隨機波動率模型下幾何平均亞式期權(quán)的定價

唐 玲,林志超

(1.安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 合肥 230601;2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

亞式期權(quán)是一種強路徑依賴期權(quán),也是當(dāng)今金融衍生品市場上交易最為活躍的新型期權(quán)之一,在衍生資產(chǎn)的風(fēng)險管理中起著舉足輕重的作用[1].但亞式期權(quán)與標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)不同,其到期收益取決于期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)在某段時間內(nèi)的平均價格,這種平均可以是幾何平均,也可以是算術(shù)平均;可以是離散的,也可以是連續(xù)的;執(zhí)行價格可以是固定的,也可以是浮動的.亞式期權(quán)的路徑依賴性,使得其定價比標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)要復(fù)雜得多,雖然有很多學(xué)者討論了其定價,但幾乎都是在Black-Scholes模型下股票波動率為常數(shù)的假設(shè)下進行的[2-3],然而實證表明Black-Scholes模型對波動率為常數(shù)的假設(shè)與市場實際不符,波動率往往會表現(xiàn)出“微笑或傾斜”現(xiàn)象.相應(yīng)的改進模型主要有兩個方面:一是在基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的動態(tài)模型中引入跳躍風(fēng)險[4-5];二是允許基礎(chǔ)資產(chǎn)的波動率隨機變化[6].對于波動率非常數(shù)的亞式期權(quán)定價問題,以往的文獻中以跳擴散模型居多.由于亞式期權(quán)路徑的復(fù)雜性,對于隨機波動率模型下的定價,主要探討的是風(fēng)險資產(chǎn)和波動率受同一布朗運動驅(qū)動下的定價[7-10].本文擬考慮兩種隨機源驅(qū)動下的亞式期權(quán)定價.

1 模型及假設(shè)

對于隨機波動率模型,它的一般形式是假設(shè)市場上風(fēng)險資產(chǎn)價格St滿足如下條件:

式中,過程w1,t,w2,t是概率空間(Ω,F,P)上的兩個獨立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動,過程zt是不可觀測的狀態(tài)變量.相應(yīng)的濾子(Ft)t≥0是w1,w2生成的自然σ域流的完備化,記Ft=σ(w1,s,w2,s)(0≤s≤t).若γ(zt)=0,則市場是完備的,期權(quán)定價唯一.由于式(1)和式(2)具有相當(dāng)廣泛的代表性,因此,大部分學(xué)者討論的是其特殊情形[5,7,9].本文主要考慮波動率的平方服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機模型.

假設(shè)市場只有兩種資產(chǎn),一種是無風(fēng)險債券,一種是風(fēng)險資產(chǎn)股票.

對于無風(fēng)險債券,其價格過程分別滿足如下條件:

dP(t)=rP(t)dt,P(0)=1.

式中,r是常數(shù)無風(fēng)險利率.

對于風(fēng)險資產(chǎn)股票,其價格過程St滿足如下隨機微分方程:

定義[13]若市場可行,且每一未定權(quán)益可達,則稱市場為完備的,否則稱為不完備的.

2 固定執(zhí)行價格亞式期權(quán)定價

首先根據(jù)資產(chǎn)定價基本定理,證明隨機波動率模型下市場是不完備的.

定理1 上述測度變換中若取λ2=0,此時定義的Q是關(guān)于P的最小等價鞅測度[16].在測度Q下,式(3)和式(4)相應(yīng)地為

(9)

式中,

同理,方差

代入式(10)即得式(9).

代入式(9)即得價格的近似解為

定理3 若股票價格過程滿足式(3)和式(4),則具有固定執(zhí)行價格K的幾何平均亞式看跌期權(quán)的價格近似解為

3 結(jié) 語

本文在股價價格波動率符合市場實際的隨機波動率模型下,采用測度變換法和最小鞅測度方法,給出了固定執(zhí)行價格的幾何平均亞式期權(quán)定價的近似解析公式,推廣了波動率為常數(shù)的期權(quán)定價問題.本文的結(jié)果還可以推廣到復(fù)合期權(quán)和美式期權(quán)的定價研究中.

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