方波輸入下LC電路暫態(tài)過程實驗研究

劉洪臣, 陳 東, 劉 雷

(1. 哈爾濱工業(yè)大學 電氣工程及自動化學院， 黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業(yè)大學 航天學院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

二階電路的暫態(tài)過程分析是電路理論課程學習中非常重要的內(nèi)容[1-5]。在RLC串聯(lián)電路的暫態(tài)分析中，當RLC電路中原件參數(shù)滿足一定的條件時，電路會出現(xiàn)過阻尼、欠阻尼及臨界3種情態(tài)[4-7]。特別是在欠阻尼條件下，當電阻為零時會出現(xiàn)不衰減的自由振蕩，即等幅振蕩的情況[4,8]。在以往對串聯(lián)LC電路進行分析的教學中，通常以零輸入響應或直流輸入為例，很少分析電容在換路時刻的初始值對輸出的影響。在教學過程中，為了讓學生深入理解LC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程，同時做到以點帶面、從一個典型電路引申到一類電路，做到學有所用，避免死記硬背，本文對方波激勵下的二階LC電路的暫態(tài)過程進行了詳細的分析。通過控制方波頻率，使得電容和電感在換路時刻的初始值發(fā)生變化，分析狀態(tài)變量的初始值對輸出的影響，最后再進行仿真驗證。由于Orcad/Pspice軟件是電路分析中常用的軟件，能夠反映電路的實際情況[9-12]，因此本文選擇Orcad/Pspice軟件進行實驗驗證。通過這種先理論分析再仿真驗證的方式更能加深學生對二階電路暫態(tài)過程的理解。

1 LC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程

圖1 LC串聯(lián)電路

將Us一個周期內(nèi)的表達式為：

(1)

在開關(guān)閉合后，根據(jù)基爾霍夫電壓方程可以得到

(2)

初始條件為：

微分方程的特征方程為

(3)

解得特征根為

P1=jω0,P2=-jω0

方程的通解為

Uch=A1sin(ω0t)+A2cos(ω0t)=Asin(ω0t+θ)

特解為Ucp=U0，U0是Uc的穩(wěn)態(tài)解。

得到

Uc=Uch+Ucp=Asin(ω0t+θ)+U0

代入初始條件A=-U0,θ=π/2后可以得到

(4)

在t=t0時電路進行換路，通過確定電容電壓和電感電流此時的數(shù)值再進行下一步的分析。下面將通過控制方波的周期使得電容電壓和電感電流在換路時刻的初始值發(fā)生變化，從而改變電容電壓及電感電流。

2 不同周期方波激勵下LC串聯(lián)電路的暫態(tài)過程分析

2.1 方波周期為振蕩周期的n倍(n為整數(shù))

設置方波周期T′=2T，根據(jù)式(4)，在t=0時刻，電容電壓為0 V，激勵源接通，通過對1個周期內(nèi)Uc和iL的分析可以得知，當方波的高電平結(jié)束時，電容電壓和電感電流的數(shù)值為零，即此時電路狀態(tài)變量的初始值為零。當激勵源進入低電平時，電路中激勵與初始值均為零，因此在時間段0.5T′

T′=2T條件下的仿真結(jié)果如圖2所示，與理論結(jié)果完全相同。T′=6T時的仿真結(jié)果如圖3所示。結(jié)合圖2和圖3可知，只要合理地控制方波周期為振蕩周期的整數(shù)倍，即Uc和iL在高電平結(jié)束的時刻數(shù)值為零，則可以使Uc和iL在高電平階段呈等幅振蕩，而在低電平階段為零。

圖2 T′=2T時，Uc和iL的波形

圖3 T′=6T時，Uc和iL的波形

2.2 方波周期為振蕩周期的n+m倍(0

當方波周期為振蕩周期的n+m倍(0

(5)

根據(jù)在低電平階段為零輸入響應有：

(6)

代入初值條件t=0可以得到:

(7)

解方程(7)組可以得到:

(8)

在下一個高電平的起始處Uc和iL的值與此時的初值相等，且此階段時的振幅較脈沖階段減小，進入下一個脈沖時，為全響應，有：

(9)

根據(jù)全響應可以得到：

(10)

代入初值條件t=0可以得到：

(11)

解得：

sinθ=cos(ω0mT)

(12)

T′=(n+m)T時的仿真結(jié)果見圖4(上圖為放大圖)。

圖4 T′=(n+m)T(0

結(jié)合理論分析和仿真結(jié)果，電容在低電平期間為零輸入響應，且在下一個脈沖開始時Uc和iL不為0，使得脈沖期間Uc的振蕩幅度逐漸減??；低電平時Uc的振蕩幅度逐漸增大，而且Uc相對于激勵源逐漸左移，經(jīng)歷一定時間后，相位又和脈沖時間的相位大致相重合，振蕩幅度重新達到最大值，然后再和以前一樣再減小，呈周期性變化。

2.3 方波周期為振蕩周期的n+1/4倍

圖5 T′=(n+1/4)T時Uc和iL的波形

2.4 方波周期為振蕩周期的n+m倍(1/4

此種情況的分析與2.2節(jié)情況相同，結(jié)果也非常類似，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 T′=(n+m)T(1/4

2.5 方波周期為振蕩周期的n+1/2倍

根據(jù)前面的理論分析結(jié)果，再進入低電平時有：

Uc0=2U0,iL=0

(13)

此時電路相當于是零輸入響應，根據(jù)計算可以得到：

(14)

由此可以得到再進入高電平時有：

Uc0=-2U0,iL=0

(15)

根據(jù)此時為全響應，可以得到：

(16)

由此推斷，可以得知在第n個脈沖時有

A=(2n-1)U0

(17)

在第n個低電平階段時，A=2nU0

電容電壓會增加到正無窮，在實際應用電路當中應當盡量避免這種情況的出現(xiàn)，否則的話會損壞電路元件，發(fā)生危險。仿真結(jié)果如圖7所示，和理論分析完全相符。

圖7 T′=(n+1/2)T時Uc和iL的波形

2.6 方波周期為振蕩周期的n+m倍(1/2

此時分別與第2.2節(jié)和2.4節(jié)中情況類似，不同之處是兩者波形移動的方向不同，仿真結(jié)果見圖8和圖9。

圖8 T′=(n+m)T(1/2

圖9 T′=(n+m)T(3/4

2.7 方波周期為振蕩周期的n+3/4倍

圖10為仿真結(jié)果。

圖10 T′=(n+3/4)T時Uc和iL的波形

2.8 全響應

圖11中從上到下分別為電容初始電壓為1、2、3 V時Uc的變化圖，可見Uc峰值隨初始值有變化，而且為等幅振蕩，振蕩周期與電源激勵的周期無關(guān)。圖12是Uc和iL的對比圖。

圖11 全響應

圖12 全響應(Uc初始值為3 V)時Uc和iL

由圖12中電壓電流對比可以知道，由于電容初始電壓不為零，導致在電路t=0時，電容可以等效為一個電壓源，其電壓和原有激勵源的電壓相反，兩者相減得到了一個新的激勵源，電壓為(Us-3)V,而此時電感由于本身電阻很小，在電路里基本上相當于短路，因而電路中電感的初始電流很大，而且初始振蕩電流和電容電壓的初始值線性相關(guān)。

3 結(jié)論

本文通過對方波輸入下的串聯(lián)LC電路展開分析，并通過Orcad/Pspice良好的仿真環(huán)境對理論分析進行驗證，使學生對二階電路暫態(tài)過程的仿真方法有所了解，并且通過這種先理論分析再仿真驗證的方式加深學生對二階電路暫態(tài)過程分析方法的理解。

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