線性過程矩收斂精確漸近性的一個(gè)結(jié)果

鄒 廣 玉

(長春工程學(xué)院 理學(xué)院,吉林 長春 130012)

近年來,一些學(xué)者在不同條件下,研究了對數(shù)律的一階矩完全收斂的精確速度,如文獻(xiàn)[1-3]分別研究了獨(dú)立同分布、PA和NA序列對數(shù)律的精確漸近性,其中已得到的一個(gè)結(jié)論如下:

本文針對獨(dú)立同分布序列生成的線性過程,得到了如式(1)所示的結(jié)果,這就將獨(dú)立同分布序列對數(shù)律的一階矩完全收斂性的精確漸近性推廣至由獨(dú)立同分布序列生成線性過程對數(shù)律的矩完全收斂性的精確漸近性,豐富了線性過程矩完全收斂性的精確漸近性的結(jié)果.本文的主要結(jié)果如下:

1 幾個(gè)引理

在本文中,記{W(t),(t≥0)}為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程,N表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量,C在不同的位置表示不同的正常數(shù).

引理1 對任意的x>0,有

當(dāng)x→0時(shí)

特別地,因?yàn)閃(1)=N,故有

證明見文獻(xiàn)[3]中的引理2.1.

引理2 在定理的條件下,有

證明 定理中的條件滿足文獻(xiàn)[4]中引理2.1的條件,于是可得本引理的結(jié)論.

證明可由文獻(xiàn)[5]中的式2.2推得.

2 定理的證明

不失一般性,不妨設(shè)τ=1.令

b(ε)=[eMε2],

定理可由以下幾個(gè)命題推得.

證明 由引理1可得

命題2 在定理的條件下,有

證明 記

由引理2知Δn→0(n→+∞).由Toeplitz引理[6],易得:

進(jìn)而

命題3 對任意的α>-1,有

證明見文獻(xiàn)[3]中的引理3.2.

命題4 在定理的條件下,有

證明 由引理1和引理3,有

故

先令ε→∞,再令M→+∞,即得本命題的結(jié)論.

由命題1～命題4和三角不等式可知式(2)成立,從而定理得證.

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