自旋為1/2的亞鐵磁棱型X-Y鏈的內(nèi)能

賈維燁, 葛崇員, 孫樹(shù)生, 成泰民

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 數(shù)理系, 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

低維磁性系統(tǒng)存在許多奇異的特性,因此這一領(lǐng)域的研究引起了科學(xué)家們廣泛的興趣[1-5].1997年Shiomi[1]等人通過(guò)實(shí)驗(yàn)合成出自旋為1/2交替的亞鐵磁性復(fù)合物.2005年Kikuchi[2]等人通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)Cu3(CO3)2(OH)2材料的磁化強(qiáng)度在低溫下隨外磁場(chǎng)的變化呈現(xiàn)1/3的磁化平臺(tái),在低溫區(qū)磁化率隨溫度變化出現(xiàn)雙峰等特性.2008年Rule[4]等人利用非彈性中子散射實(shí)驗(yàn)研究了藍(lán)銅礦Cu3(CO3)2(OH)2材料的諸交換積分，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)也發(fā)現(xiàn)了1/3的磁化平臺(tái)的存在.2011年Jeschke[5]利用密度泛函理論從理論上研究了自旋為1/2的棱型鏈磁性質(zhì)及諸交換積分，并利用第一性原理解釋了這一阻挫材料的形成機(jī)理.

長(zhǎng)程相互作用對(duì)系統(tǒng)熱力學(xué)性質(zhì)的影響近年來(lái)也被人們廣泛關(guān)注[6-7],外場(chǎng)中具有長(zhǎng)程相互作用自旋為1/2的亞鐵磁棱型X-Y鏈的熱力學(xué)性質(zhì)也得到了相應(yīng)研究.本文采用Jordan-Wigner(J-W)變換[8]分析方法對(duì)外場(chǎng)中Z方向具有均勻長(zhǎng)程相互作用自旋為1/2的亞鐵磁棱型X-Y鏈進(jìn)行研究.利用不變本征算符(IEO)法[9-14]得到體系的元激發(fā)能譜，對(duì)體系的Hamiltonian進(jìn)行對(duì)角化,并利用量子統(tǒng)計(jì)理論推導(dǎo)出體系配分函數(shù)和內(nèi)能.

1 系統(tǒng)的Hamiltonian對(duì)角化及體系的內(nèi)能

二聚體分子和單基體分子交替排列構(gòu)成的自旋為1/2的亞鐵磁棱型X-Y鏈如圖1所示.其中S2,l和S3,l表示二聚體分子的量子自由基,S1,l表示單基體分子的量子自由基.JF=-ηJ(η,J>0)表示二聚體分子內(nèi)的鐵磁相互作用,JAF=μJ(μ,J>0)表示二聚體分子與單基體分子間的反鐵磁相互作用,并且假設(shè)這樣的循環(huán)結(jié)構(gòu)具有N個(gè)(l=1,2,…,N).

圖1 自旋為1/2的亞鐵磁棱型X-Y鏈系統(tǒng)

上述相互作用利用Heisenberg相互作用理論模型描述,那么系統(tǒng)的Hamiltonian可用如下形式表示：

(1)

式(1)中：Si,l是自旋1/2的量子算符,S2，l和S3,l由二聚體分子內(nèi)的鐵磁相互作用JF<0耦合連接,其他作用都由二聚體分子與單基體分子間的反鐵磁相互作用JAF>0耦合連接,uB為玻爾磁子,g為朗德因子,H表示外磁場(chǎng)強(qiáng)度.

對(duì)式(1)的自旋升降算符進(jìn)行Jordan-Wigner(J-W)變換[8,11-14]：

(2)

(3)

(4)

其中：

(5)

其中：h=guBH,h.c.表示前項(xiàng)的厄米共軛,并且γk=exp(ik).

令系統(tǒng)哈密頓量的IEO算符為：

τ3,σa3,k, (σ=1,2,3)

(6)

由式(6)可得:

(7)

根據(jù)式(6)及利用IEO法可得自旋為1/2的亞鐵磁棱型X-Y鏈系統(tǒng)的元激發(fā)能量:

(8)

將式(6)和(7)代入式(5)可得：

(9)

根據(jù)式(4)和(9),利用量子統(tǒng)計(jì)理論可得系統(tǒng)的配分函數(shù)：

(10)

其中β=1(kBT) .

由式(10)可得系統(tǒng)的內(nèi)能：

(11)

2 討 論

HC1=ηJ/(2guB)

(12)

(13)

Hpeak=ηJ/(4guB)

(14)

當(dāng)Hpeak≤H≤HC2時(shí)，Hpeak是外磁場(chǎng)下體系的磁化強(qiáng)度隨溫度的變化曲線出現(xiàn)峰值的臨界磁場(chǎng)強(qiáng)度.

根據(jù)式(8)、(11)通過(guò)數(shù)值計(jì)算可得圖2～圖5結(jié)果.

由圖2、圖3可知，體系的內(nèi)能隨外加磁場(chǎng)的增加逐漸減少.由圖2可知:當(dāng)體系處于絕對(duì)零度(kBT/JAF=0)時(shí),二聚體分子的鐵磁相互作用JF與單基體與二聚體分子之間的反鐵磁相互作用JAF之比(-JF/JAF)越大，在低外磁場(chǎng)區(qū)體系的內(nèi)能越小.但是在高外磁場(chǎng)區(qū)(即guBH/JAF>2.5)該比值(-JF/JAF)對(duì)體系的內(nèi)能幾乎無(wú)影響，在此表現(xiàn)為對(duì)于不同的JF/JAF體系內(nèi)能隨外磁場(chǎng)變化曲線，在高外磁場(chǎng)區(qū)重分為一條曲線.由圖3可知：在有限溫度下(kBT/JAF=0.5)，在低外磁場(chǎng)區(qū)(-JF/JAF)越大，也出現(xiàn)體系內(nèi)能減少的現(xiàn)象.但是與絕對(duì)零度不同的是，對(duì)于不同的-JF/JAF，體系內(nèi)能在有限溫度下隨外磁場(chǎng)的變化曲線在更高的外磁場(chǎng)下(即guBH/JAF=3.3)出現(xiàn)重合，且在大外磁場(chǎng)下(即guBH/JAF>4.0)時(shí)，曲線重合出現(xiàn)分裂的跡象.這說(shuō)明在此存在如下4種形式的能量之間的競(jìng)爭(zhēng)：與溫度相關(guān)的熱無(wú)序能(kBT/JAF)、與外磁場(chǎng)強(qiáng)度相關(guān)的自旋磁矩勢(shì)能(guBH/JAF)；使二聚體分子內(nèi)電子自旋平行排列的鐵磁交換作用能(JF)；使二聚體與單基體分子間電子自旋反平行排列的反鐵磁交換作用能(JAF).

圖2 在絕對(duì)零度下(kBT/JAF=0)對(duì)于不同 JF/JAF體系內(nèi)能隨外磁場(chǎng)的變化

圖3 在有限溫度下(kBT/JAF=0.5)對(duì)于不同 JF/JAF體系內(nèi)能隨外磁場(chǎng)的變化

圖4 在無(wú)外磁場(chǎng)下(guBH/JAF=0)對(duì)于不同的 JF/JAF體系內(nèi)能隨溫度的變化

圖5 在有限外磁場(chǎng)下(guBH/JAF=0.2)對(duì)于不同的 JF/JAF體系內(nèi)能隨溫度的變化

由圖4、圖5可知：體系的內(nèi)能隨溫度的升高逐漸增大，并且在低溫區(qū)出現(xiàn)U～T曲線向上彎曲和在高溫區(qū)出現(xiàn)向下彎曲的現(xiàn)象.這說(shuō)明在低溫區(qū)，自旋為1/2的亞鐵磁棱型X-Y鏈體系容易出現(xiàn)比熱異常的峰，從而將出現(xiàn)比熱雙峰現(xiàn)象.但是，比較圖4和圖5可知在有限外加磁場(chǎng)下，體系的內(nèi)能比無(wú)外加磁場(chǎng)時(shí)更小.

3 結(jié) 論

在有限溫度與有限外磁場(chǎng)下,對(duì)于自旋為1/2的亞鐵磁棱型X-Y鏈體系內(nèi)能的研究得出如下主要結(jié)果:

(2) 外磁場(chǎng)強(qiáng)度HHC2時(shí),出現(xiàn)能隙.

(3) 體系的內(nèi)能隨外加磁場(chǎng)的增加逐漸減少；體系的內(nèi)能隨溫度的升高逐漸增大.

(4) 絕對(duì)零度下，在高外磁場(chǎng)區(qū)二聚體分子內(nèi)電子自旋平行排列的鐵磁交換作用能JF與二聚體與單基體分子間電子自旋反平行排列的反鐵磁交換作用能JAF之比(-JF/JAF)對(duì)體系的內(nèi)能幾乎無(wú)影響.但在有限溫度、大外磁場(chǎng)下時(shí)，曲線重合出現(xiàn)分裂跡象.說(shuō)明在該體系存在不同形式能量之間的競(jìng)爭(zhēng).

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