基于主成分分析和高斯混合模型的耐火材料損傷信號分類

周海濤，王志剛，劉昌明

(武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢，430081)

耐火材料損傷形式的檢測、分類和識別對于保障高溫設(shè)備的正常安全運行非常重要[1-2]。一些微觀結(jié)構(gòu)復(fù)雜的復(fù)合耐火材料受損時產(chǎn)生的聲發(fā)射信號極為復(fù)雜，要對該損傷信號進行分類十分困難，其中包含分類指標的選擇。關(guān)于指標的選定已有不少研究。Jeng 等[3]在對炭纖維熱塑性復(fù)合材料斷裂機制的研究過程中,研究了聲發(fā)射信號參數(shù)中延時分布、上升時間、能量及峰值振幅等參數(shù)的特征，并將其作為區(qū)分不同破壞機制的有效特征,從而將纖維斷裂及脫層兩種破壞形式區(qū)分出來。Yamaguchi 等[3]在對玻璃纖維復(fù)合材料的研究過程中,關(guān)注了信號能量矩這一參數(shù)，發(fā)現(xiàn)其分布比峰值幅度分布更為有效，并將其用來區(qū)分玻璃纖維材料中纖維斷裂和脫膠開裂兩種損傷形式。金周庚[4]等研究了B-Al復(fù)合材料變形和斷裂過程中的聲發(fā)射特征，發(fā)現(xiàn)聲發(fā)射振幅、振鈴計數(shù)和費利西蒂比等參數(shù)可以用來識別復(fù)合材料的損傷形態(tài)。上述區(qū)分指標均局限于聲發(fā)射信號參數(shù)中各自感興趣的某些參數(shù)，結(jié)果顯然會造成信息遺漏，分類結(jié)果也難免有大的差異。

主成分分析(PCA)法是通過線性變換從多個變量中選出較少個變量的一種多元統(tǒng)計分析方法[5]。高斯混合模型(GMM)是用高斯概率密度函數(shù)精確地量化事物，將其分解為若干基于高斯概率密度函數(shù)所形成的模型[6]。本文運用主成分分析(PCA)方法，對MgO-C耐火材料損傷實驗獲取的15個聲發(fā)射參數(shù)進行消除相關(guān)性降維處理，得到信息全面的兩個新參數(shù)，再采用高斯混合模型將信號分為兩大類，最終用掃描電鏡驗證了分類的合理性。

1 主成分分析構(gòu)造新指標

記樣本的觀測矩陣[7-8]為

(X1,X2,…,Xp)

(1)

式中：樣本矩陣X的每一行對應(yīng)一個聲發(fā)射信號的全部參數(shù)，每一列對應(yīng)一個參數(shù)的不同信號值。

記樣本的協(xié)方差矩陣

(2)

為∑的估計。

步驟1：以S構(gòu)造出樣本矩陣X的協(xié)方差矩陣

∑=

(3)

式(3)為P×P對陣矩陣，且為正定矩陣，故有P個互不相等且大于零的特征值，每一特征值均對應(yīng)一個單位特征向量。

步驟2：求出P個特征值及其對應(yīng)的特征向量

設(shè)：λ1，λ2，…，λp為S的P個特征值；T=t1，t2，…，tp為相應(yīng)的單位特征向量。將特征值按從大到小順序排列為：

λ1≥λ2≥……≥λp≥0

(4)

步驟3：定義特征值貢獻率和累計貢獻率分別為

(5)

(6)

A=(t1,t2,…,tm)

(7)

步驟5：用該特征向量矩陣和樣本矩陣作線性變換

通過上述步驟，將原來P個指標降維成m個指標，這m個指標均包含最大信息量且相互線性無關(guān)。

2 高斯混合模型分類

高斯混合模型概率密度函數(shù)定義如下：

(8)

式中：M為模型的混合數(shù)；ωk為混合模型的權(quán)重系數(shù)，且∑ωk=1；N(x|μk,∑k)為第k個單一高斯概率密度函數(shù)，為

(9)

估算出合理的參數(shù)

θ=[ω1,ω2,ω3,…,ωM,μ1,μ2,μ3,…,

μM,∑1,∑2,∑3,…,∑M]

(10)

使得概率密度函數(shù)的最大似然估計值最大，即

(11)

為求解最大似然估計，采用最大期望值(EM)算法對高斯混合模型進行參數(shù)估計。EM算法迭代步驟為

步驟1：初始化參數(shù)

(1)設(shè)均值μ1，μ2，μ3，…，μM為為隨機值；

(2)設(shè)協(xié)方差矩陣∑1，∑2，∑3，…，∑M為單位矩陣；

(3)每個模型的加權(quán)系數(shù)ω1，ω2，ω3，…，ωM設(shè)為每個模型比例的先驗概率,即

ωi=1/M

(12)

式中：M為高斯混合模型數(shù)目

步驟2：算出各成分在各高斯模型中的先驗概率

(13)

步驟3：利用先驗概率更新新的參數(shù)

(14)

(15)

(16)

步驟4：重復(fù)步驟2和步驟3，直至滿足收斂條件

|θt+1-θt)|<ε

(17)

式中：θt+1和θt表示前后兩次的參數(shù)估計值；ε為設(shè)定閾值，通常取值為10-5。

3 實例分析

3.1 主成分分析

采集MgO-C耐火材料拉伸、彎曲及斷裂過程產(chǎn)生的聲發(fā)射信號，經(jīng)聲發(fā)射軟件處理得到15個基本參數(shù)為：上升時間(X1)、計數(shù)(X2)、能量(X3)、持續(xù)時間(X4)、幅值(X5)、平均頻率(X6)、RMS(X7)、ASL(X8)、峰值頻率(X9)、反算頻率(X10)、初始頻率(X11)、信號強度(X12)、絕對能量(X13)、中心頻率(X14)和峰頻(X15)，即15個主成分。樣本信號總個數(shù)為11 168，則樣本觀測矩陣為11 168×15。為消除各參數(shù)間的量綱影響，在進行主成分分析前對樣本觀測矩陣進行歸一化處理，將數(shù)據(jù)值歸一到(0,1)之間，所得協(xié)方差矩陣特征值如表1所示。計算每個主成分的累積貢獻率，結(jié)果如表2所示。由表2中可以看出，前兩個主成分的累積貢獻率為90.6189%，遠大于85%?？梢?，前兩個主成分(指標)足以描述后期所有聚類指標。因此，將其作為新的主成分，設(shè)新的主成分為Y1，Y2，這樣，參數(shù)數(shù)目從15維降至2維。

表1 協(xié)方差矩陣特征值Table 1 Eigenvalues of covariance matrix

表2每個主成分的累積貢獻率

Table2Accumulatedcontributionrateofeachcomponent

主元編號累積貢獻率152.3135290.6189394.6705496.7067598.5072主元編號累積貢獻率699.4320799.7786899.9456999.97561099.9943主元編號 累積 貢獻率1199.99861299.9995131001410015100

3.2 損傷信號分類

應(yīng)用高斯混合模型對MgO-C耐火材料損傷信號進行分類。增加模型數(shù)目可以提高模型精度，但同時也會增加模型復(fù)雜度[9]，貝葉斯信息準則(BIC)[10]維持了模型精確度和復(fù)雜度之間的平衡，故采用貝葉斯信息準則。

BIC=-2lnL+klnT

(18)

式中：L為估計模型最大似然函數(shù)的最大值；T為觀測值的數(shù)目；k為每個GMM中需要估計的自由參數(shù)的數(shù)目。

模型數(shù)目從M增加到M+1，BIC變化率為

%

(19)

BIC變化率反映了BIC值對模型數(shù)目增加的敏感度。當模型數(shù)目從M增加到M+1時，如果BIC變化率較大，說明模型數(shù)目為M描述原始數(shù)據(jù)集精度不足，需要增加至M+1個；當BIC變化率較小(<0.03)時，說明M個模型和M+1個模型對原始數(shù)據(jù)描述的精度差別不大，出于計算成本考慮取M個模型足夠。

模型數(shù)目BIC變化率如圖1所示。由圖1中可看出，當模型數(shù)目由1增至2時，BIC變化顯著，達7%；之后隨模型數(shù)目增大，BIC變化率逐步減小(<3%)。因此，為節(jié)約計算成本，選擇模型數(shù)目為2用來描述觀測數(shù)據(jù)集。

高斯混合模型運算結(jié)果如圖2所示。由圖2中可看出，MgO-C耐火材料損傷信號被明顯分為ω1、ω2兩類，其權(quán)重值分別為0.63和0.37。

圖1 模型數(shù)目BIC變化率Fig.1 BIC change rate of each model number

圖2 GMM運算結(jié)果(ω1=0.63，ω2=0.37)

Fig.2CalculationresultsoftheGMMalgorithm(ω1=0.63，ω2=0.37)

3.3 分類合理性驗證

用PHILIPS XL30 TMP掃描電子顯微鏡(荷蘭)配EDAX PHOENIX能譜儀對樣本做掃描分析，從掃描結(jié)果中可以觀察到微觀損傷形式主要有基質(zhì)相損傷裂紋和界面損傷裂紋兩種(見圖3和圖4)，且基質(zhì)相損傷裂紋占大部分比例。兩種微觀損傷形式的能譜分析結(jié)果分別如圖5和圖6所示。從圖5中可看出，基質(zhì)相損傷裂紋附近主要成分為C，質(zhì)量分數(shù)為97.89%，故該處裂紋為基質(zhì)相損傷裂紋。從圖6中可看出，界面損傷裂紋附近觀測點成分以C為主，質(zhì)量分數(shù)為65.78%，此外還存在15.26%的O與18.96%的Mg，表明該處含有基質(zhì)相與顆粒相，該處裂紋為界面損傷裂紋。上述電鏡掃描結(jié)果表明，MgO-C耐火材料受載下的主要微觀損傷形式為基質(zhì)相損傷和界面損傷，并以基質(zhì)相損傷形式為主。至此，驗證了主成分分析和高斯混合模型對MgO-C耐火材料損傷信號分類的合理性。

圖3 基質(zhì)相損傷裂紋Fig.3 The matrix damage crack

圖4 界面損傷裂紋Fig.4 The interface damage crack

圖5 基質(zhì)相損傷裂紋能譜分析Fig.5 EDS analysis of the matrix damage crack

圖6 界面損傷裂紋能譜分析Fig.6 EDS analysis of the interface damage crack

4 結(jié)語

運用主成分分析(PCA)方法對MgO-C耐火材料損傷實驗獲取的聲發(fā)射參數(shù)進行消除相關(guān)性降維處理，以構(gòu)造出的新參數(shù)作為損傷信號的分類指標，采用高斯混合模型(GMM)聚類方法及貝葉斯信息準則將樣本信號分為ω1、ω2兩類，其權(quán)重分別為63%和37%，掃描電鏡驗證結(jié)果表明，MgO-C耐火材料受載下的損傷形式主要為基質(zhì)相損傷和界面損傷兩種，并以基質(zhì)相損傷形式為主。

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