關(guān)于不定方程x2+4n=y7

邢 靜 靜

(西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 重慶 400715)

關(guān)于不定方程x2+4n=y7已經(jīng)有了不少研究工作[1-7]，其中n=0時，潘承洞、潘承彪[1]在《代數(shù)數(shù)論》一書中對方程x2+1=y7的整數(shù)解問題做了詳細(xì)的證明，整數(shù)解是 (x，y)=(0，1)；2011年李娜[2]證明了x2+4=y7無整數(shù)解；2008年高麗、馬永剛[3]證明了x2+42=y7無整數(shù)解；2012年張杰[4]證明了x2+43=y7僅有整數(shù)解(x，y)=(±8，2)；冉銀燕[5，6]證明了x2+44=y7，x2+46=y7均無整數(shù)解.而當(dāng)n=5時，至今仍無人證明.故此處先證明x2+45=y7無整數(shù)解，之后在前人證明的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納不定方程x2+4n=y7，x≡0(mod2)，x，y，n∈Z的整數(shù)解為(x，y，n)=(0，4m，7m)，(±8×27m，2×4m，7m+3)(m∈N).

引理1[1]不定方程x2+1=y7，x，y∈Z整數(shù)解僅有(x，y)=(0，1).

引理2[2]不定方程x2+4=y7，x，y∈Z無整數(shù)解.

引理3[3]不定方程 x2+42=y7，x，y∈Z無整數(shù)解.

引理4[4]不定方程x2+43=y7，x，y∈Z僅有整數(shù)解(x，y)=(±8，2).

引理5[5]不定方程x2+44=y7，x，y∈Z無整數(shù)解.

引理6[6]不定方程x2+46=y7，x，y∈Z無整數(shù)解.

引理1-引理6均已被前人證明，此處證明n=5時不定方程x2+4n=y7無整數(shù)解.

引理7 不定方程

x2+45=y7，x，y∈Z

(1)

無整數(shù)解.

證明分x≡1(mod2)，x≡0(mod2)兩種情況討論.

(1) 先假設(shè) x≡1(mod2)，在Z[i]中，原方程可以寫為

(x+25i)(x-25i)=y7，x，y∈Z

(2)

設(shè)δ=(x+25i，x-25i)，由δ|(2x，26i)=2，知道δ只能是1，1+i，2.由x≡1(mod2)知道x+25i≡1(mod2)，所以δ≠2；如果δ=1+i，則N(1+i)|N(x+25i)，即2|x2+45，與x≡1(mod2)產(chǎn)生矛盾，因此δ=1.由此知x+25i=(a+bi)7，x，a，b∈Z，因而有

x=a7-21a5b2+35a3b4-7ab6

(3)

25=b(7a6-35a4b2+21a2b4-b6)

(4)

因此b=±1，±2t(1≤t≤4)，±25.

當(dāng)b=±1時，7(a6-5a4+3a2)=1±25，此式要成立需滿足7|1±25，但這是不可能的.

當(dāng)b=±2t(1≤t≤4)時， ±25-t=7a6-35a4b2+21a2b4-b6，則a必為偶數(shù)，再由x=a7-21a5b2+35a3b4-7ab6知x也為偶數(shù)，這與假設(shè)x≡1(mod2)矛盾.

當(dāng)b=25時，7a6-35a4b2+21a2b4=230+1，等式兩邊同取模7得0≡2(mod7)，這是不可能的.

當(dāng)b=-25時，a2(7a4-35a2b2+21b4)=230-1=32×7×11×31×499 81，因為a∈Z，所以a2=1或9，代入驗證7a6-35a4b2+21a2b4-b6=-1，均不成立.

綜上所述，當(dāng)x≡1(mod2)時，方程(1)無整數(shù)解.

(2) 再討論x≡0(mod2)的情況，易知y也是偶數(shù)，令x=2x1，y=2y1，x1，y1∈Z.

此時方程(1)可變?yōu)?2x1)2+45=(2y1)7，即x12+44=25y17(x1，y1∈Z)，易知x1仍為偶數(shù)，令x1=4x2，得x22+42=2y17，此時x2也為偶數(shù)，再令x2=2x3，y1=2y2，x3，y2∈Z得x32+4=26y27，仍有x3為偶數(shù)，令x3=2x4，得x42+1=16y27，由于x4是奇數(shù)，取mod8.

可知該方程無整數(shù)解，故當(dāng)x≡0(mod2)時式無整數(shù)解.

綜上討論，不定方程x2+45=y7無整數(shù)解.

定理1 不定方程

x2+4n=y7，x≡0(mod 2)

(5)

僅有整數(shù)解(x，y，n)=(0，4m，7m)，(±8·27m，2·4m，7m+3)(m∈N).

證明當(dāng)x ≡0(mod2)時，y為偶數(shù)，下面對n進(jìn)行分類討論.

當(dāng)n=7m時，令x=27mx1，y=4my1，方程(5)變?yōu)閤12+1=y17，從而由引理1知式(5)整數(shù)解僅有(x1，y1)=(0，1)，由x=27mx1，y=4my1，可得方程(5)的整數(shù)解僅有(x，y，n)=(0，4m，7m).

當(dāng)n=7m+1時，令x=27mx1，y=4my1，則方程(5)變?yōu)閤12+4=y17，由引理2知式(5)無整數(shù)解，故方程(5)也無整數(shù)解.

當(dāng)n=7m+2時，令x=27mx1，y=4my1，則方程(5)變?yōu)閤12+16=y17，由引理3知式(5)無整數(shù)解，故方程(5)無整數(shù)解.

當(dāng)n=7m+3時，令x=27mx1，y=4my1，則方程變?yōu)閤12+64=y17，由引理4知僅有整數(shù)解(x1，y1)=(±8，2)，故方程(5)的整數(shù)解為(x，y，n)=(±8·27m，2·4m，7m+3).

當(dāng)n=7m+4時，同樣令x=27mx1，y=4my1，則方程變?yōu)閤12+44=y17，由引理5知無整數(shù)解，故方程(5)也無整數(shù)解.

當(dāng)n=7m+5時，令x=27mx1，y=4my1，則方程變?yōu)閤12+45=y17，由引理7知無整數(shù)解，故方程(5)也無整數(shù)解.

當(dāng)n=7m+6時，令x=27mx1，y=4my1，則方程變?yōu)閤12+46=y17，由引理6知無整數(shù)解，故方程(5)也無整數(shù)解.

綜上討論知，不定方程x2+4n=y7，x≡0(mod2)僅有整數(shù)解

(x，y，n)=(0，4m，7m)，(±27m+3，2·4m，7m+3)(m∈N)

參考文獻(xiàn)：

[1] 潘承洞，潘承彪.代數(shù)數(shù)論[M].濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2003

[2] 李娜.關(guān)于不定方程x2+4=y7的解[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2011，11(23)：13-14

[3] 高麗，馬永剛.關(guān)于不定方程x2+42=y7[J].西南民族大學(xué)學(xué)報，2008，34(1)：27-29

[4] 張杰.關(guān)于不定方程x2+43=y7的解[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，29(3)：27-28

[5] 冉銀霞.關(guān)于不定方程x2+44=y7[J].延安大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，31(4)：14-15

[6] 冉銀霞.關(guān)于不定方程x2+46=y7[J].高師理科學(xué)刊，2013，33(4)：25-26