479.3537.50041.95912.6846.47552.05114. 9347.281

表3 模型2與實橋的頻率比

由式(6)和式(7)得理論頻率比尺和理論周期比尺分別為7.07,0.14,與表2的試驗數(shù)據(jù)相比,一階的頻率誤差為5.47%;當厚度變?yōu)樵瓉淼?倍時,由式(14)知,理論頻率比尺和理論周期比尺分別為10.00,0.1,與表3的試驗數(shù)據(jù)相比,一階的頻率誤差為7.64%.模型1與模型2的頻率比如表4所示.

表4 模型1與模型2的頻率比

3 結(jié) 語

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