基于擴(kuò)展有限元的Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋開裂角分析

李麗丹，磨季云

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065)

結(jié)構(gòu)中存在的或演化過程中出現(xiàn)的諸如節(jié)理、裂紋和孔隙等非連續(xù)性局部結(jié)構(gòu)往往對整個結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)或破壞起著關(guān)鍵作用。對這些非連續(xù)性結(jié)構(gòu)部位的分析是目前結(jié)構(gòu)工程分析的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1]。對于靜態(tài)不連續(xù)問題，現(xiàn)有的數(shù)值分析方法均能有效地進(jìn)行分析，而對于動態(tài)不連續(xù)問題，傳統(tǒng)有限元法存在一些弊端。1999年，Belycshko等[2]在傳統(tǒng)有限元法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了重要改進(jìn)，提出了擴(kuò)展有限元法(Extended Finite Element Method，XFEM)，它允許單元內(nèi)部的位移場出現(xiàn)間斷，從而實現(xiàn)了裂縫在單元內(nèi)部的任意傳播，克服了傳統(tǒng)方法的諸多缺陷。十幾年來擴(kuò)展有限元法不斷發(fā)展完善，逐漸成為了一種處理非連續(xù)場、斷裂等復(fù)雜力學(xué)問題的新方法[3-4]。

本文將擴(kuò)展有限元法應(yīng)用于研究Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋擴(kuò)展問題。主要利用二維擴(kuò)展有限元的基本原理在ABAQUS上模擬了單向拉伸薄板的中心斜裂紋和三點(diǎn)彎曲梁的偏裂紋起裂的開裂角，并與斷裂力學(xué)中的理論解進(jìn)行了對比，證明了擴(kuò)展有限元方法對裂紋擴(kuò)展模擬的有效性。

1 斷裂問題的擴(kuò)展有限元模擬

擴(kuò)展有限元法與傳統(tǒng)有限元方法在流程上是相同的，區(qū)別在于擴(kuò)展有限元采用水平集方法來描述單元內(nèi)部的裂縫間斷，因此XFEM方法的單元形函數(shù)是非連續(xù)的擴(kuò)充形函數(shù)，這使得在求解單元剛度方程時必須解決間斷函數(shù)的積分問題。

1.1 水平集方法

水平集方法是一種用來追蹤間斷(如裂紋、界面等)運(yùn)動的數(shù)值方法。假設(shè)位于2個單元內(nèi)部的裂縫(見圖1)方程為f(x)=0，則其形式可表示為

(1)

f(x)的物理意義是計算域內(nèi)任意一點(diǎn)的符號距離函數(shù)等于從這一點(diǎn)到間斷點(diǎn)的最短距離，并且間斷兩邊的點(diǎn)具有不同的符號。

圖1 f和g表示的二維裂紋

1.2 擴(kuò)充形函數(shù)

對于被裂紋完全穿過的單元和裂尖周圍的節(jié)點(diǎn)，分別使用兩種不同的擴(kuò)充形函數(shù)，如圖2所示。含裂紋二維平板的位移場可以表示為

(2)

(3)

(4)

1.3 不連續(xù)函數(shù)的積分

采用子區(qū)域積分法對不連續(xù)場精確積分。在ΩΓ區(qū)域，裂縫將單元分為2個子域。為便于積分，將每個子域的形心點(diǎn)與該子域每邊的中點(diǎn)相連，由此將該子域劃成幾個四邊形單元，如圖3所示，從而不連續(xù)函數(shù)的積分就等于所有四邊形單元內(nèi)積分的和。在ΩΛ區(qū)域，將不連續(xù)縫頂點(diǎn)與該單元另外三邊的中點(diǎn)相連，由此將該單元劃成4個四邊形單元，如圖4所示，從而不連續(xù)函數(shù)的積分就等于4個四邊形單元內(nèi)積分的和[5]。

圖3 ΩΓ單元子區(qū)域

圖4 ΩΛ單元子區(qū)域

2 算例

2.1 單向拉伸板Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋開裂角的計算

如圖5所示，一長為L、寬為W的矩形板，中心有長度為2a的裂紋，上下端受軸向均布拉伸荷載σ的作用。L=10 m，W=5 m，σ=1 kPa，板的彈性模量取70 GPa，泊松比為0.33，裂紋長度2a為1 m。按平面應(yīng)變問題計算本算例。

圖5 中心含斜裂紋的受拉板

分別取裂紋角β=30°和β=60°，用ABAQUS進(jìn)行模擬，可得裂紋開裂后的變形圖，如圖6、圖7所示。

圖6 β為30°時裂紋擴(kuò)展的有限元模型及開裂角示意圖

圖7 β為60°時裂紋擴(kuò)展的有限元模型及開裂角示意圖

該問題按最大環(huán)向拉應(yīng)力理論計算，其解[6]為

sinθ0+(3cosθ0-1)cotβ=0

(5)

由式(5)計算可得開裂角的理論值，將其與本文的模擬值進(jìn)行對比，結(jié)果如表1所示。由表1可知，模擬值與理論值的相對誤差均不超過5%，可見利用擴(kuò)展有限元方法進(jìn)行模擬，可以較精確地計算出有限大板中心斜裂紋的初始開裂角。

表1斜裂紋單項拉伸開裂角θ0

Table1Crackingangleθ0ofangle-crackedplateundertension

βθ0/(°)/%30°60.2°63.1 °1.8360°43.2°41.5 °3.94

2.2 三點(diǎn)彎曲梁Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋開裂角的計算

圖8 復(fù)合型裂紋梁受力示意圖

本文沖擊載荷以速度形式加載[7-8]，用ABAQUS進(jìn)行模擬，得到裂紋擴(kuò)展的變形圖如圖9所示。

圖9 裂紋擴(kuò)展路徑

自起裂開始，裂紋便往偏向加載點(diǎn)一側(cè)的方向擴(kuò)展，這體現(xiàn)了混合型裂紋的特征。裂紋擴(kuò)展路徑與豎直方向的平均夾角α如圖10所示。測量可得α≈21°，與文獻(xiàn)[1]中提到的實驗數(shù)據(jù)22°較接近。

圖10 裂紋擴(kuò)展路徑與豎直方向的平均夾角

Fig.10Averageanglewiththeverticaldirectionofthecrackpropagationpath

計算中使用的是規(guī)則的正方形網(wǎng)格，而裂紋的擴(kuò)展路徑呈曲折狀，擴(kuò)展有限元允許裂紋在單元內(nèi)部和穿過單元，不需要對網(wǎng)格進(jìn)行重新剖分，節(jié)省了計算成本，這是擴(kuò)展有限元獨(dú)特的優(yōu)勢，可以精確捕捉真實的裂紋擴(kuò)展形貌。

3 結(jié)語

擴(kuò)展有限元相對傳統(tǒng)有限元而言，在模擬不連續(xù)問題中具有明顯的優(yōu)勢。采用擴(kuò)展有限元法，不連續(xù)面與網(wǎng)格無關(guān)，既方便了前處理，也便于計算，無須因不連續(xù)面的變化而改變計算網(wǎng)格。擴(kuò)展有限元法能很好地模擬Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋初始擴(kuò)展方向，路徑不依賴于單元邊界，裂縫是從單元內(nèi)部斷開，更符合工程實際，可以作為分析Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋開裂角的有力工具。

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