基于插值組合核的LS-SVR板形預(yù)測方法

姚鈺鵬，王 京

(北京科技大學(xué)冶金工程研究院，北京，100083)

金屬板帶材廣泛應(yīng)用于家用電器、食品包裝、汽車制造以及航空航天等領(lǐng)域，其對板帶材的質(zhì)量如厚度、寬度、板形等精度要求很高，尤其是對板帶材的板形質(zhì)量要求更高[1]。通過預(yù)測控制可對板形值進(jìn)行預(yù)報，提前修正控制參數(shù)以改善控制器性能，故帶材板形值預(yù)測控制方法一直是國內(nèi)外研究的熱點。

近年來，在預(yù)測板形值的智能算法研究方面，Carlstedt等[2]提出最小二乘法擬合板形識別方法和基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的板形模式識別方法；Nandan[3]、Chakraborti等[4]利用遺傳算法對帶鋼指標(biāo)綜合函數(shù)的預(yù)測進(jìn)行了優(yōu)化；Liu等[5]采用遺傳反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來建立板形誤差指標(biāo)和板形控制參數(shù)之間的傳遞矩陣，并將其應(yīng)用到900 mm HC冷連軋機(jī)上；John等[6]用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立輸入?yún)?shù)和帶鋼平直度模型，并利用遺傳算法對控制參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。但上述研究在智能算法上存在泛化能力一般且尋優(yōu)容易陷入局部極值的問題，為此李琳等[7]提出支持向量機(jī)(SVM)算法是一種基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化學(xué)習(xí)訓(xùn)練的方法，與上述算法相比具有較好的泛化能力和全局最優(yōu)性而成為近年來板形控制的研究重點，如陳愛玲等[8]提出利用SVM算法對30MnSi鋼變形抗力進(jìn)行預(yù)測；陳治明等[9]提出一種基于混沌優(yōu)化的支持向量機(jī)算法來優(yōu)化板形預(yù)測模型。然而除了參數(shù)對SVM算法有影響外，支持向量機(jī)的許多特性是由核函數(shù)來決定的[10]，為此Steinwart等[11]對多類具有固定形式的核函數(shù)進(jìn)行了研究，Smits等[12]提出了一種將經(jīng)典核函數(shù)進(jìn)行線性混合得到新的核函數(shù)的構(gòu)造方法；吳濤等[13]提出一種基于Shepard插值的核函數(shù)構(gòu)造方法來增強算法泛化能力。但固定形式的核函數(shù)組合依然存在局限性，而Shepard插值僅通過向量歐氏距離倒數(shù)作為加權(quán)值，還無法反映出數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)與不確定性。

為此，本文基于RBF核的LS-SVR模型，采用實驗變差函數(shù)計算插值算法權(quán)值，對權(quán)系數(shù)與各訓(xùn)練樣本內(nèi)積值相乘所反映樣本空間結(jié)構(gòu)和相互間關(guān)聯(lián)度的插值核函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造，提出了一種通過Kriging空間散亂插值方法利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造出的插值核函數(shù)與RBF核函數(shù)進(jìn)行組合而成的核方法，并將其應(yīng)用于最小二乘支持向量回歸機(jī)來預(yù)測板形值。

1 基于RBF核的LS-SVR算法

基礎(chǔ)的支持向量機(jī)對于線性可分的訓(xùn)練樣本集有較好的分類和回歸效果[14]，然而工業(yè)現(xiàn)場的很多樣本數(shù)據(jù)是線性不可分的，在線性不可分的情況下存在著一些樣本不能被最優(yōu)分類面正確分類的情況[7]。故訓(xùn)練集為非線性時，可通過某一非線性函數(shù)f(·)將訓(xùn)練集數(shù)據(jù)x映射到一個高維線性特征空間，在這個維數(shù)可能為無窮大的線性空間中構(gòu)造回歸估計函數(shù)f(x)，即：

f(x)=wφ(x)+b

(1)

式中：w為權(quán)矢量，其維數(shù)為特征空間維數(shù)。

(2)

引入拉格朗日乘子得到對偶最優(yōu)化問題：

L(w,b,ξ,a)=

b+ξi-yi)

(3)

通過式(3)對各系數(shù)偏導(dǎo)為0，可將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程：

(4)

式中：K(xi,xj)為核函數(shù)；ai為拉格朗日乘子；b為估計修正量；C為懲罰參數(shù)，用于控制模型復(fù)雜度與訓(xùn)練誤差在目標(biāo)函數(shù)中的比重。

通過求解上述線性矩陣問題，得到估計函數(shù)系數(shù)ai和修正量b，然后代入式(1),從而得到回歸預(yù)測函數(shù)。

核函數(shù)方法是在非線性可分的情況下使用非線性變換φ(·)，將輸入模式空間中的數(shù)據(jù)映射到高維特征空間，在其內(nèi)構(gòu)造新的分類函數(shù)以實現(xiàn)線性可分。核函數(shù)形式和參數(shù)的變化會隱式地改變輸入空間到特征空間的映射，影響支持向量回歸性能[12]。核函數(shù)從訓(xùn)練與測試性能上劃分主要有局部性和全局性兩類[10]。RBF核函數(shù)是一種常用的經(jīng)典核函數(shù)，通過研究可知其為局部性核函數(shù)。圖1為當(dāng)Δ分別取0.1～0.4的四種參數(shù)，-0.3為測試輸入時RBF核函數(shù)的計算結(jié)果曲線。由圖1可看出，RBF核函數(shù)僅在測試點附近小范圍內(nèi)有較大取值，而在范圍之外取值都是呈指數(shù)性減小。在訓(xùn)練階段，由于訓(xùn)練數(shù)據(jù)包括輸入?yún)?shù)和實際輸出，通過RBF核函數(shù)進(jìn)行已知量回歸能較準(zhǔn)確找到以式(3)為限定條件的極值點而產(chǎn)生良好的學(xué)習(xí)效果。但對于測試樣本，數(shù)據(jù)只包含輸入?yún)?shù)沒有實際輸出結(jié)果，若測試向量與已有訓(xùn)練向量的歐氏距離較大，則會出現(xiàn)兩端數(shù)值極小的情況，這也影響了最小二乘支持向量尋優(yōu)的效果。

圖1 不同寬度參數(shù)下RBF核函數(shù)的計算結(jié)果

Fig.1RBFcalculationresultsatdifferentvaluesofthewidthparameter

由此可知，RBF核函數(shù)屬于局部性核函數(shù)，其在訓(xùn)練過程中有較強的學(xué)習(xí)能力，但在測試過程中其回歸預(yù)測的泛化能力較弱。而全局性核函數(shù)的特點即使遠(yuǎn)離測試點的值也有一定的核函數(shù)輸出，但不同輸入的輸出間差值較小，學(xué)習(xí)擬合能力較差。故考慮通過尋找一個全局性核函數(shù)與RBF核函數(shù)進(jìn)行組合形成新的核函數(shù)來互補全局性和局部性核函數(shù)各自弱點，以改善預(yù)測性能。

2 基于插值的組合核函數(shù)描述

為選取一種全局性核函數(shù)，考慮選用Kriging插值方法來構(gòu)造插值核函數(shù)，再將其與RBF核函數(shù)形成組合核函數(shù)。與傳統(tǒng)核函數(shù)不同，插值核函數(shù)是一種基于訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)得出的核函數(shù)映射，它是隨訓(xùn)練樣本變化而改變的全局性核函數(shù)[13]。

2.1 訓(xùn)練樣本內(nèi)積值確定

在支持向量回歸算法中，通常所采用的核函數(shù)必須滿足Mercer條件[15]，其要求通過核函數(shù)計算生成的矩陣k=K(xi,xj) (i,j=0,1,…,n)在所有的訓(xùn)練集上半正定。接下來通過下面定理定義內(nèi)積運算k(x,xi)使對于任意測試樣本x，其核函數(shù)值構(gòu)成的gram矩陣是半正定的。

定理[13]設(shè)K=(kij)m×m是一個m維的半正定矩陣且滿足下列條件：

(5)

若對稱函數(shù)k(x,xi) 具有如下形式：

(6)

(7)

(8)

核函數(shù)是樣本向量間的一種內(nèi)積表達(dá)，為了實現(xiàn)內(nèi)積值能反映出樣本間區(qū)別，可暫時用分類問題的思想來處理回歸問題，因二者在訓(xùn)練過程中的尋優(yōu)算法本質(zhì)是一樣的，區(qū)別僅在于它們的決策函數(shù)不同與輸出的取值范圍不同，分類問題的輸出只允許取兩個值，而回歸問題的輸出可取任意實數(shù)[16]。設(shè)最優(yōu)分類超平面的兩邊為兩類，在特征空間中兩邊的訓(xùn)練樣本屬于各自不同的子空間，此時可用向量間的夾角等效于內(nèi)積值代替歐氏距離來判別樣本子空間的歸屬，定義同類樣本向量相互平行，異類樣本向量相互垂直，則內(nèi)積值為

(9)

2.2 Kriging法構(gòu)造插值核函數(shù)

通過選取的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)可得由內(nèi)積值k(xi,xj)構(gòu)建的矩陣K的各元素值，而接下來就需要利用插值的方法估計出訓(xùn)練樣本與測試樣本間的內(nèi)積值k(x,xj)。由于訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)是多維且散亂排布的，故選用散亂數(shù)據(jù)插值中的Kriging插值方法來構(gòu)造插值核函數(shù)。

在空間散亂點插值方法中，簡單地用距離倒數(shù)作為權(quán)值無法反映實際插值曲面的數(shù)據(jù)分布特性，而Kriging方法通過采用以距離為自變量的實驗變差函數(shù)來計算權(quán)值，由于實驗變差函數(shù)可以反映變量的空間結(jié)構(gòu)特性和隨機(jī)分布特性，故該散亂點插值方法可以有較好的估計效果[17]。

(10)

其對λi的偏導(dǎo)數(shù)為

(11)

(12)

式中：λi為Kriging方程系數(shù)，Cij與Ci0為協(xié)方差函數(shù)，即：

Cij=E[Z(xi)Z(xj)]-

E[Z(xi)]E[Z(xj)]

(13)

此時為簡化算法設(shè)訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)滿足本征假設(shè)，即可得到如下關(guān)系：

E[Z(xi)][Z(xj)]

(14)

可得變差函數(shù)y(x)為

yij=E[Z(xi)-Z(xj)]2=-2Cij

(15)

此時系數(shù)求取方程組為

(16)

而在板形預(yù)測樣本中數(shù)據(jù)散亂分布，但不是隨機(jī)變量，故用改進(jìn)的實驗變差函數(shù)代替變差函數(shù)，原始實驗變差函數(shù)為[17]

Z(xi+h)]2

(17)

式中：hij為偏差向量；N(hij)為偏差向量總數(shù)。

由于訓(xùn)練樣本維數(shù)較多，幾乎每組樣本都不相同而導(dǎo)致偏差向量數(shù)量較多、計算量較大。又因為實驗變差函數(shù)是樣本間關(guān)聯(lián)程度的一種表示，設(shè)軋制參數(shù)生成的時間差為一個關(guān)聯(lián)程度指標(biāo)，通過將樣本生成時間差tij代替hij得到改進(jìn)實驗變差函數(shù)：

(18)

式中：tmax為最后一個樣本的生成時間點(初始時間為0)。

通過訓(xùn)練樣本中已知的核函數(shù)數(shù)據(jù)可得到改進(jìn)實驗變差函數(shù)值r(tij)代替變差函數(shù)y(h)，得到新的求加權(quán)系數(shù)的方程組：

(19)

進(jìn)而解出各加權(quán)系數(shù)λi(i=1，2，…，n)得到改進(jìn)的插值核函數(shù)構(gòu)造方法：

(20)

式中：k(xi,xj)為已提到的只有0、1二值的簡化內(nèi)積值；n為訓(xùn)練樣本數(shù)量。

2.3 組合核函數(shù)

由于插值構(gòu)造核函數(shù)的方法可實現(xiàn)遠(yuǎn)離測試輸入點的樣本數(shù)據(jù)對核函數(shù)的值有影響，屬于全局性核函數(shù)，其泛化能力強但學(xué)習(xí)能力較弱[13]。而由圖1可知，徑向基核函數(shù)是局部性核函數(shù)，其形式為

(21)

式中：σ為其寬度參數(shù)。σ越小,核函數(shù)的學(xué)習(xí)能力越強，但會加大計算難度。而σ的選取不當(dāng)可能會導(dǎo)致核函數(shù)學(xué)習(xí)能力大幅下降，即局部性影響加強，損失了泛化能力。因此將基于訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的插值核函數(shù)與有固定形式的傳統(tǒng)核函數(shù)進(jìn)行組合，通過選取一個局部核函數(shù)來與插值核函數(shù)進(jìn)行互補，以優(yōu)化數(shù)據(jù)回歸預(yù)測的性能。

對兩類核函數(shù)進(jìn)行組合的實質(zhì)就是在同樣的訓(xùn)練樣本和測試樣本進(jìn)行回歸預(yù)測條件下，分別計算出兩類核函數(shù)的取值，然后通過加權(quán)線性組合的方法將每個測試樣本核函數(shù)值進(jìn)行計算，得出一組與測試樣本同數(shù)量的結(jié)果即為組合核函數(shù)的取值。其組合形式為

KSUM=ωK0+(1-ω)KRBF

(22)

式中：ω為組合核函數(shù)的分配系數(shù)，在仿真實驗中通過等步長搜索方法對其進(jìn)行尋優(yōu)。

3 仿真實驗與結(jié)果分析

實驗數(shù)據(jù)取自某熱連軋項目，在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)存儲的限制下經(jīng)過初步的機(jī)理分析，可作為訓(xùn)練樣本的參數(shù)有F1～F4機(jī)架軋制力、F1～F4機(jī)架間的三個張力值、F1～F4機(jī)架段軋制速度、F1～F4機(jī)架彎輥力和板形凸度實際值共16個指標(biāo)，而除去實際凸度值，其余指標(biāo)數(shù)據(jù)可作為測試樣本數(shù)據(jù)。故訓(xùn)練樣本矩陣為一定數(shù)量的16維向量所組成的數(shù)據(jù)矩陣，測試樣本矩陣為15維矩陣。為了避免鋁帶軋制初始與結(jié)束階段的擾動影響，實驗選取了某廠熱連軋精軋a道次的2.583～3.083 min共3000個樣本作為訓(xùn)練樣本，其數(shù)據(jù)表達(dá)為3000×16的矩陣；a道次3.583～3.808 min共1350個樣本作為測試樣本A；b道次3.0～3.225 min共1350個樣本作為測試樣本B；b道次的2.667～2.892 min共1350個樣本作為測試樣本C，三個測試樣本數(shù)據(jù)表達(dá)均為1350×15的矩陣。

3.1 實驗1

首先測試算法的預(yù)測效果。由于帶材同一位置上凸度的影響因素發(fā)生時間不同，本實驗對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了時序初始化，保持出口側(cè)數(shù)據(jù)不變，對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行時間軸不變而數(shù)據(jù)相對后移的時序調(diào)整，依照精軋入口到F1再到F4的順序減小調(diào)整量。本文通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)反饋的入口側(cè)、四個機(jī)架和出口側(cè)的各自相鄰距離與它們間的帶材軋制速度相除得到相鄰時間修正分量：

(23)

式中：Δti,i-1為相鄰時間修正分量；Si,i-1為入口側(cè)、各機(jī)架間、出口側(cè)之間的相鄰距離；下標(biāo)值中，“i-1=0”表示入口側(cè)，“1～4”為F1～F4的四個精軋機(jī)架，“i=5”表示出口側(cè)；vi(T)為T時刻的帶材軋制速度值。

在得到相鄰時間修正量后，將其按式(24)進(jìn)行累加得到入口側(cè)的時序調(diào)整量ΔT0和四個機(jī)架的時序調(diào)整量ΔT1～ΔT4，從而完成時序初始化工作。即：

(24)

本組實驗選取測試樣本A作為測試數(shù)據(jù)，通過算法仿真來比較單RBF方法與組合核方法的預(yù)測結(jié)果。圖2為單RBF方法與組合核方法預(yù)測結(jié)果的對比。

(b)組合核方法

Fig.2PredictionsbythemethodofRBFandthatofmixturesofkernels

通過交叉驗證尋優(yōu)，本組實驗中懲罰因子C取2000，RBF核寬度σ取6，核分配系數(shù)ω取0.3。由圖2可看出，由于局部性核函數(shù)泛化能力較弱，在單RBF核函數(shù)下的回歸預(yù)測結(jié)果能勉強跟上實際板形值，但整體結(jié)果有較大幅值的高頻振蕩，無法為現(xiàn)場軋制過程提供有效預(yù)測修正；而在基于組合核函數(shù)的回歸預(yù)測中，估計結(jié)果較好地跟蹤上了實際板形值，其預(yù)測趨勢正確且振蕩幅值不大，可以保證預(yù)測結(jié)果有能力對現(xiàn)場軋制的參數(shù)有一定的預(yù)測修正作用。

本組實驗對兩種方法的訓(xùn)練樣本自回歸和測試樣本回歸的各項性能指標(biāo)進(jìn)行了對比，從而考察組合核方法的學(xué)習(xí)能力和測試能力。表1為基于不同核函數(shù)回歸算法的學(xué)習(xí)訓(xùn)練性能對比。由表1可看出，基于組合核的訓(xùn)練效果相比于RBF核函數(shù)有一定提升，其誤差小于3%的數(shù)據(jù)命中率有4.72%的提升，其相對誤差減小的程度為0.13%，誤差控制效果提升不大；基于組合核的回歸方法較于基于單RBF核的回歸方法訓(xùn)練能力有小幅改善。

表2為基于不同核函數(shù)的回歸算法的測試性能對比。由表2可看出，基于組合核算法較于基于單RBF核算法在誤差小于3%的數(shù)據(jù)命中率有21.11%的提升，相對誤差減小的程度為1.06%，測試誤差控制效果有一定提升。由此看出，基于組合核的回歸算法較于基于單RBF核的回歸算法在測試性能上有一定改善。

表1 不同核函數(shù)選取下的學(xué)習(xí)訓(xùn)練性能指標(biāo)Table 1 Performance indexes of learning and training with different kernels

表2 不同核函數(shù)選取下的回歸測試性能指標(biāo)Table 2 Performance indexes of regression testing with different kernels

3.2 實驗2

對于支持向量回歸算法，除了保證當(dāng)前道次板形回歸預(yù)測的準(zhǔn)確度，還需要對泛化能力提出要求。只有泛化能力良好的回歸預(yù)測算法才能有效地應(yīng)用于板形值估計，故其是本研究的一項重要衡量指標(biāo)。

通過在相同樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練的情況下，選取包括與樣本數(shù)據(jù)在同一卷和不同卷鋁帶的數(shù)據(jù)作為測試樣本，用不同卷鋁帶預(yù)測相對誤差值與同卷鋁帶預(yù)測相對誤差值作差法得到的偏差值來表示基于不同核函數(shù)的回歸算法泛化能力，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(25)

本組實驗選取實驗1的訓(xùn)練樣本，選取測試樣本A和與其不同道次的測試樣本B(板形波動較小)、測試樣本C(板形波動較大)的軋制參數(shù)作為測試樣本集。在基于不同核函數(shù)的支持向量回歸算法下觀察各組相對誤差偏差值，得出兩種算法的泛化能力對比結(jié)果如表3所示。

表3 基于不同核函數(shù)回歸算法的泛化能力對比Table 3 Generalization abilities of regression algorithms based on different kernels

本組實驗參數(shù)選取同實驗1。由表3可看出，基于組合核函數(shù)的支持向量回歸算法對與訓(xùn)練樣本不同道次的測試樣本測試誤差增加量小于基于單RBF核函數(shù)的回歸算法的誤差增加量。不難看出，基于新核函數(shù)的回歸算法的泛化能力有一定提高。

4 結(jié)語

(1)針對熱連軋板形測量滯后而影響板形控制效果的問題，提出了一種基于樣本數(shù)據(jù)的插值方法來構(gòu)造非固定形式的核函數(shù)，并將其與經(jīng)典的RBF核函數(shù)進(jìn)行線性組合得到新的組合核函數(shù)應(yīng)用到板形預(yù)測中。

(2)由于板形訓(xùn)練樣本維數(shù)多且散亂分布，故在插值算法的選取上采用了可完成空間散亂插值的Kriging插值方法。實驗表明，通過Kriging插值方法構(gòu)造基于數(shù)據(jù)的核函數(shù)對局部性的RBF核函數(shù)有較好的全局性補充，其二者組合可應(yīng)用于支持向量回歸。

(3)通過與傳統(tǒng)RBF方法的比較，本方法在學(xué)習(xí)訓(xùn)練性能上較為接近；測試性能上有所改善，均方誤差減小，預(yù)測命中率提高；泛化能力有所增強，板形預(yù)測精確度有了一定程度的提高，為基礎(chǔ)自動化的板形預(yù)測控制系統(tǒng)提供了良好的先驗信息。

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