從抽樣悖論看概率的主觀解釋

黃閃閃，李 鐵

(天津理工大學法政學院，天津 300384)

科學推理對概率的重視，源于兩個重要因素:一是古典歸納邏輯的沉寂。古典歸納邏輯實際上是一套針對歸納問題的方法論。自從休謨問題提出后，歸納方法的合理性遭到質疑，特別是簡單枚舉法等古典歸納方法。二是概率歸納邏輯的產生和發(fā)展。概率歸納邏輯是應用概率論來系統(tǒng)地研究和表述或然性推理的，它呈現(xiàn)了一種不同于古典歸納法的新思路。

為了保證和體現(xiàn)科學推理的客觀性，我們在哲學層面上必須討論主觀概率和客觀概率的選擇問題，而事實上許多學者比較推崇客觀概率，對主觀概率進行了詰難和否定。盡管貝葉斯主義者不回避且接受了主觀概率，但是由此帶來的一些問題使其遭到了非議。特別是一些堅持頻率解釋的頻率主義者，他們認為概率的主觀解釋背離了科學推理的客觀性理想，證據(jù)對科學假設的支持度完全是客觀的，容不得主觀因素摻雜進來[1]81。這似乎表明概率解釋問題的答案必須是一元的。然而，通過分析隨機抽樣悖論，我們看到完全的客觀概率是難以實現(xiàn)的。從概率的應用上看，概率解釋的選擇是多元的，并且這種多元化觀點為主觀概率解釋的發(fā)展提供了一些啟示，例如吉利斯的主體交互概率解釋。

一、概率的客觀與主觀之爭

自引入帕斯卡概率以后，歸納邏輯開啟了一條新的研究進路——定量機制。這種機制代表了現(xiàn)代歸納邏輯的主流，即承認存在統(tǒng)計規(guī)律，雖然無法判定假說內容的真實性，但我們可以判定證據(jù)對假說給予了多大程度的支持，有多大的概率可以相信假說是正確的。這一進路建立在帕斯卡的概率演算規(guī)則之上，經邏輯學家們賦予其不同的解釋而向前發(fā)展。

客觀概率與主觀概率的劃分，既是不同歸納定量機制爭論的焦點之一，也是科學推理必須選擇和回答的問題。具體而言，堅持客觀概率的頻率主義者認為，概率的頻率解釋可以滿足科學推理的客觀性理想;而貝葉斯主義者認為，客觀概率可以說明假說與證據(jù)之間的必然關系，科學推理需要客觀概率。面對客觀概率可能無法計算的問題，貝葉斯主義者①具體而言，本文出現(xiàn)的“貝葉斯主義者”特指“主觀貝葉斯主義者”。認為可以通過相關條件原則來對主觀性進行約束。換言之，貝葉斯主義者堅持概率的主觀解釋。

頻率主義者認為，概率就是某一事件或屬性在無窮序列中出現(xiàn)的相對頻率的極限。頻率解釋的代表人物有馮·米塞斯和萊欣巴赫等人。萊欣巴赫主張通過漸近認定的簡單枚舉法來確定基本概率。這一特點決定了頻率解釋適用于可重復發(fā)生的獨立事件，如為了表示天津夏季(6～8月)日降水量在20毫米以上的天氣事件的可能發(fā)生數(shù)，可用歷年天津6～8月較長歷史時期內的大樣本資料來表征。然而，這一特點也帶來了頻率解釋的困難:無法判定單個事件的概率。如“W女士會不會在最近的選舉中投左翼候選人的票”這類不可重復發(fā)生的事件。為了解決這類問題，萊欣巴赫引入了“權重”概念，即個別事件屬于相應的參照類，根據(jù)參照類可以給特定事件一個權重值。但是，這一方法仍帶有主觀性，因為同一事件可分屬于不同的參照類，而參照類的選擇在于個人的意愿?？梢?，盡管頻率主義者認為頻率解釋是一種客觀概率，但是在實際操作中回避不了主觀性。

貝葉斯主義者認為，概率是特定個體的信念度，具有同樣證據(jù)的不同個體被允許對同一假說賦予不同的概率。概率的這一主觀理論由拉姆齊和德·芬內蒂大約在同一時期獨立完成。主觀解釋采用最大賭商的方法來確定先驗概率，即概率的大小取決于特定個體的合理信任度，而這種主觀的信任度可通過客觀行為來進行測量。由于科學推理中很難計算一個科學理論的客觀概率，所以貝葉斯主義者對主觀概率進行了約束，試圖擺脫主觀性的詰難?？茖W哲學中的貝葉斯主義發(fā)展迅速，主要包含兩個假設:首先，我們能夠分辨不同的信念度或主觀概率;其次，對于一個理性人，這些主觀概率應該遵守概率演算公理。顯然，對于多種不同的命題，我們持有不同的信念度或置信度。我們完全可以確定某些事件，比如草是綠的或者不是綠的;同時也可能不相信某些事件，例如某個朋友會償還數(shù)周前借的100塊錢。具體來說，主觀概率的約束問題與兩條定理相關——荷蘭賭定理與意見收斂定理。荷蘭賭定理規(guī)定，合理的信念度必須滿足概率演算公理。意見收斂定理表明，隨著證據(jù)的增加，先驗概率的主觀任意性會被后驗概率的客觀確定性所取代。

面對概率的主客觀之爭，貝葉斯主義者采取的態(tài)度是:追求客觀性，不回避主觀性。單單對貝葉斯定理本身分析，如果只是作為一種關于客觀概率的斷言，這個數(shù)學公式是完全不可能客觀的，因為根據(jù)概率演算公理和條件概率的定義可知，貝葉斯定理無法避免主觀性。但是上升到哲學層面，將貝葉斯定理用以解釋理論與證據(jù)之間的關系時，貝葉斯主義者又需要客觀概率，因為只要將客觀概率納入其中，貝葉斯定理就能表現(xiàn)出理論與證據(jù)二者之間的必然關系，而這正是邏輯學家所希冀和追求的結果?？梢?，客觀性理想與主觀性約束是一致的。問題在于:可數(shù)可加性在荷蘭賭定理中面臨可滿足性問題，概率演算公理要求的可數(shù)可加性，其附帶的信念不對稱;以及意見收斂定理相關的條件化中的一致性問題，使得主觀解釋重新面臨主觀性詰難[2]11，進而影響貝葉斯方法的合理性基礎。

二、隨機抽樣悖論中的主觀性

斯圖爾特(Stuart)認為抽樣悖論在經典推理中不可避免，是有效經典統(tǒng)計方法必須“咽下的一副苦藥”[3]253。抽樣悖論是頻率解釋無法回避主觀性的一個例證。隨機抽樣悖論表明，經典統(tǒng)計推理將樣本數(shù)據(jù)視為有待分析的唯一具“客觀的”形式的資料，即只有樣本數(shù)據(jù)才是適合進行定量化和加以形式分析的。然而，推理者的先驗信息或偏好事實上也是量化處理和形式分析的重要部分，經典統(tǒng)計方法忽視了這一點，進而導致了矛盾。

經典統(tǒng)計推理有時候也可以稱為頻率主義[3]131。頻率主義認為客觀世界存在統(tǒng)計規(guī)律，用頻率表示的概率正好能顯示事件過程和客觀趨勢。這種立場表明，經典統(tǒng)計推理必須以頻率解釋作為唯一根據(jù)。雖然文恩(Venn)于1866年已經提出這種根據(jù)相對頻率刻畫概率的思想，但是頻率理論真正得以發(fā)展和系統(tǒng)化卻是在20世紀，代表人物有費希爾、馮·米塞斯和萊欣巴赫。例如馮·米塞斯認為，他的頻率理論為概率的科學應用提供了基礎。根據(jù)概率的頻率解釋，在一次硬幣投擲實驗中，參數(shù)p被看作近似于一個比率，即正面朝上在n次硬幣投擲中出現(xiàn)的次數(shù)除以n的比率。這個比率被稱為正面朝上在n次硬幣投擲中的相對頻率。

統(tǒng)計推理是證明各種統(tǒng)計假說合理性的歸納推理，它是一種現(xiàn)代意義上的歸納推理。統(tǒng)計假說與概率陳述的對稱性，表明經典統(tǒng)計推理采取了概率的頻率解釋。經典統(tǒng)計推理堅持頻率說，認為統(tǒng)計假說應該用頻率表征。但是統(tǒng)計假說和概率陳述之間可以完全的對應。對于任何統(tǒng)計假說來說，都能夠表述為相對應的概率陳述。例如，這個學校的1/4學生是二年級學生，這個真的統(tǒng)計假說對應的概率陳述是:(隨機地)選出一個二年級學生的概率是1/4。為了便于理解，我們一般用概率來表述經典統(tǒng)計推理的結論。從這個意義上來看，經典統(tǒng)計推理接受了概率的頻率解釋。

經典統(tǒng)計推理是以統(tǒng)計數(shù)據(jù)或資料為前提，以概率論為基礎的推理。這決定了經典統(tǒng)計推理需要一個抽樣過程。統(tǒng)計假說是一種帶有百分比的特稱假說，如57%的泰國成年男子是佛教徒。在統(tǒng)計中，我們將這類假說所要考察對象的全體稱為總體。上例中的全體泰國男子就是我們研究的總體。由于總體的數(shù)量通常比較龐大，一般會選擇總體的一部分個體或分子作為被研究對象，這些被抽取的個體或分子稱為樣本。從總體中抽取樣本的方法叫抽樣。為了保證樣本的代表性，經典統(tǒng)計推理通常采取的是隨機抽樣的方法。

統(tǒng)計假說和統(tǒng)計推理的可靠性主要取決于樣本的代表性。通常采取的抽樣方法有兩種:隨機抽樣和判斷抽樣。隨機抽樣原則主張，恰當?shù)墓烙嬛荒芡ㄟ^客觀上隨機選擇的樣本才能獲得。例如，一個裝有相同籌碼的袋子，每個籌碼分別對應總體中的單個成員，給它們相應地做上標記，徹底抖動袋子并隨意抽取一個籌碼;按照規(guī)定的次數(shù)重復抽取，而挑選的總體成員就是這些抽取出來的籌碼，它們就組成了一個隨機樣本。判斷抽樣加入了抽樣者的判斷，這種抽樣不是隨意的，容易受到偏好的影響。例如，市場調查中的定額抽樣，被采訪者被指定了某些特性和特征，諸如特定社會階層與地理區(qū)域。判斷抽樣具有實用性的優(yōu)點，例如，出于實用性考慮，大概90%的市場調查采用定額抽樣，并且在大多數(shù)情況下，它在提供一致性結果上是充分可靠的。

但是一些經典統(tǒng)計學家堅持隨機抽樣，他們認為抽樣應該是一個物理隨機過程，而隨機抽樣不要求個體判斷，它是相當客觀和不帶個人色彩的。經典統(tǒng)計學家對判斷抽樣的異議主要有三點:(1)判斷抽樣把一種不需要的主觀性引入到估計過程中。判斷抽樣中包含個體判斷，即個體特征與正在計算的總體參數(shù)相關聯(lián)，例如作出判斷時要考慮一個人的社會階層、年齡和性別等，判斷抽樣認為這些都是一個抽樣過程的相關因素。但是，沒有全面徹底的調查總體就絕對不能斷定有多少可能相關因素的關聯(lián)性，因此從一個實驗者到另一個實驗者之間存在相當大的意見變化空間。這與隨機抽樣形成對比，隨機抽樣不要求個體判斷，它是相當客觀和不帶個人色彩的。(2)第二種異議實際上從屬于第一種異議，即判斷樣本容易受到偏好的影響，或者因為實驗者的無知，或者憑借無意識的訓練，甚至是有意識的個人偏見。Yate用一些事例闡明了偏好對抽樣的危害。在這些事例中，實驗者選擇代表性樣本的嘗試被一次評估和考察決定性變量的失敗而破壞。(3)第三種異議認為，判斷抽樣不能作為一種適用于估計的客觀方法。

隨機抽樣的隨機性特點，滿足了經典統(tǒng)計推理對客觀性的要求。經典估計和顯著性檢驗用于推斷過程的數(shù)據(jù)都是樣本數(shù)據(jù)，它們都把樣本數(shù)據(jù)作為定量化分析的唯一客觀資料。然而，這種觀點忽略了推理主體的背景知識，這不僅不符合科學推理活動的實際過程，畢竟推理主體掌握的背景知識或先驗信息也是推理的重要部分，同時也帶來了斯圖爾特描述的“抽樣悖論”。

一方面，隨機抽樣原則主張只能通過客觀上隨機選擇的樣本才能獲得恰當?shù)墓烙?。統(tǒng)計學家聲稱估計和檢驗的經典方法是完全客觀的。為保證科學推理的客觀性，他們要求數(shù)據(jù)的樣本分布也是客觀的。這要求必須通過一個無偏倚的物理過程產生用于估計的樣本來確保每個總體元素客觀上具有同等被選擇的可能?？梢?，一個隨機過程產生完全相同的樣本都是完全沒問題，且是可接受的。另一方面，為了確保隨機過程產生完全相同的樣本，使得總體各個元素正好被賦予樣本中包含的相同客觀概率，統(tǒng)計學家在抽樣時會帶有一定的目的和意圖。這樣，隨意刻畫的樣本對一個恰當?shù)慕浀浣y(tǒng)計將不會提供任何信息，且是不可接受的，這就是“抽樣悖論”。一個隨機過程產生的完全相同樣本，既是可接受的，又是不可接受的。

三、貝葉斯主義對抽樣悖論的消除

將貝葉斯方法用于統(tǒng)計假說的相關結果，構成了貝葉斯統(tǒng)計推理的內容。貝葉斯統(tǒng)計推理同樣屬于歸納推理的范疇，它是一種依托貝葉斯定理，通過相應先驗分布而來的后驗概率或密度分布來獲取新信息的計算。數(shù)十年來，貝葉斯主義的觀點和方法在經歷被輕視和拒絕后，最終在統(tǒng)計推理中得以復興。

貝葉斯統(tǒng)計推理同樣受到抽樣方法的影響，但是它認為抽樣方法本身不存在任何悖論，因為通過收集數(shù)據(jù)可以獲得有用的信息。抽樣悖論的產生，在于經典方法單純的采用樣本數(shù)據(jù)，排除了很難量化的先驗知識，進而導致了主客觀之間的矛盾。而貝葉斯方法用賭商的方式量化了先驗知識，將它作為先驗分布，與通過似然函數(shù)方式引入的觀測數(shù)據(jù)一起計算后驗分布，這樣就很好地協(xié)調了主客觀之間的關系。例如，要估計一個特定黨派的投票支持者(屬性A)在總體θ中所占的比例，樣本由一個投票支持者(屬性A)組成，且這個投票者超過了60歲(屬性B)，根據(jù)這些信息，通過能夠獲得后驗分布?？梢酝ㄟ^多種方式來收集這個樣本，它可以是一個來自整個總體的隨機變量，也可以只是來自包含B屬性(年齡超過60歲)的那部分總體。如果是后者，那么P(B)=P(B|θ)=1;如果是前者，當且僅當B和θ是概率上獨立的，P(B)=P(B|θ)。不管是哪種情況，這兩種抽樣方法都會導出同樣的貝葉斯結論。雖然這是一個特例，通常一個指定樣本的歸納力會受到選擇過程的影響，但是這在直覺上是正確的。

貝葉斯主義立場與經典立場都同意抽樣方法和樣本是歸納上相關的，他們的分歧在于隨機樣本的作用。經典立場認為，只有通過物理隨機化機制得到的隨機樣本才能夠提供信息，所以不能使用其他類型的樣本。而貝葉斯主義則認為，除了隨機抽樣外，還認同立意抽樣和判斷抽樣。

四、概率的多元論:從概率的應用上看

貝葉斯主義對抽樣悖論的消除，再次表明主觀解釋并不忌諱主觀性，并且認為主觀性在貝葉斯推理中是恰當?shù)摹＞唧w來說，第一，科學評估本來就含有科學家的主觀因素，而貝葉斯主義中的主觀性是以先驗概率的形式明確表現(xiàn)的，這是沒有必要隱諱的;第二，貝葉斯推理是客觀的歸納推理，這套邏輯將先驗概率作為前提，以貝葉斯定理作為推理規(guī)則，產生一個有效的推論:后驗分布。這種推理非常類似于演繹邏輯，即首先篩選前提，然后推理機制根據(jù)這些前提導出有效的推論[4]。

上述討論表明，純粹的客觀概率難以滿足，概率的一元論觀點值得商榷。甚至從實際應用上看，概率應該是多元的。

概率的應用性與歸納邏輯的第三次轉折密切相關。歸納邏輯發(fā)展的3次轉折點分別是:其一，古典歸納邏輯向現(xiàn)代歸納邏輯的轉向，這一階段的特點是，從定性推理模型轉為定量模型，引入數(shù)學概率，重視數(shù)理形式化方法，研究歸納邏輯的形式系統(tǒng)的句法結構。主要代表模型有萊欣巴赫的頻率邏輯系統(tǒng)和卡爾納普的概率邏輯系統(tǒng)。其二，研究重點轉移到歸納形式系統(tǒng)的句法修正和語義解釋的多元化，主要表現(xiàn)在兩個方面:非帕斯卡概率邏輯的興起，以及先驗概率的哲學解釋的發(fā)展。其三，歸納邏輯的關注點由元邏輯研究轉向應用性邏輯。在社會科學領域，經濟學家、社會學家、政治學家把概率應用于主體間行為、群體行為的研究，發(fā)展了經濟博弈論和經濟博弈的邏輯。在自然科學領域，計算機科學家和人工智能研究者把概率邏輯作為工具對包括專家系統(tǒng)、基于主體的系統(tǒng)等知識系統(tǒng)的知識進行推理，推動了貝葉斯網絡、知識挖掘、知識處理等方面的研究。

一般來說，概率的客觀解釋適用于自然科學，因為自然科學中很容易找到一系列獨立的可重復條件;而主觀解釋則更適用于社會科學，因為不可能所有的社會事件是可以完全重復的。而且客觀概率與主觀概率之間不是非此即彼的對立關系，它們之間具有連續(xù)譜系的性質。例如同是將人作為研究對象的人口學和醫(yī)學，前者的研究重點在于社會科學方面，因為大范圍內的人口增降更多與經濟、戰(zhàn)爭等社會因素相關;而醫(yī)學的研究則是自然科學方面大于社會科學方面，因為病人的生理狀況是疾病的主要原因，而信仰和情緒等這類社會和心理因素則是次要的。可以說，人口學隸屬于社會科學，其中的主導概率是主觀解釋。而就治病救人這一醫(yī)生的基本職責而言，醫(yī)學屬于自然科學，其中客觀概率起主要作用。

因此，每種概率都有它的適用范圍，沒有普適性的唯一概率。這就是概率解釋的多元論觀點。與概率一元論比較，概率多元論更為恰當?！斑@種觀點的理論依據(jù)在于邏輯哲學的恰當性原理。每一種概率解釋以及據(jù)此建立的概率邏輯系統(tǒng)都要面臨形式系統(tǒng)內外是否恰當相符的問題。概率解釋的適用范圍和可應用性是由形式系統(tǒng)內外的恰當相符性所決定的?！盵5]

概率的多元論觀點也為貝葉斯主義的概率解釋提供了一些發(fā)展依據(jù)。正如江天驥先生指出，“貝葉斯解釋或主觀主義的解釋在許多方面是邏輯解釋的弱化形式。它基本上是心理的而不是邏輯的?！盵6]可見，貝葉斯主義并非通常理解的“主觀主義”，對概率的私人主義解釋是“認識解釋”、“心理解釋”，它把主觀與客觀兩方面因素都考慮進去了，比自稱純客觀解釋的“頻率解釋”，更切合實際。

在概率的解釋上，吉利斯嘗試發(fā)展了一種關于把主觀解釋從個體擴展到社會群體的主體交互解釋。這種解釋將概率看成一個社會群體的共同信念度，而不像主觀解釋那樣，將概率解釋成一個特定個體的私人信念度。

吉利斯定義了主體交互解釋，并提出了形成這種解釋的滿足條件。一個社會群體形成主體交互概率具體包括兩個條件[7]:(1)具有共同的旨趣。也就是說構成一個群體的成員必須有共同的關注、利益或興趣等。(2)保持信息流的傳遞(Flow of Information)。一個群體的成員之間必須要有信息流的傳遞和觀點的交流，只有通過采用直接的(在任何兩個成員之間)或是間接的(通過第三個成員的介入)方式及時地交換相互取得的發(fā)現(xiàn)與信息，才能保證信息得到真正的溝通和傳遞。由于主體交互解釋是把荷蘭賭論證從個體向群體擴展的結果，所以它在某種意義上可以看做是主觀解釋的發(fā)展，而與主觀解釋并不矛盾。與主觀解釋可以任意選擇信念度相比，主體交互解釋更為強調一個社會群體所形成的一致的或共同的信念度。這在某種程度上避免了主觀解釋的主觀任意性問題，對先驗概率進行了一定的約束，更具客觀性。

除了引入主體交互概率外，吉利斯還介紹了完全客觀概率和人造客體概率，繼而陳述了一個從主觀延伸到客觀的概率解釋系列[8]，即主觀—主體交互—人造客體—完全客觀。這里的“人造客體”強調“客觀”存在于物質世界，但它是人類與自然界相互作用的產物。例如木桌，它是人類發(fā)揮主觀能動性，在自然木材的基礎上加工而成的?！巴耆陀^”是完全獨立于人類的客觀事物，如太陽，自人類產生前便一直獨立存在。這些豐富的概率解釋的提出，將促進對貝葉斯方法中的主客觀問題的積極討論，繼而為主觀概率解釋的發(fā)展提供一些啟發(fā)性意見。

[1]陳曉平.貝葉斯方法與科學合理性[M].北京:人民出版社，2010:81.

[2]黃閃閃.貝葉斯主義的主觀性問題及其發(fā)展進路探析[J].山東科技大學學報:社會科學版，2012，14(6):11－20.

[3]Howson C，Urbach P.Scientific Reasoning:The Bayesian Approach[M].Chicago:Open Court，2006.

[4]任曉明，黃閃閃.貝葉斯推理的邏輯與認知問題[J].浙江大學學報:人文社會科學版，2012(4):106－113.

[5]任曉明，桂起權.非經典邏輯系統(tǒng)發(fā)生學研究[M].天津:南開大學出版社，2011:116.

[6]江天驥.邏輯經驗主義的認識論·當代西方科學哲學·歸納邏輯論[M].武漢:武漢大學出版社，2012:467.

[7]李旭燕，任曉明.主觀解釋新發(fā)展:主體交互解釋[J].心智與計算，2007(3):293－299.

[8]李旭燕.帕斯卡概率解釋之系列:從主觀到客觀[J].社會科學輯刊，2011(1):46－48.