Logistic映射及其混沌序列特性分析

曹書豪， 徐紅梅

( 延邊大學工學院 電子信息工程系， 吉林 延吉 133002 )

混沌信號是由確定的非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的具有偽隨機性、不可逆性和動態(tài)特性的信號.由于混沌信號在傳輸過程中不易受其他外界因素的影響，因此混沌通信和混沌加密技術成為國際電子通信領域重要的研究方向，其研究成果已經(jīng)被應用到數(shù)據(jù)安全和保密通信等領域[1-4].Logistic映射是典型的一維非線性映射.現(xiàn)有數(shù)學理論研究證明，在一維非線性映射中得到的分岔序列和臨界點附近的標度性質(zhì)對于高維映射也同樣適用[5].文獻[6]研究了Logistic混沌系統(tǒng)的信息熵特性，論證了信息熵值能夠區(qū)分系統(tǒng)的周期態(tài)和混沌態(tài).文獻[7]對Logistic模型的均值突變時間序列臨界狀態(tài)進行了研究，其結果表明系統(tǒng)狀態(tài)突變的速度和程度與映射的控制參數(shù)有關.文獻[8]研究了噪聲相互關聯(lián)時間對Logistic系統(tǒng)亞穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性的影響.文獻[9]研究了基于Logistic映射混沌擴頻序列的產(chǎn)生方法.基于上述研究，本文提出了基于Logistic映射頻譜特性，分析系統(tǒng)周期態(tài)和混沌態(tài)的方法.

1 Logistic映射

經(jīng)典的Logistic映射描述為

xn+1=f(μ,xn)=μxn(1-xn),

(1)

其中參數(shù)μ∈(0,4]， 對所有的x∈[0,1].

在給定參數(shù)μ以及系統(tǒng)初值x0的情況下，通過對(1)式的迭代計算可以獲得任意長度的Logistic序列.當參數(shù)μ取不同值時，Logistic映射經(jīng)過多次迭代以后會出現(xiàn)以下情況：

1) 當μ∈(0,1)時，系統(tǒng)穩(wěn)定于x=0；

4) 當μ∈(3.449,3.544)時，系統(tǒng)存在4個周期點；

5) 當μ∈(3.544,3.564)時，系統(tǒng)存在8個周期點；

2 Logistic映射混沌序列

分岔圖能從總體上反映系統(tǒng)的倍周期運動過程.根據(jù)倍周期分岔定理，以參數(shù)μ為橫坐標、迭代函數(shù)值為縱坐標，由(1)式可得到處于不同參數(shù)區(qū)間的Logistic映射分岔圖.

1) 當0<μ≤1時，由(1)式得到的Logistic系統(tǒng)動力學行為很簡單，只存在不動點x0=0， 且x0為吸引不動點，此時系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，如圖1所示.

2) 當1<μ<3時，由(1)式得到的Logistic系統(tǒng)動力學行為相對較為簡單，存在兩個不動點0和1-1/μ， 且0為排斥不動點， 1-1/μ為吸引不動點，如圖2 (a)所示.對于每一個確定的參數(shù)μ值，系統(tǒng)只有一個穩(wěn)定狀態(tài)，即系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期1狀態(tài)，而且穩(wěn)定點的數(shù)值隨著參數(shù)μ的增大而增大.此時Logistic映射的分岔圖如圖2 (b)所示.

3) 當3≤μ≤4時,由(1)式得到的Logistic系統(tǒng)動力學行為變得十分復雜——由倍周期進入弱混沌狀態(tài)后再進入完全混沌狀態(tài)，如圖3所示.

圖1 Logistic映射分布圖

圖2 Logistic映射分布圖

圖3 Logistic映射分布圖

在圖3的混沌區(qū)域內(nèi)有一些由若干曲線段組成的空白帶,稱做混沌區(qū)域中的周期窗口，即當參數(shù)μ=3.836時，Logistic映射迭代序列出現(xiàn)了周期3的循環(huán)，這表明Logistic映射自此進入了完全混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的動力學行為由此變得更加復雜.

3 Logistic映射功率譜特性

圖4 Logistic映射功率譜(μ=1)

圖5 Logistic映射功率譜(μ=3.56)

圖6 Logistic映射功率譜(μ=3.6)

圖7 Logistic映射功率譜(μ=3.98)

從圖4—圖7可以看到：當功率譜是單峰或多峰時，Logistic映射對應于周期態(tài)或擬周期態(tài)；當μ>3.569時，功率譜無明顯的峰(連成一片)，Logistic映射處于弱混沌狀態(tài)，且隨著參數(shù)μ的增大功率譜變得更稠密，其對應的Logistic映射處于強混沌狀態(tài).

由以上分析可以得出，由單一Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列處于完全混沌狀態(tài)時，頻譜比較平滑，并且對序列長度具有魯棒性，與保密通信領域所要求的混沌信號具有寬帶、連續(xù)頻譜、對初始條件敏感依賴性的特點相吻合，說明處于混沌狀態(tài)的Logistic映射的部分序列適用于混沌系統(tǒng)的通信領域.

參考文獻：

[1] 劉文波.Logistic映射的電路實現(xiàn)及應用[J].數(shù)據(jù)采集與處理,2001,16(1):129-132.

[2] 許剛,田立新.Logistic方程中的孤立子及其控制[J].江蘇大學學報,2004,25(3):228-231.

[3] 范九倫,張雪鋒.分段Logistic混沌映射及其性能分析[J].電子學報,2009,37(4):720-725.

[4] 邱躍洪,何晨,諸鴻文.一種無限折疊混沌映射及其量化序列[J].上海交通大學學報,2002,36(12):1788-1790.

[5] 施偉鋒.Logistic映射及其混沌特性研究[J].光電技術應用，2004，19(2)：53-56.

[6] 潘欣裕,趙鶴鳴.Logistic混沌系統(tǒng)的熵特性研究[J].物理學報2012,61(20):200504-1-200504-7.

[7] 顏鵬程,侯威,胡經(jīng)國.基于Logistic模型的均值突變時間序列臨界預警研究[J].物理學報,2012，61(18):189202-1-189202-8.

[8] 楊林靜,戴祖誠.噪聲相互關聯(lián)時間對Logistic系統(tǒng)亞穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性的影響[J].物理學報,2012,61(10):100509-1-100509-4.

[9] 柳平,閆川,黃高顯.改進的基于Logistic映射混沌擴頻序列的產(chǎn)生方法[J].通信學報,2007,28(2):130-140.